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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 思维运算之一元二次方程的根与系数难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江丽水·八年级期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
2．以方程的两个根的和与积为两根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
3．一个三角形的两边为方程的两根，第三边长为4，则k的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C．或 D．或
5．（2021·浙江金东·八年级期末）已知一元二次方程 的两个实数根分别是 x1 、 x2 则 x12 x2 x1 x22 的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．-6 B．- 3 C．3 D．6
6．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）已知关于X的方程x2 +bx+a=0有一个根是-a（a0），则a-b的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A．1 B．2 C．-1 D．0
7．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C．或 D．或
8．已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）21教育网
A． B．
C． D．
9．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
10．（2021·浙江·杭州市 ( http: / / www.21cnjy.com )建兰中学八年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个．www-2-1-cnjy-com
①方程x2+5x+6＝0是倍根方程：
②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n﹣2＝0的两根，则n的值为_____．2-1-c-n-j-y
12．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三条边，其中a=2,如果b，c是关于x的一元二次方程的两个根，则m是_________.21*cnjy*com
13．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知一元二次方程的两个根为和，则________．【出处：21教育名师】
14．已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
15．以-2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是________．
16．已知，是方程的两个实数根，则的值为__________．
17．已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
18．（2021·浙江拱墅·八年级期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 __．
19．（2021·浙江嘉兴·八年级期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是____．【版权所有：21教育】
20．（2020·浙江·温州外国语学校八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是_____．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
21．已知关于的一元二次方程
（1）时，试判断此方程根的情况．
（2）若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若为方程的两个根，且，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．
23．（2021·浙江杭州·八年级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根是时，求m的值．
24．（2021·浙江杭州·八年级期中）设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：21·世纪*教育网
（1）________，________；
（2）；
（3）；
（4）．
25．已知关于x的一元一次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数，且，求m的值．
26．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为，
①求代数式的最大值；
②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
27．（2021·浙江上虞·八年级期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：．
（2）设，是一元二次方程的两根，求的值．
28．（2021·浙江东阳·八年级期末）已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值．
29．（2020·浙江杭州·八年级期末）设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．21教育名师原创作品
（1）若，求m值；
（2）令，求T的取值范围．
30．已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 思维运算之一元二次方程的根与系数难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江丽水·八年级期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【详解详析】
解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
2．以方程的两个根的和与积为两根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先设、是方程x2+2x-3=0的两个根，根据根与系数的关系可求+、，再根据根与系数的关系易求与的值，进而可求二次项系数为1的方程；
【详解详析】
设、是方程x2+2x-3=0的两个根，那么 +=-2，=-3，
∴=-2-3=-5，= ，
若a=1，则b=5，c=6，
∴ 所求方程是y2+5y+6=0，
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法；
3．一个三角形的两边为方程的两根，第三边长为4，则k的范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先根据方程有两个实数根求出k的取值范围，再根据韦达定理求出x1＋x2及x1x2的值，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解详析】
解：∵三角形的两边长是方程2x2﹣kx＋8＝0的两个根，
∴△≥0，
即Δ＝（﹣k）2﹣4×2×8≥0，
解得：k≥8或k≤﹣8，
设方程的两根为x1，x2，
又∵第三边长为4，
∴x1＋x2＝＝＞4，x1x2＝＝4，|x1﹣x2|＜4，
∴k＞8，（x1﹣x2） ＜16，
即：（x1＋x2） －4x1x2＜16，
∴（） －4×4＜16，
解得：＜k＜，
∴k的取值范围为8＜k＜，
故选：B．
【名师指路】
本题考查的是一元二次方程的根的 ( http: / / www.21cnjy.com )判别式、根与系数的关系、三角形三边关系以及完全平方公式的变形，熟知一元二次方程的解与根的判别式的关系是解答此题的关键．
4．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【标准答案】B
【详解详析】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴m＞﹣，
∵，
∴，
解得m=3或m=﹣1（舍去），
∴m=3.
故选B.
5．（2021·浙江金东·八年级期末）已知一元二次方程 的两个实数根分别是 x1 、 x2 则 x12x2+x1x22的值为（ ）
A．-6 B．- 3 C．3 D．6
【标准答案】B
【思路指引】
根据根与系数的关系得到x ( http: / / www.21cnjy.com )1+x2=3，x1 x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1 x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
根据题意得：x1+x2=3，x1 x2=﹣1，所以原式=x1 x2（x1+x2）=﹣1×3=－3．
故选B．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1 x2．
6．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）已知关于X的方程x2 +bx+a=0有一个根是-a（a0），则a-b的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．0
【标准答案】C
【思路指引】
由一元二次方程的根与系数的关系x1 x2= 、以及已知条件求出方程的另一根是-1，然后将-1代入原方程，求a-b的值即可．
【详解详析】
∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），
∴x1 （-a）=a，即x1=-1，
把x1=-1代入原方程，得：
1-b+a=0，
∴a-b=-1．
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是根据一元二次方程的根与系数的关系确定方程的一个根．
7．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【标准答案】A
【思路指引】
分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解；
【详解详析】
解：当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，
是关于的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选A．
【名师指路】
本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．【版权所有：21教育】
8．已知一元二次方程（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程有一个公共解x=x1，若一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由x=x1是方程（a≠0，x1≠x2）与的一个公共解可得x=x1是方程的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x1=，整理后即可得答案．
【详解详析】
∵（a≠0，x1≠x2）与有一个公共解x=x1，
∴x=x1是方程的一个解，
，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴x1+x1=，
∴a(x2-x1)=d，
故选：B．
【名师指路】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键．
9．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【标准答案】D
【思路指引】
先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
【详解详析】
解：
故选：D．
【名师指路】
此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．
10．（2021·浙江·杭州市建 ( http: / / www.21cnjy.com )兰中学八年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（ ）个．
①方程x2+5x+6＝0是倍根方程：
②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件，然后解方程即可得到正确的结论．③根据是倍根方程，且且，，得到，或，从而得到，，进而得到正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答．
【详解详析】
解：①解方程得：，，
方程不是倍根方程，故①错误；
②，
解方程得：，，
，故②错误；
③是倍根方程，且，，
，或，
，，
，故③正确；
④方程是倍根方程，
设，
∵3a+b=0，
，
，
，故④正确．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
二、填空题
11．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n﹣2＝0的两根，则n的值为_____．
【标准答案】18
【思路指引】
分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时 ( http: / / www.21cnjy.com )，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n-2=4×4即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为6，由2、2、6不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．
【详解详析】
当2为底边长时，则a＝b，a+b＝8，
∴a＝b＝4．
∵4，4，2能围成三角形，
∴n﹣2＝4×4，
解得：n＝18；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为6，
∵6，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故答案为18．
【名师指路】
考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．
12．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三条边，其中a=2,如果b，c是关于x的一元二次方程的两个根，则m是_________.
【标准答案】9.
【思路指引】
分a为腰和底两种情况，当a为腰时，根据一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程的根与系数的关系求得另一根，再结合三角形的三边关系进行判断求解；当a为底边时，根据一元二次方程的根的判别式求解，再结合三角形的三边关系进行判断即可.
【详解详析】
解：方程x2－6x+m=0，由根与系数的关系得到：x1+x2=6，
当a为腰长时，则x2－6x+m=0的一个根为2，
∴方程的另一根为4，
∵2+2=4，
∴不能组成等腰三角形；
当a为底边时，x2－6x+m=0有两个相等的实数根，
故△=36－4m=0，解得：m=9，
方程x2－6x+9=0的两根为x1=x2=3，
∵3+3>2，∴能组成等腰三角形.
综上所述，m的值是9．
故答案是：9．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系以及三角形的三边关系，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键.
13．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知一元二次方程的两个根为和，则________．
【标准答案】 -6 4
【思路指引】
根据一元二次方程根与系数的关系列出方程即可得答案．
【详解详析】
∵一元二次方程的两个根为和，
∴x1+x2==3，x1·x2==2，
解得：b=-6，c=4，
故答案为：-6，4
【名师指路】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键．21世纪教育网版权所有
14．已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
【标准答案】①③④
【思路指引】
由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解详析】
解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【名师指路】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．21cnjy.com
15．以-2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是________．
【标准答案】
【思路指引】
根据韦达定理求出一次项系数和常数项，然后根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解详析】
设方程为
∵二次项系数为1的方程
∴a=1，即
又∵方程的两个根为-2和3
∴，
∴，
∴方程为
故答案为．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的定义，韦达定理，熟练掌握韦达定理是本题的关键．
16．已知，是方程的两个实数根，则的值为__________．
【标准答案】5
【思路指引】
先根据根与系数的关系，写出两根的和与积，代入所求代数式计算即可．
【详解详析】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：5．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．掌握根与系数的关系是解决本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1 x2=．【来源：21·世纪·教育·网】
17．已知、是方程的两个实数根，则代数式______．
【标准答案】
【思路指引】
利用韦达定理可得出，，再通过代入移项可得到，分别代入运算即可．
【详解详析】
解：∵，和是方程的两个根
∴，，
∴
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了韦达定理，代数式的运算，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键．
18．（2021·浙江拱墅·八年级期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 __．
【标准答案】
【思路指引】
由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小刚看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：小明看错了一次项系数，
；
小刚看错了常数项，
，
．
正确的一元二次方程为．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
19．（2021·浙江嘉兴·八年级期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是____．2·1·c·n·j·y
【标准答案】①③
【思路指引】
将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程进行验证，从而判断③．21*cnjy*com
【详解详析】
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2，
∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②，
②-①，得：2（c-a）+d-b=0，
2（c-a）=b-d，
∴，故①正确；
设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，
∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，
∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，
c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0，
∴a2-4b+c2-4d≥0，
∴a2+c2≥4b+4d，
∴≥b+d，故②错误；
∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，
∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，
当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边，
∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确，
故答案为：①③．
【名师指路】
本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
20．（2020·浙江·温州外国语学校八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是_____．
【标准答案】q＜1
【思路指引】
先由韦达定理得出m+n＝﹣p， ( http: / / www.21cnjy.com )mn＝q，代入到m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合△＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．
【详解详析】
解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝﹣p，mn＝q，
∵m2+mn+n2＝3，
∴（m+n）2﹣mn＝3，
则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，
∴p2＝q+3，
又△＝p2﹣4q＞0，
∴q+3﹣4q＞0，
解得q＜1，
故答案为：q＜1．
【名师指路】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，及一元二次方程根的判别式．
三、解答题
21．已知关于的一元二次方程
（1）时，试判断此方程根的情况．
（2）若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值．
【标准答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根；（2）
【思路指引】
（1）将m=5代入方程，利用根的判别式解答；
（2）先将方程化为一般式，利用方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，根据根与系数的关系得到，，解方程求出m即可得到答案．
【详解详析】
（1）将m=5代入方程，得，
∵，
∴方程有两个相等的实数根；
（2）∵，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得m<5，
∵，是该方程不相等的两实数根，
∴，，
∴，
解得：m1=8（舍去），m2=-6．
【名师指路】
此题考查一元二次方程根的情况，根据根的情况 ( http: / / www.21cnjy.com )求未知数的取值范围，根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解并应用一元二次方程根的判别式解决问题是解题的关键．21·cn·jy·com
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若为方程的两个根，且，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．
【标准答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析
【思路指引】
（1）根据判别式公式得△=m2≥0，即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根 ( http: / / www.21cnjy.com )与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于m的表达式，整理n=x12+x22-4，得n=（m+2）2，即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）证明：∵△=[-（m+4）]2-4（2m+4）=m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）根据题意得：
x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，
n=x12+x22-4
=(x1+x2)2-2x1x2-4，
=（m+4）2-2（2m+4）-4
=m2+4m+4
=（m+2）2
即n=（m+2）2，经过（-5，9）．
【名师指路】
本题考查了根与系数的关系，根的判别式 ( http: / / www.21cnjy.com )，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．www.21-cn-jy.com
23．（2021·浙江杭州·八年级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根是时，求m的值．
【标准答案】（1）见详解；（2） 2
【思路指引】
（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m＋1）2 4×1×（m 2）＝4m2＋9＞0，据此可得答案；
（2）设方程有两个实数根x1，x2，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据根与系数的关系得出x1＋x2＝ （2m＋1），x1x2＝m 2，代入x1＝ 1得出关于m的方程，解之可得答案．
【详解详析】
（1）证明：∵Δ＝（2m＋1）2 4×1×（m 2）
＝4m2＋4m＋1 4m＋8
＝4m2＋9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝ （2m＋1），x1x2＝m 2，
∵方程有一个根为 1，
∴ 1＋x2＝ （2m＋1），x2＝ m＋2，
∴ 2m-1＝ m＋1，
∴m＝ 2．
【名师指路】
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根时，x1＋x2＝ p，x1x2＝q．
24．（2021·浙江杭州·八年级期中）设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）________，________；
（2）；
（3）；
（4）．
【标准答案】（1）5；3；（2）；（3）35；（4）410
【思路指引】
（1）根据韦达定理得出α+β=5，αβ=3．
（2）将变形为，再代入数值计算即可；
（3）根据一元二次方程的解 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义得出α2-5α+3=0，即α2=5α-3，则2α2-3αβ+10β变形为10（α+β）-3αβ-6，再代入数值计算即可．
（4）根据已知得到α+β=5，，，再代入中逐步变形，即可计算．
【详解详析】
解：（1）∵α，β是方程x2-5x+3=0的两根，
∴α+β=5，αβ=3．
故答案为：5；3；
（2）
=
=；
（3）∵α方程x2-5x+3=0的根，
∴α2-5α+3=0，即α2=5α-3，
∴2α2-3αβ+10β=10α-6-3αβ+10β=10（α+β）-3αβ-6=10×5-3×3-6=35．21教育名师原创作品
（4）∵α，β是方程x2-5x+3=0的两根，
∴，α+β=5，
∴，，
∴
=
=
=
=
=410
【名师指路】
此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．2-1-c-n-j-y
25．已知关于x的一元一次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数，且，求m的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）m＝8
【思路指引】
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝4m2＋9，结合偶次方的非负性可得出Δ＞0，进而即可得证；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝－(2m＋1)，x1 x2＝＝m－2，结合，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
【详解详析】
（1）证明：∵，
∴，
∵a＝1，b＝2m＋1，c＝m－2，
∴b2－4ac＝（2m＋1）2﹣4×1×（m－2）
＝4m2＋4m＋1﹣4m＋8
＝4m2＋9，
∵m2≥0，
∴4m2＋9＞0恒成立，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1、x2是方程的两个根，a＝1，b＝2m＋1，c＝m－2，
∴x1+x2＝＝－(2m＋1)，x1 x2＝＝m－2，
∵，
∴-(2m＋1)+3(m－2)＝1，
解得：m＝8．
【名师指路】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21*cnjy*com
26．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为，
①求代数式的最大值；
②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【标准答案】（1）见解析；（2）①24；②14或22或26
【思路指引】
（1）通过判别式△求解．
（2）①通过两根之积与两根之和的关系将x12+x22-4x1x2配方求解．
②把x=6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值．
【详解详析】
解：（1）△=（2m+4）2-4（m2+4m）=16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①x12+x22-4x1x2=（x1+x2）2-6x1x2，
∵x1+x2==2m+4，x1x2=m2+4m，
∴（x1+x2）2-6x1x2=（2m+4）2-6（m2+4m）=-2m2-8m+16=-2（m+2）2+24，
∴当m=-2时x12+x22-4x1x2的最大值为24．
②把x=6代入原方程可得m2-8m+12=0，
解得m=2或m=6，
当m=2时，原方程化简为x2-8x+12=0，
解得x=2或x=6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m=6时，原方程化简为x2-16x+60，
解得x=6或x=10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．
【名师指路】
本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．
27．（2021·浙江上虞·八年级期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：．
（2）设，是一元二次方程的两根，求的值．
【标准答案】（1），；（2）．
【思路指引】
（1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）利用韦达定理得到，，，然后代入计算即可；
【详解详析】
解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）∵，是一元二次方程的两根，
∴由韦达定理，得，，
∴
；
【名师指路】
本题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握配方法和根与系数的关系进行解题．
28．（2021·浙江东阳·八年级期末）已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）m的值是1．
【思路指引】
（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
（2）根据一元二次方程根与 ( http: / / www.21cnjy.com )系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．21教育网
【详解详析】
（1）证明：对于关于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0，
∵，，，
∴=（6+m）2-4（9+3m）=m2≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC=m+6，AB AC=9+3m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴（AB+AC）2-2AB AC=BC2，
即（m+6）2-2×（9+3m）=52，
解得：m=-7或m=1，
又∵AB AC=9+3m，m为正数，
∴m的值是1．
【名师指路】
本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及运用公式法解一元二次方程，考查的知识点较多，但难度不大．
29．（2020·浙江杭州·八年级期末）设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．
（1）若，求m值；
（2）令，求T的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）且
【思路指引】
首先根据方程有两个不相等的实数根及是不小于的实数，确定的取值范围，根据根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形为，代入用含表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据的取值范围得到的值；
（2）化简，用含的式子表示出，根据的取值范围，得到的取值范围．
【详解详析】
解：方程由两个不相等的实数根，
所以△
，
所以，又是不小于的实数，
．
，；
（1），
，
即．
整理，得．
解得；
，
所以．
（2）
．
当时，方程为，
解得或．
此时没有意义．
当时，，
所以．
即且．
【名师指路】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式 ( http: / / www.21cnjy.com )、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的差的式子．【出处：21教育名师】
30．已知、是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
【标准答案】（1）6；（2）17.
【思路指引】
（1）根据根与系数的关系得，，接着利用，解得,根据判别式的意义b2-4ac≥0可得n≥2，于是可得n的值；
（2）分类讨论：若7为底，即时，根据判别式得到n=2，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，n=2舍去；若7为腰，即时，把x=7代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，解得，当时，=10，解得，则三角形的周长为3+7+7=17；当时，由根与系数的关系得=22，解得，根据三角形的三边关系，舍去．
【详解详析】
解：（1）由题意得：，
∴
解得：
∵、是关于的一元二次方程的两实数根，
∴得：
∴
（2）①当7为底，即时，则，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，，即时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当时，=22，
解得，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当时，=10，
解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【名师指路】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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