2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习
一．选择题
1．（2021 三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
2．（2021秋 硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则x1 x2＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．（2021秋 江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值以及另一个根为（　　）
A．1，﹣1 B．1，1 C．﹣1，﹣1 D．﹣1，1
4．（2020 遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
5．（2021春 乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，则原方程的另一个解是（　　）
A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或7
6．（2021秋 黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
7．（2021 济宁）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8．（2021秋 霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
9．（2021秋 安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（　　）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
10．（2020秋 六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2，则m等于（　　）
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2
二．填空题
11．（2021秋 滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　．
12．（2021秋 十堰期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2＝　 　．
13．（2021秋 新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 　 　．
14．（2021 孝南区二模）已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是　 　．
15．（2020春 文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　 　．
16．（2021春 拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 　 　．
三．解答题
17．（2021秋 越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：
（1）+的值；
（2）m2﹣mn+n2的值．
18．（2021秋 章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2满足，求实数m的值．
19．（2021秋 梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．
20．（2021秋 荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）若方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，求整数t的值．
21．（2021秋 南安市期中）阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设原方程的根为x1，x2则新方程的根为2x1，2x2．
因为x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣1，
所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．
2x1 2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．
所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．
请用阅读材料提供的方法求新方程．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 　 　．
（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
答案与解析
一．选择题
1．（2021 三水区一模）方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【解析】解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为﹣＝﹣＝6，
故选：B．
2．（2021秋 硚口区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则x1 x2＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1x2＝﹣1．
故选：D．
3．（2021秋 江油市月考）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值以及另一个根为（　　）
A．1，﹣1 B．1，1 C．﹣1，﹣1 D．﹣1，1
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，p＝﹣1．
故选：C．
4．（2020 遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
【解析】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
5．（2021春 乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，则原方程的另一个解是（　　）
A．x2＝0或7 B．x2＝3或4 C．x2＝3或7 D．x2＝4或7
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，
∴4a2﹣14a+6a＝0，
解得a＝0或a＝2，
∴当a＝0时，方程为x2﹣7x＝0，
∵x1＝0，
∴x2＝7；
当a＝2时，x2﹣7x+12＝0，
∵x1＝4，
∴x2＝7﹣4＝3，
故选：C．
6．（2021秋 黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
【解析】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a的值为﹣1．
故选：B．
7．（2021 济宁）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
8．（2021秋 霞浦县期中）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，
∴，
∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．
当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；
当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
故选：D．
9．（2021秋 安州区期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（　　）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
【解析】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，
∴α2+3α＝6，
由根系数的关系可知：α+β＝﹣3，
∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15
故选：B．
10．（2020秋 六盘水期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2，则m等于（　　）
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2
【解析】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b，
根据根与系数的关系得a+b＝m，ab＝1，
而|a﹣b|＝2，
∴（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣4ab＝4，
∴m2﹣4×1＝4，
解得m＝±2，
∵Δ＝m2﹣4＞0，
∴m的值为2或﹣2．
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 滨湖区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则x1+x2＝　2　，x1 x2＝　﹣　．
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的两个根，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝2，
x1 x2＝＝﹣，
故答案为：2，﹣．
12．（2021秋 十堰期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2＝　2　．
【解析】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x1+x2﹣x1 x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
13．（2021秋 新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 　4　．
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1，设另一根为a，
∴﹣1+a＝3，
解得：a＝4，
则另一根为4．
故答案为：4．
14．（2021 孝南区二模）已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是　3　．
【解析】解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，
故答案为：3．
15．（2020春 文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　﹣2或﹣　．
【解析】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2，
x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0，
x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0，
（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
16．（2021春 拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 　x2﹣7x+2＝0　．
【解析】解：∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1 x2＝1×2＝2；
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
三．解答题
17．（2021秋 越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：
（1）+的值；
（2）m2﹣mn+n2的值．
【解析】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴+＝＝＝﹣；
（2）m2﹣mn+n2
＝（m+n）2﹣3mn
＝（）2﹣3×（﹣）
＝+
＝10．
18．（2021秋 章贡区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2满足，求实数m的值．
【解析】解（1）证明：△＝（m+2）2﹣4×1 m＝m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即Δ＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个实数根x1，x2
∴x1+x2＝m+2，x1x2＝m．
∵，
∴（m+2）2﹣2m＝16+m，
即m2+m﹣12＝0，
解得：m＝﹣4或m＝3
∴实数m的值为﹣4或3．
19．（2021秋 梁子湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，求代数式（x12+2x1）（x22﹣2）的值．
【解析】解：（1）由题意△≥0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
∴m≤2；
（2）当m＝1时，方程为x2+x﹣1＝0，
则x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，x12+x1＝1，x22﹣1＝﹣x2，
∴（x12+2x1）（x22﹣2）＝（1+x1）（﹣x2﹣1）＝﹣x1x2﹣1﹣x1﹣x2＝1﹣1﹣（﹣1）＝1．
20．（2021秋 荔城区校级期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）若方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，求整数t的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×（t﹣2）＝（t﹣3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0，
（x﹣t+2）（x﹣1）＝0，
解得x1＝t﹣2，x2＝1，
∵方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，
∴t﹣2＝3×1，
解得t＝5；
或3（t﹣2）＝1，
解得t＝（舍去）．
故整数t的值为5．
21．（2021秋 南安市期中）阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设原方程的根为x1，x2则新方程的根为2x1，2x2．
因为x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣1，
所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．
2x1 2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．
所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．
请用阅读材料提供的方法求新方程．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 　x2﹣x﹣2＝0　．
（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
【解析】解：（1）设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为﹣x1，﹣x2．
因为x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣2，
所以﹣x1+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣1×（﹣1）＝1．
（﹣x1） （﹣x2）＝x1x2＝﹣2，
所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；
故答案为x2﹣x﹣2＝0；
（2）设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为，，
因为x1+x2＝，x1 x2＝﹣，
所以+＝＝＝﹣3，
＝＝＝﹣2，
所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．
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