2021-2022学年浙教版数学八下1.2 二次根式的性质同步练习
一、单选题
1．（2021八上·如皋期末）把代数式 中的 移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·新邵期末）如果，，那么下面各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·会同期末）下列根式中是最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．二次根式 (a≥0)是（ ）
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
5．若二次根式 的值是整数，则下列n的取值不符合条件的是（ ）
A．n=3 B．n=12 C．n=18 D．n=27
6．（2021八上·鄄城期中）下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·永年期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·松江期中）已知 ，那么 可化简为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021八上·牡丹月考）下列四个等式：① ；② ；③ ；④ ．正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
10．（2021八上·槐荫月考）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝6
C． ＝﹣6 D．﹣ ＝﹣2
二、填空题
11．（2021八上·运城期中）实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于
12．（2021八上·杨浦期中）计算： ＝ （计算结果保留π）．
13．（2021八上·杨浦期中）化简： （a＜0）＝ ．
14．（2021八上·松江期中）化简：
15．（2021八上·章丘期中）已知1＜a＜3，则化简 ﹣ 的结果是 ．
16．（2021八上·正定期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
三、综合题
17．
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
18．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
19．（2021八上·通川期中）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ， ，使 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简.
例如：化简 .
解： ，
.
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ；
（2） .
20．（2021·昭通模拟）实践与探索
（1）填空： ； ．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ；当 时， ．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．
21．（2021七下·海淀期中）已知：实数a，b满足 ．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数x的两个平方根分别为 和 时，求x的值．
22．（2021八下·龙口期中）阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简： ＝ 3 ；
（2）若等式 ＝4成立，则a的取值范围是 3≤a≤7 ；
（3）若 ＝8，求a的取值．
23．（2020九上·洪洞期中）求代数式 的值，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式 的值，其中
24．（2021七下·潮阳期中）在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0）的坐标满足|a＋b﹣6|＋ ＝0
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，将AB平移到CD，点A对应点C（﹣2，m），若△ABC面积为12，连接CO，求点C的坐标；
（3）如图2，将AB平移到CD，若点C、D也在坐标轴上，点F为线段AB上一点且∠BOF＝20°，FP平分∠BFO，CP平分∠BCD，FP与CP交于点P．求∠P的度数．
25．（2020八上·雅安期中）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝ ，则a±2 将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使 得以化简．例如，因为5＋2 ＝3＋2＋2 ＝( )2＋( )2＋2 × ＝( ＋ )2，所以 ＝ ．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）
（2）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（a-1） =-（1-a） = .
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得1-a>0，故a-1＜0，进而根据二次根式的性质即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；有理数的加法；有理数的乘法
【解析】【解答】解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0.
∴A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、因为二次根式的被开方数不能小于0，所以无意义，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得a<0，b<0，由二次根式的性质可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式有意义的条件可判断D.
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. 是最简二次根式，故D正确，
故答案为：D.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：二次根式（a≥0）是非负数.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质：当a≥0时，≥0，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵二次根式 的值是整数，
∴3n是一个正整数的平方，
∴当n=3时，3n=9=32，故A不符合题意；
当n=12时，3n=36=62，故B不符合题意；
当n=18时，3n=54，故C符合题意；
当n=27时，3n=81=92，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 根据题意得出3n是一个正整数的平方，逐项进行计算，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可。
7．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，此选项不符合题意；
B、 ，此选项符合题意；
C、 ，此选项不符合题意；
D、 ，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质，平方根和立方根的性质求解即可。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
而 ，
，
原式 ．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质化简即可。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，①不符合题意； ，②不符合题意，③符合题意； ，④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的定义以及有理数的乘方法则判断即可。
10．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用算术平方根以及立方根的性质化简即可。
11．【答案】0
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由图可知， ，
=
=0，
故答案为：0．
【分析】根据数轴可得：，再利用二次根式的性质：，可得==0.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】由于，根据二次根式的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
【分析】当a＜0时，由二次根式的性质可得，据此化简即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质去掉根号，再利用绝对值的性质去掉绝对值即可。
15．【答案】2a 5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ﹣ ＝ ，
∵1＜a＜3，
∴1 a＜0，a 4＜0，
∴ ＝a 1 （4 a）＝2a 5．
故答案为：2a 5．
【分析】先利用完全平方公式化简被开方数，再根据二次根式的性质化简去掉绝对值，再根据绝对值中的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可。
16．【答案】-2a
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴可得： ，且 ，
则 ， ，
∴ ，
，
，
．
故答案为：-2a．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再结合数轴利用特殊值法判断出绝对值中的正负，再去掉绝对值，然后合并同类项即可。
17．【答案】（1）解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤6；
（2）解：当x=-2时， ==2；
（3）解：∵=1，
∴3-x=1，
∴x=4.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式得出x的取值范围；
（2）把x=-2代入进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出=1，从而得出3-x=1，解方程即可得出x的值.
18．【答案】（1）解：把 x=0代入二次根式，得 = = 3
（2）解：把x= 代入二次根式，得 = =
（3）解：把x=-2代入二次根式，得 = =5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）把x=0代入二次根式，再开方即可得出答案；
（2）把x=
代入二次根式进行计算，即可得出答案；
（3）把x=-2代入二次根式，再开方即可得出答案.
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）7+可变形为(2+)2，然后根据二次根式的性质进行计算；
（2）5-可变形为2，然后根据二次根式的性质进行计算.
20．【答案】（1）3；5
（2）a；-a
（3）解：由数轴可得x的取值范围为 ，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴
=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1） 3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时 a；当a＜0时， -a；
故答案为：a，-a；
【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用二次根式的性质化简即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可。
21．【答案】（1）-3；4
（2）解：依题意，得 ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】平方根；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：（1） ， ；
【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性，可得a+3=0,b-4=0，据此求出a、b的值即可；
（2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此可得，据此求出m的值，从而求出x值.
22．【答案】（1）解：∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）解：由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）解：原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；列式表示数量关系；二次根式的化简求值
【解析】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
(2)解：由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
(3)解：原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
【分析】（1）先求出 a﹣2≥0，a﹣5≤0 ，再计算求解即可；
（2）先求出 3﹣a﹣（a﹣7）＝4， 再分类讨论，计算求解即可；
（3）先求出 |a+1|+|a﹣5|＝8， 再分类讨论求解即可。
23．【答案】（1）小亮
（2）二次根式的结果一定是非负数
（3）原式 ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法错误，
当 时， ，
故答案是：小亮；（2）错误的原因是：二次根式的结果一定是非负数，而当 时， 是负数，
故答案是：二次根式的结果一定是非负数；
【分析】（1）小亮错在“ ”；（2）错误的原因是没有考二次根式的结果一定是非负数；（3）把 化简为 ，根据a的值，再化简绝对值，得出结果．
24．【答案】（1）解：∵|a+b-6|+ ＝0，
又∵|a+b-6|≥0， ≥0，
∴ ，解得 ，
∴A（0，2），B（4，0）．
（2）解：如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．
∵S△ABC=S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN，
∴ ，
整理得 ，
解得 或7，
∴C（-2，-3）或（-2，7）；
（3）解：如图2中，延长AB交CP的延长线于M．设∠PCB=∠PCD=x，∠PFO=∠PFB=y，
∵AM∥CD，
∴∠DCM=∠M，∠OBF=∠BCD，
∵∠CPF=∠M+∠PFM，
∴∠CPF=x+y，
∵∠FOB=20°，
∴∠OFB+∠OBF=160°，
∴2x+2y=160°，
∴x+y=80°，
∴∠CPF=80°．
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出答案即可；
（2）根据题意，利用分割法构建方程求出答案即可；
（3）根据题意，设∠PCB=∠PCD=x，∠PFO=∠PFB=y，首先证明∠CPF=x+y，求出x+y的答案即可。
25．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据题目中被开方数为加法算式的方法，化简根式即可；
（2）根据题目中被开方数为减法算式的方法，化简根式即可得到答案。
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下1.2 二次根式的性质同步练习
一、单选题
1．（2021八上·如皋期末）把代数式 中的 移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（a-1） =-（1-a） = .
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得1-a>0，故a-1＜0，进而根据二次根式的性质即可得出答案.
2．（2021八上·新邵期末）如果，，那么下面各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；有理数的加法；有理数的乘法
【解析】【解答】解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0.
∴A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、因为二次根式的被开方数不能小于0，所以无意义，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得a<0，b<0，由二次根式的性质可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式有意义的条件可判断D.
3．（2021八上·会同期末）下列根式中是最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. 是最简二次根式，故D正确，
故答案为：D.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
4．二次根式 (a≥0)是（ ）
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：二次根式（a≥0）是非负数.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质：当a≥0时，≥0，即可得出答案.
5．若二次根式 的值是整数，则下列n的取值不符合条件的是（ ）
A．n=3 B．n=12 C．n=18 D．n=27
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵二次根式 的值是整数，
∴3n是一个正整数的平方，
∴当n=3时，3n=9=32，故A不符合题意；
当n=12时，3n=36=62，故B不符合题意；
当n=18时，3n=54，故C符合题意；
当n=27时，3n=81=92，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 根据题意得出3n是一个正整数的平方，逐项进行计算，即可得出答案.
6．（2021八上·鄄城期中）下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可。
7．（2021八上·永年期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，此选项不符合题意；
B、 ，此选项符合题意；
C、 ，此选项不符合题意；
D、 ，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质，平方根和立方根的性质求解即可。
8．（2021八上·松江期中）已知 ，那么 可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
而 ，
，
原式 ．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质化简即可。
9．（2021八上·牡丹月考）下列四个等式：① ；② ；③ ；④ ．正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，①不符合题意； ，②不符合题意，③符合题意； ，④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的定义以及有理数的乘方法则判断即可。
10．（2021八上·槐荫月考）下列计算正确的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝6
C． ＝﹣6 D．﹣ ＝﹣2
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用算术平方根以及立方根的性质化简即可。
二、填空题
11．（2021八上·运城期中）实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于
【答案】0
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由图可知， ，
=
=0，
故答案为：0．
【分析】根据数轴可得：，再利用二次根式的性质：，可得==0.
12．（2021八上·杨浦期中）计算： ＝ （计算结果保留π）．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】由于，根据二次根式的性质求解即可.
13．（2021八上·杨浦期中）化简： （a＜0）＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
【分析】当a＜0时，由二次根式的性质可得，据此化简即可.
14．（2021八上·松江期中）化简：
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = ，
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质去掉根号，再利用绝对值的性质去掉绝对值即可。
15．（2021八上·章丘期中）已知1＜a＜3，则化简 ﹣ 的结果是 ．
【答案】2a 5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ﹣ ＝ ，
∵1＜a＜3，
∴1 a＜0，a 4＜0，
∴ ＝a 1 （4 a）＝2a 5．
故答案为：2a 5．
【分析】先利用完全平方公式化简被开方数，再根据二次根式的性质化简去掉绝对值，再根据绝对值中的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可。
16．（2021八上·正定期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
【答案】-2a
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴可得： ，且 ，
则 ， ，
∴ ，
，
，
．
故答案为：-2a．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再结合数轴利用特殊值法判断出绝对值中的正负，再去掉绝对值，然后合并同类项即可。
三、综合题
17．
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
【答案】（1）解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤6；
（2）解：当x=-2时， ==2；
（3）解：∵=1，
∴3-x=1，
∴x=4.
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式得出x的取值范围；
（2）把x=-2代入进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出=1，从而得出3-x=1，解方程即可得出x的值.
18．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
【答案】（1）解：把 x=0代入二次根式，得 = = 3
（2）解：把x= 代入二次根式，得 = =
（3）解：把x=-2代入二次根式，得 = =5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）把x=0代入二次根式，再开方即可得出答案；
（2）把x=
代入二次根式进行计算，即可得出答案；
（3）把x=-2代入二次根式，再开方即可得出答案.
19．（2021八上·通川期中）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ， ，使 且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简.
例如：化简 .
解： ，
.
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）7+可变形为(2+)2，然后根据二次根式的性质进行计算；
（2）5-可变形为2，然后根据二次根式的性质进行计算.
20．（2021·昭通模拟）实践与探索
（1）填空： ； ．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ；当 时， ．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．
【答案】（1）3；5
（2）a；-a
（3）解：由数轴可得x的取值范围为 ，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴
=2．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1） 3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时 a；当a＜0时， -a；
故答案为：a，-a；
【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用二次根式的性质化简即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可。
21．（2021七下·海淀期中）已知：实数a，b满足 ．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数x的两个平方根分别为 和 时，求x的值．
【答案】（1）-3；4
（2）解：依题意，得 ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】平方根；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性
【解析】【解答】解：（1） ， ；
【分析】（1）根据二次根式及偶次幂的非负性，可得a+3=0,b-4=0，据此求出a、b的值即可；
（2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此可得，据此求出m的值，从而求出x值.
22．（2021八下·龙口期中）阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简： ＝ 3 ；
（2）若等式 ＝4成立，则a的取值范围是 3≤a≤7 ；
（3）若 ＝8，求a的取值．
【答案】（1）解：∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）解：由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）解：原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；列式表示数量关系；二次根式的化简求值
【解析】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
(2)解：由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
(3)解：原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
【分析】（1）先求出 a﹣2≥0，a﹣5≤0 ，再计算求解即可；
（2）先求出 3﹣a﹣（a﹣7）＝4， 再分类讨论，计算求解即可；
（3）先求出 |a+1|+|a﹣5|＝8， 再分类讨论求解即可。
23．（2020九上·洪洞期中）求代数式 的值，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式 的值，其中
【答案】（1）小亮
（2）二次根式的结果一定是非负数
（3）原式 ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法错误，
当 时， ，
故答案是：小亮；（2）错误的原因是：二次根式的结果一定是非负数，而当 时， 是负数，
故答案是：二次根式的结果一定是非负数；
【分析】（1）小亮错在“ ”；（2）错误的原因是没有考二次根式的结果一定是非负数；（3）把 化简为 ，根据a的值，再化简绝对值，得出结果．
24．（2021七下·潮阳期中）在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0）的坐标满足|a＋b﹣6|＋ ＝0
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，将AB平移到CD，点A对应点C（﹣2，m），若△ABC面积为12，连接CO，求点C的坐标；
（3）如图2，将AB平移到CD，若点C、D也在坐标轴上，点F为线段AB上一点且∠BOF＝20°，FP平分∠BFO，CP平分∠BCD，FP与CP交于点P．求∠P的度数．
【答案】（1）解：∵|a+b-6|+ ＝0，
又∵|a+b-6|≥0， ≥0，
∴ ，解得 ，
∴A（0，2），B（4，0）．
（2）解：如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．
∵S△ABC=S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN，
∴ ，
整理得 ，
解得 或7，
∴C（-2，-3）或（-2，7）；
（3）解：如图2中，延长AB交CP的延长线于M．设∠PCB=∠PCD=x，∠PFO=∠PFB=y，
∵AM∥CD，
∴∠DCM=∠M，∠OBF=∠BCD，
∵∠CPF=∠M+∠PFM，
∴∠CPF=x+y，
∵∠FOB=20°，
∴∠OFB+∠OBF=160°，
∴2x+2y=160°，
∴x+y=80°，
∴∠CPF=80°．
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出答案即可；
（2）根据题意，利用分割法构建方程求出答案即可；
（3）根据题意，设∠PCB=∠PCD=x，∠PFO=∠PFB=y，首先证明∠CPF=x+y，求出x+y的答案即可。
25．（2020八上·雅安期中）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝ ，则a±2 将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使 得以化简．例如，因为5＋2 ＝3＋2＋2 ＝( )2＋( )2＋2 × ＝( ＋ )2，所以 ＝ ．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据题目中被开方数为加法算式的方法，化简根式即可；
（2）根据题目中被开方数为减法算式的方法，化简根式即可得到答案。
1 / 1
