2.3 一元二次方程的应用 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版八年级下 2.3一元二次方程的应用同步练习
一．选择题
1．（2021秋 海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（　　）
A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m
2．（2021秋 惠安县期末）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45 C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
3．（2021秋 侯马市期末）祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　）
A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120
C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120
4．（2021秋 青岛期末）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484
5．（2021秋 大连期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
6．（2021秋 宽城区期末）如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）
A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．35x+2×20x﹣2x2＝600
7．（2019秋 来宾期末）某文具店将进价为30元的钢笔，以50元售出，平均每月能售出300支，经试销发现每支钢笔每涨价10元，其月销售量就减少10支，为实现每月利润8000元，设定价为x，则可得方程（　　）
A．300（x﹣30）＝8000 B．300（x﹣50）＝8000
C．（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]＝8000 D．x﹣30＝8000
8．（2021秋 安居区期末）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为950m2，那么小道的宽度应是（　　）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
9．（2021秋 南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（　　）
A．（x+1）（x+2）＝30 B．（x﹣1）（x﹣2）＝30
C．（x+1）（x﹣2）＝30 D．（x﹣1）（x+2）＝30
10．（2021秋 依安县期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．（　　）（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
二．填空题
11．（2021秋 徐汇区校级期末）某商品由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36%，则平均每次降低成本 　 　（填百分数）．
12．（2021秋 阳山县期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程 　 　．
13．（2020春 蜀山区期末）如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为　 　m．
14．（2021 商河县校级模拟）有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　 　．
15．（2021秋 尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　cm2．
16．（2020秋 潜江期末）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝　 　．
17．（2020秋 普陀区期末）2020年上海某垃圾处理厂5月份分别从甲乙两社区各回收干垃圾a吨，据该垃圾处理厂统计，在6月份和7月份中，甲社区干垃圾平均每月的增长率是x，乙社区干垃圾平均每月的减少率是x，那么7月份甲社区比乙社区的干垃圾量多 　 　吨．（结果用含a、x的代数式表示）
三．解答题
18．（2021秋 长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．
（1）求该饮品的售价；
（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．
19．（2021秋 长春期末）如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD的面积为150m2，求AB的长．
20．（2021 平阴县一模）2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？
21．（2021秋 零陵区期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　 　件，每件盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
22．（2021秋 商水县月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
23．（2021秋 惠安县期末）某中学“陶然轩”读书社团对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查．2019年全校有1000名学生，2020年全校学生人数比2019年增加10%，2021年全校学生人数比2020年增加100人．
（1）2021年全校学生有 　 　人；
（2）2020年全校学生人均阅读量比2019年多1本，阅读总量比2019年增加1700本．（注：阅读总量＝人均阅读量×人数）
①求2019年全校学生人均阅读量；
②2019年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2020年、2021年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2021年全校学生人均阅读量比2019年增加的百分数也是a，那么2021年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（　　）
A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m
【解析】解：设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为m，
依题意得：x ＝1.5，
整理得：4x2﹣12x+9＝0，
解得：x1＝x2＝1.5．
故选：B．
2．（2021秋 惠安县期末）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝45 B．x（x+1）＝45 C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【解析】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1）．
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
3．（2021秋 侯马市期末）祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　）
A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120
C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120
【解析】解：当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为8﹣x﹣5＝（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3﹣x）（50+10x）＝120．
故选：B．
4．（2021秋 青岛期末）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484
【解析】解：第一年的产量为400（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400（1+x）（1+x），
则列出的方程是400（1+x）2＝484．
故选：B．
5．（2021秋 大连期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
6．（2021秋 宽城区期末）如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）
A．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 B．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．35x+2×20x﹣2x2＝600
【解析】解：若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（35﹣2x）米，宽（20﹣x）米的长方形，
依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
7．（2019秋 来宾期末）某文具店将进价为30元的钢笔，以50元售出，平均每月能售出300支，经试销发现每支钢笔每涨价10元，其月销售量就减少10支，为实现每月利润8000元，设定价为x，则可得方程（　　）
A．300（x﹣30）＝8000 B．300（x﹣50）＝8000
C．（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]＝8000 D．x﹣30＝8000
【解析】解：设定价为x元，由题意得
（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]＝8000．
故选：C．
8．（2021秋 安居区期末）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为950m2，那么小道的宽度应是（　　）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
【解析】解：设小道的宽度为xm，
依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝950，
整理得：x2﹣46x+45＝0，
解得：x1＝1，x2＝45．
又∵40﹣2x＞0，
∴x＜20，
∴x＝1．
故选：A．
9．（2021秋 南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（　　）
A．（x+1）（x+2）＝30 B．（x﹣1）（x﹣2）＝30
C．（x+1）（x﹣2）＝30 D．（x﹣1）（x+2）＝30
【解析】解：∴正方形的边长为xcm，
∴矩形纸片的长为（x+2）cm，宽为（x+1）cm．
依题意得：（x+2）（x+1）＝30．
故选：A．
10．（2021秋 依安县期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．（　　）（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【解析】解：设当P、Q两点从出发开始x秒时（x＜），点P和点Q的距离是10cm，
此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，
根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，
解得：x1＝2，x2＝．
答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 徐汇区校级期末）某商品由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36%，则平均每次降低成本 　20%　（填百分数）．
【解析】解：设原来的成本为1，平均每次降低x，
由题意得：（1﹣x）2＝1﹣36%，
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去），
答：平均每次降低成本的20%．
故答案为：20%．
12．（2021秋 阳山县期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程 　（50﹣x）（300+10x）＝16000　．
【解析】解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，
依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，
故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．
13．（2020春 蜀山区期末）如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为　1　m．
【解析】解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得
（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
故答案为：1．
14．（2021 商河县校级模拟）有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　4m或6m　．
【解析】解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
15．（2021秋 尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　cm2．
【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x） x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
16．（2020秋 潜江期末）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝　2或﹣1　．
【解析】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
17．（2020秋 普陀区期末）2020年上海某垃圾处理厂5月份分别从甲乙两社区各回收干垃圾a吨，据该垃圾处理厂统计，在6月份和7月份中，甲社区干垃圾平均每月的增长率是x，乙社区干垃圾平均每月的减少率是x，那么7月份甲社区比乙社区的干垃圾量多 　4ax　吨．（结果用含a、x的代数式表示）
【解析】解：∵5月份分别从甲乙两社区各回收干垃圾a吨，6月份和7月份甲社区干垃圾平均每月的增长率是x，乙社区干垃圾平均每月的减少率是x，
∴7月份甲社区的干垃圾量为a（1+x）2，乙社区的干垃圾量为a（1﹣x）2，
∴7月份甲社区比乙社区的干垃圾量多a（1+x）2﹣a（1﹣x）2＝a（1+2x+x2）﹣a（1﹣2x+x2）＝a+2ax+ax2﹣a+2ax﹣ax2＝4ax，
故答案为：4ax．
三．解答题
18．（2021秋 长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．
（1）求该饮品的售价；
（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．
【解析】解：（1）设该饮品的售价为x元，则每杯的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）杯，
依题意得：（x﹣20）（180﹣3x）﹣300＝600，
整理得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50．
又∵每件销售品的利润率不得高于成本的80%，
∴x＝30．
答：该饮品的售价为30元．
（2）（180﹣3×30）×1×30
＝（180﹣90）×1×30
＝90×1×30
＝2700（元）．
答：该店每月（按30天计算）的捐款金额为2700元．
19．（2021秋 长春期末）如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD的面积为150m2，求AB的长．
【解析】解：设AB＝xm，则BC＝（50﹣4x）m，
依题意得：x（50﹣4x）＝150，
整理得：2x2﹣25x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
当x＝5时，50﹣4x＝50﹣4×5＝30＞25，不合题意，舍去；
当x＝时，50﹣4x＝50﹣4×＝20＜25，符合题意．
答：AB的长为m．
20．（2021 平阴县一模）2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？
【解析】解：（1）设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2021年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，
依题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）2019年所获利润为（3500÷35）×（60﹣35）＝100×25＝2500（元）．
2021年所获利润为100×（60﹣24）＝3600（元）．
设该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率为m，
依题意得：2500（1+m）2＝3600，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率是20%．
21．（2021秋 零陵区期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　（20+2x）　件，每件盈利 　（40﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【解析】解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，
每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）由题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；
（3）不可能，理由如下：
依题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
22．（2021秋 商水县月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
【解析】解：根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．
（1）根据三角形的面积公式，得
PB BQ＝35，
t（12﹣t）＝35，
t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于8cm，根据勾股定理，得
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
5t2﹣24t+16＝0，
解得t1＝，t2＝4．
故当t为或4时，PQ的长度等于8cm．
（3）当0＜t≤8时，
PB BQ＝32，即×2t×（12﹣t）＝32，
则t2﹣12t+32＝0，
解得t1＝4，t2＝8．
当8＜t≤12时，
则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，
则△PBQ的面积＝PB BQ＝×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，
解得：t＝20或8（均舍去）；
当12＜t≤16时，
PB BQ＝32，
（16﹣t）（t﹣12）＝32，
t2﹣28t+224＝0，
Δ＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．
23．（2021秋 惠安县期末）某中学“陶然轩”读书社团对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查．2019年全校有1000名学生，2020年全校学生人数比2019年增加10%，2021年全校学生人数比2020年增加100人．
（1）2021年全校学生有 　1200　人；
（2）2020年全校学生人均阅读量比2019年多1本，阅读总量比2019年增加1700本．（注：阅读总量＝人均阅读量×人数）
①求2019年全校学生人均阅读量；
②2019年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2020年、2021年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2021年全校学生人均阅读量比2019年增加的百分数也是a，那么2021年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
【解析】解：（1）由题意，得
2020年全校学生人数为：1000×（1+10%）＝1100（人），
故2021年全校学生人数为：1100+100＝1200（人）．
故答案是：1200；
（2）①设2019人均阅读量为x本，则2020年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得
1100（x+1）＝1000x+1700，
解得：x＝6．
答：2019年全校学生人均阅读量为6本；
②由题意，得
2019年读书社的人均读书量为：2.5×6＝15本，
2020年读书社人均读书量为15（1+a）2本，
2021年全校学生的人均读书量为6（1+a）本，
80×15（1+a）2＝1200×6（1+a）×25%
2（1+a）2＝3（1+a），
∴a1＝﹣1（舍去），a2＝0.5．
答：a的值为0.5．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)