2.2 一元二次方程的解法 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 2.2一元二次方程的解法同步练习
一．选择题
1．（2021秋 衡阳期末）一元二次方程x2+3x＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
2．（2021秋 朝阳区期末）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相的实数根 D．没有实数根
3．（2021秋 武汉期末）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
4．（2021秋 新抚区期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）
A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
5．（2020秋 红谷滩区校级期末）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
6．（2021 乳源县三模）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝时，方程的两根互为相反数 B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤ D．若方程有实数根，则k≤
7．（2020秋 岳阳期末）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或2 D．1或﹣2
8．（2021秋 新都区期末）关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根中有且只有一个根等于0，则下列条件中正确的是（　　）
A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0
9．（2021 郓城县模拟）等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25
10．（2021春 上城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个．
①方程x2+5x+6＝0是倍根方程；
②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．（2021秋 岳阳县期末）用配方法将方程x2﹣2x﹣3＝0变为（x﹣a）2＝b的形式，则a+b＝　 　．
12．（2021秋 邵东市期末）若方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　．
13．（2021秋 安州区期末）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（2021秋 新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 　 　．
15．（2021秋 衡阳期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝　 　．
三．解答题
16．（2021 香洲区校级模拟）解方程：
（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；
（2）x2+2x﹣2＝0．
17．（2021秋 江油市期末）解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）x（x+4）＝8x+12．
18．（2020秋 浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
19．（2020秋 叶县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k取满足条件的最大整数时，求方程的根．
20．（2021秋 海陵区期末）已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣4＝0．
（1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为﹣4，求k的值．
21．（2021秋 南沙区期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
（3）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 衡阳期末）一元二次方程x2+3x＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
【解析】解：x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x+3＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
故选：D．
2．（2021秋 朝阳区期末）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相的实数根 D．没有实数根
【解析】解：∵△＝22﹣4×1×3
＝4﹣12
＝﹣8＜0，
∴一元二次方程无解．
故选：D．
3．（2021秋 武汉期末）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
【解析】解：∵x2﹣8x＝﹣5，
∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，
故选：D．
4．（2021秋 新抚区期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）
A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【解析】解：根据题意得b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：D．
5．（2020秋 红谷滩区校级期末）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【解析】解：∵一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0，即（k﹣1）x2+x+3＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×（k﹣1）×3＜0且k﹣1≠0，
解得k＞．
k最小整数＝2．
故选：A．
6．（2021 乳源县三模）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝时，方程的两根互为相反数 B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤ D．若方程有实数根，则k≤
【解析】解：若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
7．（2020秋 岳阳期末）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或2 D．1或﹣2
【解析】解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0，
解得：k＝2；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0，
解得：k＝1；
所以k＝1或2，
故选：C．
8．（2021秋 新都区期末）关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根中有且只有一个根等于0，则下列条件中正确的是（　　）
A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根中有且只有一个根等于0，
∴x1+x2＝﹣a≠0，x1x2＝b＝0，
∴a≠0，b＝0．
故选：C．
9．（2021 郓城县模拟）等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25
【解析】解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，2a＝10，
解得a＝5，
所以该等腰三角形的周长是14．
故选：A．
10．（2021春 上城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个．
①方程x2+5x+6＝0是倍根方程；
②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：①解方程x2+5x+6＝0得：x1＝﹣2，x2＝﹣3，
∴方程x2+5x+6＝0不是倍根方程，故①错误；
②∵pq＝2，
解方程px2+4x+q＝0得：x1＝，x2＝，
∴x1≠2x2，故②错误；
③∵（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝3，x2＝﹣，
∴＝﹣，或＝﹣6，
∴3m+2n＝0，6m+n＝0，
∴18m2+15mn+2n2＝（3m+2n）（6m+n）＝0，故③正确；
④∵方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，
∴设x1＝2x2，
∴x1+x2＝3，
∴x2+2x2＝3，
∴x2＝1，故④正确．
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 岳阳县期末）用配方法将方程x2﹣2x﹣3＝0变为（x﹣a）2＝b的形式，则a+b＝　5　．
【解析】解：方程x2﹣2x﹣3＝0，变形得：x2﹣2x＝3，
配方得：x2﹣2x+1＝4，即（x﹣1）2＝4，
∴a＝1，b＝4，
∴a+b＝5
故答案为：5．
12．（2021秋 邵东市期末）若方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝　﹣1　．
【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2021秋 安州区期末）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤且m≠﹣2　．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤且m≠﹣2．
故答案为：m≤且m≠﹣2．
14．（2021秋 新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 　4　．
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1，设另一根为a，
∴﹣1+a＝3，
解得：a＝4，
则另一根为4．
故答案为：4．
15．（2021秋 衡阳期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝　2　．
【解析】解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
三．解答题
16．（2021 香洲区校级模拟）解方程：
（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；
（2）x2+2x﹣2＝0．
【解析】解：（1）∵4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
∴8x2﹣10x+3＝0，
∴（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，
则2x﹣1＝0或4x﹣3＝0，
解得x＝或x＝；
（2）∵x2+2x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣2，
则△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
∴x＝＝﹣1．
17．（2021秋 江油市期末）解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）x（x+4）＝8x+12．
【解析】解：（1）x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0或x+8＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；
（2）x（x+4）＝8x+12，
x2+4x﹣8x﹣12＝0，
x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
18．（2020秋 浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【解析】解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+4+3＝0，
∴a＝﹣4；
（2）由题意△≥0且a≠3
∴16﹣12（a﹣3）≥0，
解得a≤，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
19．（2020秋 叶县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【解析】解：（1）由判别式可知：Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）＞0，
∴k＜5，
∵k﹣1≠0，
∴k＜5且k≠1，
∴k的取值范围是k＜5且k≠1；
（2）∵k的取值范围是k＜5且k≠1，
∴k的最大整数值为4．
∴3x2+4x+1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣．
20．（2021秋 海陵区期末）已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣4＝0．
（1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为﹣4，求k的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣4）＝4k2﹣4k2+16＝16＞0，
∴不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝﹣4代入原方程得：16﹣8k+k2﹣4＝0，
则k2﹣8k+12＝0
解得k＝2或6，
∴，k的值为2或6．
21．（2021秋 南沙区期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
（3）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
【解析】解：（1）∵关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0，有两个实数根，
∴a≠0，（2a+1）2﹣4a（a﹣2）≥0，
整理得：4a2+4a+1﹣4a2+8a≥0，即12a≥﹣1，
解得：a≥﹣且a≠0；
（2）把x＝2代入方程得：4a﹣2（2a+1）+a﹣2＝0，
去括号得：4a﹣4a﹣2+a﹣2＝0，
解得：a＝4；
（3）把A（﹣1，3）代入直线解析式得：3＝﹣（2a﹣3）﹣a+5，
去括号得：3＝﹣2a+3﹣a+5，
移项合并得：3a＝5，
解得：a＝，
经检验：a＝满足（1）中的范围，
则直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），此时a＝．
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