3.3 方差与标准差 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 3.3方差与标准差同步练习
一．选择题
1．（2020秋 罗湖区校级期末）一组数据﹣1，﹣2，0，1，2，则这组数据的方差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
2．（2021 饶平县校级模拟）在一次数学测试中，某学校小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是82 C．方差8.4 D．平均数是81
3．（2021秋 海阳市期末）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.8，s乙2＝0.6，s丙2＝0.9，s丁2＝1.0，则射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2021春 北京期末）想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据﹣3，2，0，1，﹣1，﹣2，3，且新的这组数据的方差为4，则s2为（　　）
A．4 B．16 C．196 D．204
5．（2021 聊城二模）某中学为了解学生参加“青年大学习”网上班课的情况，对九年级6个班的学习人数进行了统计，得到各班参加班课的人数数据为5，10，10，12，14，9．对于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是10 B．众数是10 C．中位数是11 D．方差是
6．（2020春 台州期末）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省射击比赛，对他们的射击水平进行考核．在相同的情况下，两人的比赛成绩经统计算后如表：
运动员 射击次数 中位数（环） 方差 平均数（环）
甲 15 7 1.6 8
乙 15 8 0.7 8
某同学根据表格分析得出如下结论：①甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同；②乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀）；③甲运动员成绩的波动比乙大．上述结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
7．（2021 安徽模拟）某场比赛，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分与10个原始评分相比，一定不变的数据特征是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（2021 同安区三模）小红同学对数据25，32，23，25，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
9．（2021秋 济南期末）为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取100株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是5.5，19.8，则下列说法正确的是（　　）
A．乙秧苗出苗更整齐 B．甲秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
10．（2020 汉阳区校级自主招生）七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：
甲组 158 159 160 160 160 161 169
乙组 158 159 160 161 161 163 165
以下叙述错误的是（　　）
A．甲组同学身高的众数是160 B．乙组同学身高的中位数是161
C．甲组同学身高的平均数是161 D．两组相比，乙组同学身高的方差大
二．填空题
11．（2020秋 历城区期末）已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是　 　．
12．（2021 鄂温克族自治旗二模）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是　 　．
13．（2021秋 肃州区期末）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：＝24；＝18；甲＝乙＝80；则成绩较为稳定的班级是 　 　．
14．（2021秋 锦州期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学考试成绩的平均分（单位：分）与方差：
甲 乙 丙 丁
平均分 93 96 96 93
方差（s2） 5.1 4.9 1.2 1.0
要推荐一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择 　 　（填甲、乙、丙、丁中一个即可）．
15．（2021秋 招远市期中）已知一组数据x1，x2，x3，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的方差是 　 　．
16．（2021秋 招远市期中）在方差计算公式s2＝中，可以看出15表示这组数据的 　 　．
三．解答题
17．（2021春 饶平县校级期末）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）计算甲、乙两人射击成绩的平均数．
（2）计算甲、乙两人的射击成绩的方差，并说明谁的成绩更稳定？
18．（2020秋 招远市期末）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 　．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 　．
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 　，方差　 　．（填“变大”、“变小”或“不变”）
19．（2022春 遵化市月考）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，甲组成绩的中位数是 　 　，乙组成绩的众数是 　 　；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
20．（2020 鼓楼区二模）某篮球队员在篮球联赛中分别与甲队、乙队对阵各四场，如表是他的技术统计．
场次 对阵甲队 对阵乙队
得分（分） 失误（次） 得分（分） 失误（次）
第一场 25 2 27 3
第二场 30 0 31 1
第三场 27 3 20 2
第四场 26 2 26 4
（1）他在对阵甲队和乙队的各四场比赛中，平均每场得分分别是多少？
（2）利用方差判断他在对阵哪个队时得分比较稳定；
（3）根据上表提供的信息，判断他在对阵哪个队时总体发挥较好，简要说明理由．
21．（2020 老河口市模拟）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如表：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x人数部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 10 2
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
部门 平均数 中位数 众数 方差
甲 78.3 77.5 m 33.61
乙 78 n 81 117.5
得出结论a．上表中m＝　 　，n＝　 　；
b．甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是　 　部门，估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　 　；
c．可以推断出　 　部门员工的生产技能水平较高，理由为　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋 罗湖区校级期末）一组数据﹣1，﹣2，0，1，2，则这组数据的方差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．10
【解析】解：这组数据的平均数是：（﹣1﹣2+0+1+2）÷5＝0，
则这组数据的方差为：[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]＝2；
故选：C．
2．（2021 饶平县校级模拟）在一次数学测试中，某学校小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是82 C．方差8.4 D．平均数是81
【解析】解：将数据重新排列为65、76、82、82、86、95，
A、数据的众数为82，此选项正确；
B、数据的中位数为＝82，此选项正确；
C、数据的平均数为＝81，
所以方差为×[（65﹣81）2+（76﹣81）2+2×（82﹣81）2+（86﹣81）2+（95﹣81）2]＝84，此选项错误；
D、由C选项知此选项正确；
故选：C．
3．（2021秋 海阳市期末）甲、乙、丙、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.8，s乙2＝0.6，s丙2＝0.9，s丁2＝1.0，则射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解析】解：∵s甲2＝0.8，s乙2＝0.6，s丙2＝0.9，s丁2＝1.0，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2＜S丁2，
∴射击成绩最稳定的是乙；
故选：B．
4．（2021春 北京期末）想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203的方差s2，在计算平均数的过程中，将这组数据的每一个数都减去200，得到一组新数据﹣3，2，0，1，﹣1，﹣2，3，且新的这组数据的方差为4，则s2为（　　）
A．4 B．16 C．196 D．204
【解析】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴s2＝4．
故选：A．
5．（2021 聊城二模）某中学为了解学生参加“青年大学习”网上班课的情况，对九年级6个班的学习人数进行了统计，得到各班参加班课的人数数据为5，10，10，12，14，9．对于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．平均数是10 B．众数是10 C．中位数是11 D．方差是
【解析】解：A、平均数是（5+10+10+12+14+9）÷6＝10，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵10出现了2次，出现的次数最多，∴众数是10，故本选项说法正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为：5，9，10，10，12，14，则中位数是＝10，故本选项说法错误，符合题意；
D、方差为：×[（5﹣10）2+2×（10﹣10）2+（12﹣10）2+（14﹣10）2+（9﹣10）2]＝，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．（2020春 台州期末）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省射击比赛，对他们的射击水平进行考核．在相同的情况下，两人的比赛成绩经统计算后如表：
运动员 射击次数 中位数（环） 方差 平均数（环）
甲 15 7 1.6 8
乙 15 8 0.7 8
某同学根据表格分析得出如下结论：①甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同；②乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀）；③甲运动员成绩的波动比乙大．上述结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解析】解：∵＝＝8，
∴甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同，故结论①正确；
∵乙的中位数为8，甲的中位数为7，
∴乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀），故结论②正确；
∵＝1.6，＝0.7，
∴＜，
∴甲运动员成绩的波动比乙大，故③正确；
故选：A．
7．（2021 安徽模拟）某场比赛，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分与10个原始评分相比，一定不变的数据特征是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【解析】解：根据题意，将10个数据从小到大排列，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．
8个有效评分与10个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
即不变的数据特征是中位数．
故选：C．
8．（2021 同安区三模）小红同学对数据25，32，23，25，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【解析】解：中位数与计算结果与被涂污数字无关，
故选：A．
9．（2021秋 济南期末）为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取100株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是5.5，19.8，则下列说法正确的是（　　）
A．乙秧苗出苗更整齐 B．甲秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
【解析】解：∵甲、乙的方差分别是5.5，19.8，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴甲秧苗出苗更整齐，
故选：B．
10．（2020 汉阳区校级自主招生）七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：
甲组 158 159 160 160 160 161 169
乙组 158 159 160 161 161 163 165
以下叙述错误的是（　　）
A．甲组同学身高的众数是160 B．乙组同学身高的中位数是161
C．甲组同学身高的平均数是161 D．两组相比，乙组同学身高的方差大
【解析】解：A、甲组同学身高的众数是160，此选项正确；
B、乙组同学身高的中位数是161，此选项正确；
C、甲组同学身高的平均数是＝161，此选项正确；
D、甲组的方差为，乙组的方差为，甲组的方差大，此选项错误；
故选：D．
二．填空题
11．（2020秋 历城区期末）已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是　2　．
【解析】解：依题意可得，
数据2，3，4，5，6的平均数为：＝4，
方差为：[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故答案为：2．
12．（2021 鄂温克族自治旗二模）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是　2　．
【解析】解：∵数据2，0，1，x，3的平均数是2，
∴（2+0+1+x+3）＝2，
解得：x＝4，
∴这组数据的方差是S2＝[（2﹣2）2+（0﹣2）2+（1﹣2）2+（4﹣2）2+（3﹣2）2]＝2；
故答案为：2．
13．（2021秋 肃州区期末）甲、乙两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：＝24；＝18；甲＝乙＝80；则成绩较为稳定的班级是 　乙班　．
【解析】解：∵S甲2＝24，S乙2＝18，甲＝乙＝80，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩较为稳定的班级是乙班，
故答案为：乙班．
14．（2021秋 锦州期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学考试成绩的平均分（单位：分）与方差：
甲 乙 丙 丁
平均分 93 96 96 93
方差（s2） 5.1 4.9 1.2 1.0
要推荐一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择 　丙　（填甲、乙、丙、丁中一个即可）．
【解析】解：∵甲和丁的平均数较小，
∴从乙和丙中选择一人参加竞赛，
∵丙的方差较小，
∴选择丙竞赛．
故答案为：丙．
15．（2021秋 招远市期中）已知一组数据x1，x2，x3，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的方差是 　8　．
【解析】解：∵数据x1，x2，x3，方差是2，
∴数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的方差22×2＝8．
故答案为：8．
16．（2021秋 招远市期中）在方差计算公式s2＝中，可以看出15表示这组数据的 　平均数　．
【解析】解：在方差计算公式算公式s2＝中，数15表示这组数据的平均数；
故答案为：平均数．
三．解答题
17．（2021春 饶平县校级期末）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）计算甲、乙两人射击成绩的平均数．
（2）计算甲、乙两人的射击成绩的方差，并说明谁的成绩更稳定？
【解析】解：（1）甲射击成绩的平均数＝（8+8+7+8+9）＝8（环）．
乙射击成绩的平均数＝（5+9+7+10+9）＝8（环）．
（2）＝（0+0+1+0+1）＝0.4；
＝（9+1+1+4+1）＝3.2；
∵＜，
∴甲的成绩更稳定．
18．（2020秋 招远市期末）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝　8　，b＝　8　，c＝　9　．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　甲的方差较小，比较稳定　．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多　．
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　不变　，中位数　变小　，方差　变小　．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【解析】解：（1）甲的成绩中，8出现的次数最多，因此甲的众数是8，即b＝8，
（5+9+7+9+10）÷5＝8．即a＝8，
将乙的成绩从小到大排列为5，7，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c＝9，
故答案为：8，8，9．
（2）甲的方差较小，比较稳定，乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多，
（3）原平均数是8，增加一次是8，因此6次的平均数还是8，不变，
六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，中位数是8.5，比原来变小，方差变小，
故答案为：不变，变小，变小．
19．（2022春 遵化市月考）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝　3　，甲组成绩的中位数是 　8.5　，乙组成绩的众数是 　8　；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
【解析】解：由题意可得：1+9+5+5+2+9+6+m＝40，解得m＝3，
甲组成绩一共有20组，从小到大最中间为8和9，则中位数为，
乙组成绩中最多的为8，则众数为8．
（2）＝＝8.5，
，
∵，
∴乙组的成绩更加稳定．
20．（2020 鼓楼区二模）某篮球队员在篮球联赛中分别与甲队、乙队对阵各四场，如表是他的技术统计．
场次 对阵甲队 对阵乙队
得分（分） 失误（次） 得分（分） 失误（次）
第一场 25 2 27 3
第二场 30 0 31 1
第三场 27 3 20 2
第四场 26 2 26 4
（1）他在对阵甲队和乙队的各四场比赛中，平均每场得分分别是多少？
（2）利用方差判断他在对阵哪个队时得分比较稳定；
（3）根据上表提供的信息，判断他在对阵哪个队时总体发挥较好，简要说明理由．
【解析】解：（1）甲队的平均每场得分是＝27（分）；
乙队的平均每场得分是＝26（分）；
（2）甲队的方差是：[（25﹣27）2+（30﹣27）2+（27﹣27）2+（26﹣27）2]＝3.5；
乙队的方差是：[（27﹣26）2+（31﹣26）2+（20﹣26）2+（26﹣26）2]＝15.5；
∵3.5＜15.5，
∴他在对阵甲队时得分比较稳定；
（3）他在对阵甲队时总体发挥较好，理由：甲队的平均数大于乙队的平均数，而甲队的方差小于乙队的方差，
他对阵甲队平均失误是＝1.75次，对阵乙队的平均失误为＝2.5次，
所以他在对阵甲队时总体发挥较好．
21．（2020 老河口市模拟）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如表：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x人数部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 10 2
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
部门 平均数 中位数 众数 方差
甲 78.3 77.5 m 33.61
乙 78 n 81 117.5
得出结论a．上表中m＝　75　，n＝　80.5　；
b．甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是　甲　部门，估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　240　；
c．可以推断出　甲　部门员工的生产技能水平较高，理由为　①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【解析】解：a．由题中第一个表格可知：
甲中出现次数最多的是75，则众数为75，即m＝75；
由第二个表格可知：乙的第10和11个数据在80≤x≤89范围内；
再观察第一个表可知，第10个数为80，第11个数为81，故中位数为＝80.5，即n＝80.5．
故答案为：75，80.5；
b．∵甲的方差为33.61，乙的方差为117.5，
∴甲的方差＜乙的方差，
∴甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是甲部门；
∵成绩80分及以上为生产技能优秀，乙符合此条件的有10+2＝12（人），
∴估计乙部门生产技能优秀的员工人数为：400×＝240（人）．
故答案为：甲，240；
c．可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
故答案为：甲；①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
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