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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21*cnjy*com
专题02 运算方法之公式法、换元法解一元二次方程重点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【标准答案】A
【思路指引】
对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021．21*cnjy*com
【详解详析】
解：对于一元二次方程，
设t=x-1，
所以at2+bt+3=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020，
所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020，
则x-1=2020，
解得x=2021，
所以一元二次方程必有一根为x=2021．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2020·浙江杭州·八年级期末）下列解方程变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
【标准答案】C
【思路指引】
A．利用因式分解法求解即可判断；B．利用直接开平方法变形即可判断；C．利用配方法变形即可判断；D．利用公式法法求解，即可判断．
【详解详析】
解：A．若x2=3x，则x2-3x=0，
所以，x（x-3）=0，
x=0或x=3，故选项A错误；
B．若（3x-1）2=（5x+6）2，
则3x-1=±（5x+6），故选项B错误；
C．若x2+4x+1=0，则x2+4x=-1
x2+4x+4=3，即（x+2）2=3，故选项C正确；
D．若x（x+2）=6，
则x（x+2）-6=0，
x2+2x-6=0，
∴x=或x=，故选项D错误；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了因式分解法，配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
3．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B． C． D．
【标准答案】A
【详解详析】
试题分析：解得，∴较小根为．
∵，
∴．故选A．
4．（2021·浙江萧山·八年级期中）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )关于x的一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与一元一次方程2x﹣4＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）＋（2x﹣4）＝0有两个相等的实根，则x2＝（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【标准答案】D
【思路指引】
先解方程2x﹣4＝0得x1＝2，则一元二次方程（x﹣）（x﹣）＋（2x﹣4）＝0变形为（x﹣2）（x﹣）＋2x﹣4＝0，整理得，利用判别式的意义得到△＝（﹣）2﹣4（2﹣4）＝0，然后解关于的方程即可．
【详解详析】
解：∵解方程2x﹣4＝0得x＝2，
∴x1＝2，
∵一元二次方程（x﹣）（x﹣）＋（2x﹣4）＝0变形（x﹣2）（x﹣）＋2x﹣4＝0，
整理得
∴△＝
∴
∴
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了解一元一次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，公式法解一元二次方程，一元二次方程有两个相等的实根时判别式的情况，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
5．（2021·浙江杭州·八年级期中）已知方程的解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
设，将原方程变形为，由题目的解是即可求出t的值，再解两个一元一次方程即可求得答案．
【详解详析】
解：设，则原方程变形为：
，
由题可知，
，
则或,
解得：，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题关键．
6．（2020·浙江·温州外国语学校八年级月考）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．无实数解
【标准答案】C
【思路指引】
先把x－2看作一个整体，利用公式法解关于x－2的方程，进而可得答案．
【详解详析】
解：把x－2看作一个整体，a=2，b=7，c=6，
则根据一元二次方程的求根公式，得：，
∴或，
解得：，．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
7．（2020·浙江温州·八年级期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．
【详解详析】
解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，
∴该方程的正数解为．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
8．（2021·浙江宁波·八年级期末）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【标准答案】B
【详解详析】
【思路指引】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
9．（2021·浙江杭州·八年级期中）用配方法解方程，可变形为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先化二次项系数为1，然后把常数项-7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方．
【详解详析】
由原方程，得x2-6x=7，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2-6x+32=7+32，
配方，得（x-3）2=16，
故选B．
【名师指路】
本题考查了配方法解一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
10．关于x的方程至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【标准答案】B
【思路指引】
根据求根公式表示出x，然后根据x是正整数，且m是整数讨论即可.
【详解详析】
当m=0时，不合题意.
当m≠0时，
∵ =64m2-48m2=16m2≥0,
∴x=,
当m<0时，
x=,不合题意.
当m>0时，
x= ,
∴当m=1,2,3,6时，x是正整数，
∴m的值有4个.
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解法---公式法，先求出 的值，然后根据求解即可.
11．（2021·浙江上城·八年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【标准答案】C
【思路指引】
①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．
【详解详析】
解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4（-2b-4c） c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，
∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t=，
∴2at+b=±，
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
【名师指路】
本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．（2021·浙江长兴·八年级期末）如图，已知四边形是边长为4的正方形，以对角线为边作正三角形，过点作，交的延长线于点，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
连接EA并延长BD于点O，根据正方形和 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质，可求出EA是BD垂直平分线，求出∠DEB，求出∠EDA，从而求出∠EAF=∠FEA=45°，可得到EF=AF，然后设AF=EF=x，则DF=x+4，在Rt△EFD中，由勾股定理得出方程求出即可．
【详解详析】
解：如图，连接EA并延长BD于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分线上，
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴∠DEO= ∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=∠EAF=45°，
∴EF=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD=，即ED=BD= ，
设AF=EF=x，则DF=x+4，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：
ED2=EF2+FD2，
∴，
解得： （是负数，不符合题意舍去），
即AF= ．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，正方形性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．www.21-cn-jy.com
二、填空题
13．（2021·浙江·新昌县拔茅中学八年级期中）已知实数，满足，则______．
【标准答案】0
【思路指引】
设(x2+y2)为t且t≥0，则原式可变形为t2+9t=0，然后运用因式分解法求得t即可．
【详解详析】
解：设(x2+y2)为t且t≥0，
则t2+9t=0，
t(t+9)=0
∴t=0或t=-9（不合题意舍去）．
故填0．
【名师指路】
本题主要考查了解一元二次方程，将所求式子看做一个整体运用换元法成为解答本题的关键．
14．已知方程，则的值为_________．
【标准答案】3
【思路指引】
设a=x2+y2，把原方程变为a2-2a-3=0，求得方程的解即可．
【详解详析】
解：a=x2+y2，
则原方程变为a2-2a-3=0，
解得：a1=-1，a2=3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=3．
故答案为：3．
【名师指路】
此题考查换元法解一元二次方程，渗透整体思想，注意非负数的性质．
15．已知一元二次方程的两根和，则一元二次方程的根为_________．
【标准答案】，
【思路指引】
将变形得，再与方程相比较，可得或，解之即可．
【详解详析】
解：∵一元二次方程的两根和，
将变形为，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是发现所给方程形式上的一致性．
16．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是_____．
【标准答案】x=-4或x=-1
【思路指引】
把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解详析】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2=b变形为a[（x+2）+m]2+b=0，
即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故答案为：x=-4或x=-1．
【名师指路】
此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
17．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.
【标准答案】
【思路指引】
此题实际上求的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
设t=a2+b2，则由原方程，得
t（t+1）=12，
整理，得
（t+4）（t-3）=0，
解得t=3或t=-4（舍去）．
则a2+b2=3，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为．
故答案是：．
【名师指路】
此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键．
18．若，则________．
【标准答案】或
【思路指引】
将方程两边同时除以进行变形，设，则方程变形为：，解出方程即可得出答案．
【详解详析】
解：∵有意义，
∴，
两边同时除以得，
，
设，则方程变形为：，
解得，，
故的值为或，
故答案为：或．
【名师指路】
本题主要考查换元法解一元二次方程，解题关键是将原方程进行正确的变形．
19．（2020·浙江杭州·八年级期末）写出方程x2+x-1=0的一个正根_______
【标准答案】
【详解详析】
解：a=1，b=1，c=-1，△=1+4=5，∴x=.故正根为：x=．故答案为x=．
20．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.www-2-1-cnjy-com
【标准答案】3＜m≤4
【思路指引】
根据原方程可知x-2=0，和x2-4x ( http: / / www.21cnjy.com )+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
三、解答题
21．（2021·浙江·新昌县拔茅中学八年级期中）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【标准答案】（1），；（2），
【思路指引】
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）将原式化简，然后运用因式分解法解一元二次方程．
【详解详析】
解：（1）解：移项，得，
则，，，
，
∴，
∴，．
（2）解：原方程化简，得，
将方程的左边分解因式，得，
则，或，
∴，．
【名师指路】
本题主要考查一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
22．解方程：
（1）．
（2）．
（3）
（4）
【标准答案】（1）x1=5，x2=；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=-1，x2=221cnjy.com
【思路指引】
（1）方程整理后，利用因式分解法可求出解；
（2）方程整理后，求出b2-4ac的值，再代入公式求出解即可；
（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（4）设，代入方程求出t值，再分别求解．
【详解详析】
解：（1），
3（x-5）2=2（5-x），
3（x-5）2-2（5-x）=0，
分解因式得：（x-5）[3（x-5）+2]=0，
∴x-5=0或3（x-5）+2=0，
解得：x1=5，x2=；
（2），
方程整理得：3x2+10x+5=0，
∵a=3，b=10，c=5，b2-4ac=100-60=40＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（3），
∴，
即，
∴，
∴x1=，x2=；
（4），
设，
∴，
∴，
∴，
∴t=2或t=-5，
当t=2时，，即，
∴，
解得：x1=-1，x2=2；
当t=-5时，，
∵，
∴方程无解，
综上：x1=-1，x2=2．
【名师指路】
本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键
23．（2021·浙江·杭州市杭州中学八年级期中）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）x（x+4）＝3x+12．
【标准答案】（1）x1＝，x2＝ （2）x1＝﹣4，x2＝3
【思路指引】
（1）利用公式法求解即即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
则，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵x（x+4）＝3x+12，
∴x（x+4）﹣3（x+4）＝0，
则（x+4）（x﹣3）＝0，
∴x+4＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝3．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键，解一元二次方程时要根据方程的特点选择解法以简化运算．2-1-c-n-j-y
24．（2021·浙江·新昌县拔茅中学八年级期中）如图，在直角中，，边、的长（）是方程的两个根．点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为（秒）（）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求与的长；
（2）当秒时，求的长；
（3）圆圆说运动过程中，存在一个时间，使的长为3，方方说存在一个时间，使的长为4，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
【标准答案】（1），；（2）；（3）方方说得对，存在时间秒，使长为4，理由见解析
【思路指引】
（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）先求得PC=2，BQ=1，CQ=BC BQ=3，利用勾股定理求解即可；
（3）设存在时间为t，PC=2t，CQ=BC BQ=4 t，分别根据PQ=3和PQ=4，利用勾股定理构建一元二次方程求解即可判断．
【详解详析】
（1）解：由，得，
解得，，
∵，
∴，；
（2）解：当秒时，，，
∴，
∴；
（3）解：设存在时间为，
由题意得：，，
若，由勾股定理，得，
∴，
∴，
移项，得，
∵，
∴方程无实数根．不存在这样的，使；
若长为4．由勾股定理，得，
同理得，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述：方方说得对，存在时间秒，使长为4．
【名师指路】
本题考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
25．已知：方程是关于x的一元二次方程．
（1）判断此方程根的情况，并说明理由；
（2）若a，b，c，的三边，，且a，b是一元二次方程的两根．k何值时，是等腰三角形，并写出等腰三角形的底边．21教育网
【标准答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）k=4，底边为3；k=6，底边为7
【思路指引】
（1）先计算出△=4，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x=k+1或x=k-1，然后分类讨论求出k的值和底边长．
【详解详析】
解：（1）在一元二次方程中，
=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程得：
x=k+1或x=k-1，
∴a≠b，
∵c=5，
∴当k+1=5时，k=4，
则k-1=3，此时底边为3；
当k-1=5时，k=6，
则k+1=7，此时底边为7．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c ( http: / / www.21cnjy.com )=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质．
26．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB ( http: / / www.21cnjy.com )边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿A ( http: / / www.21cnjy.com )B边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．【版权所有：21教育】
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？21教育名师原创作品
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【标准答案】（1）经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分，见解析；（3）经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2
【思路指引】
（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分三种情况：①点P在线段AB上 ( http: / / www.21cnjy.com )，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解.
【详解详析】
解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x） 2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意.
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y） 2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
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②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意.
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③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
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综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2.
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．21·cn·jy·com
27．（2021·浙江江干·八年级期末）用指定的方法解方程：
（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
【标准答案】（1），；（2），．
【思路指引】
（1）先移项，再提取公因式（x-4），进而可得答案；
（2）利用公式法解方程即可得答案．
【详解详析】
（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）
移项得：（x﹣4）2-2（x﹣4）=0
提取公因式得：
解得：，．
（2）2x2﹣4x﹣1＝0
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴△==，
∴==，
∴，．
【名师指路】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )常用方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．21世纪教育网版权所有
28．（2021·浙江越城·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，且系数a、b满足等式．21·世纪*教育网
（1）求a、b、c的值；
（2）解关于x的方程：．
【标准答案】（1）a=2，b=-5，c=3；（2）．
【思路指引】
（1）根据二次根式的被开方数是非负数求得a、b的值；然后把x=1代入已知方程可以求得c的值；
（2）方程整理后，利用公式法求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵+=b+5，
∴，
∴a=2，b=-5，
又∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1，
∴2-5+c=0，则c=3；
（2）方程为：．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查了公式法解一元二次方程，二次根式有意义的条件．注意：二次根式的被开方数是非负数．
29．（2021·浙江滨江·八年级期中）解下列方程：
（1）
（2）
【标准答案】（1），；（2），
【思路指引】
（1）直接利用公式法解一元二次方程即可得到答案；
（2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可得到答案.
【详解详析】
解：（1）
这里 ，，
∴＞0
∴
∴，；
（2）
，
∴，．
【名师指路】
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的解方程的能力，题目比较好，难度适中．
30．（2021·浙江·嘉兴一中八年级期中）阅读小明用下面的方法求出方程2﹣3x＝0的
解法1：令＝t，则x＝t2原方程化为2t﹣3t2＝0解方程2t﹣3t2＝0，得t1＝0，t2＝；所以＝0或，将方程＝0或两边平方，得x＝0或，经检验，x＝0或都是原方程的解．所以，原方程的解是x＝0或． 解法2：移项，得2＝3x，方程两边同时平方，得4x＝9x2，解方程4x＝9x2，得x＝0或，经检验，x＝0或都是原方程的解．所以，原方程的解是x＝0或．
请仿照他的某一种方法，求出方法x﹣＝﹣1的解．
【标准答案】x＝2或x＝﹣2，见解析
【思路指引】
移项后两边平方得到关于x的整式方程，解之求出x的值，再代回原方程检验即可得．
【详解详析】
解：移项，得x+1＝，
方程两边平方，得x2+2x+1＝2x+5，即x2＝4，
解方程，得x＝2或x＝﹣2，
经检验：x＝2或x＝﹣2都是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2或x＝﹣2．
【名师指路】
本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．2·1·c·n·j·y
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题02 运算方法之公式法、换元法解一元二次方程重点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）21教育网
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
2．（2020·浙江杭州·八年级期末）下列解方程变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
3．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B． C． D．
4．（2021·浙江萧山·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）已知关于x的一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与一元一次方程2x﹣4＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）＋（2x﹣4）＝0有两个相等的实根，则x2＝（ ）21cnjy.com
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
5．（2021·浙江杭州·八年级期中）已知方程的解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·浙江·温州外国语学校八年级月考）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．无实数解
7．（2020·浙江温州·八年级期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．
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A．6 B． C． D．
8．（2021·浙江宁波·八年级期末）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（ ）
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A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
9．（2021·浙江杭州·八年级期中）用配方法解方程，可变形为（ ）
A． B． C． D．
10．关于x的方程至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．（2021·浙江上城·八年级期末）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）2·1·c·n·j·y
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
12．（2021·浙江长兴·八年级期末）如图，已知四边形是边长为4的正方形，以对角线为边作正三角形，过点作，交的延长线于点，则的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·浙江·新昌县拔茅中学八年级期中）已知实数，满足，则______．
14．已知方程，则的值为_________．
15．已知一元二次方程的两根和，则一元二次方程的根为_________．
16．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是_____．
17．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.
18．若，则________．
19．（2020·浙江杭州·八年级期末）写出方程x2+x-1=0的一个正根_______
20．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.21·cn·jy·com
三、解答题
21．（2021·浙江·新昌县拔茅中学八年级期中）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
22．解方程：
（1）．
（2）．
（3）
（4）
23．（2021·浙江·杭州市杭州中学八年级期中）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）x（x+4）＝3x+12．
24．（2021·浙江·新昌县拔茅中学八年级期中）如图，在直角中，，边、的长（）是方程的两个根．点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为（秒）（）．www.21-cn-jy.com
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（1）求与的长；
（2）当秒时，求的长；
（3）圆圆说运动过程中，存在一个时间，使的长为3，方方说存在一个时间，使的长为4，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？21·世纪*教育网
25．已知：方程是关于x的一元二次方程．
（1）判断此方程根的情况，并说明理由；
（2）若a，b，c，的三边，，且a，b是一元二次方程的两根．k何值时，是等腰三角形，并写出等腰三角形的底边．www-2-1-cnjy-com
26．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边 ( http: / / www.21cnjy.com )向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B ( http: / / www.21cnjy.com )以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．2-1-c-n-j-y
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1 ( http: / / www.21cnjy.com )cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？21*cnjy*com
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27．（2021·浙江江干·八年级期末）用指定的方法解方程：
（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
28．（2021·浙江越城·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，且系数a、b满足等式．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求a、b、c的值；
（2）解关于x的方程：．
29．（2021·浙江滨江·八年级期中）解下列方程：
（1）
（2）
30．（2021·浙江·嘉兴一中八年级期中）阅读小明用下面的方法求出方程2﹣3x＝0的
解法1：令＝t，则x＝t2原方程化为2t﹣3t2＝0解方程2t﹣3t2＝0，得t1＝0，t2＝；所以＝0或，将方程＝0或两边平方，得x＝0或，经检验，x＝0或都是原方程的解．所以，原方程的解是x＝0或． 解法2：移项，得2＝3x，方程两边同时平方，得4x＝9x2，解方程4x＝9x2，得x＝0或，经检验，x＝0或都是原方程的解．所以，原方程的解是x＝0或．
请仿照他的某一种方法，求出方法x﹣＝﹣1的解．
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