2021-2022学年浙教版数学八下2.2 一元二次方程的解法 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·金塔期末）用配方法解一元二次方程 ，配方后的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·富裕期末）一元二次方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
3．（2021九上·富裕期末）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤9 B．k≤9且k≠0 C．k≠0 D．k＞9
4．（2021九上·和平期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x＝﹣4
C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
5．（2021九上·大东期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
6．（2021九上·嘉祥月考）关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
7．（2021九上·永年月考）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（2021九上·新邵期末）用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·绥宁期末）若、是方程的两个解，则代数式的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
10．（2021九上·绥宁期末）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
11．（2021九上·德阳月考）若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的的值为（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．1或-2
12．（2021九上·巢湖月考）已知直角三角形的两条直角边的长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（ ）
A．7 B．2.5 C． D．5
二、填空题
13．（2021九上·铁西期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
14．（2021九上·永吉期末）解方程：．
15．（2021九上·虎林期末）关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．（2021九上·江油期末）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 ．
17．（2021九上·江油期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
18．（2021九上·永年月考）将一元二次方程化成的形式，那么的值为 ．
三、综合题
19．（2021九上·富裕期末）
（1）请你用公式法解方程3x2﹣5x﹣8＝0；
（2）请你用因式分解法解方程x2+4x+3＝0．
20．用你喜欢的方法解下列方程
（1）x2+3x-4=0
（2）2x2+5x=3
（3）x（x+1）=1
（4）2+y（1-3y）=y（y-3）
21．（2021九上·胶州期中）
（1）用配方法解方程： ；
（2）若关于x的一元二次方程 有一个解为 ，求k的值．
22．（2021九上·灵石期中）下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解∶2x2＋4x-6=0
二次项系数化为1，得x +2x-3=0．……………………… 第一步
移项，得x2+2x=3．…………………………………… ……第二步
配方，得x2+2x+4=3+4．即（x+2）2=7．…………… ………第三步
由此，可得x+2=± ． ………………………………… 第四步
x1=2＋ ，x2=2- ．……………………………………第五步
任务∶
（1）上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元—次方程，体现的数学思想是 ；其中配方法依据的一个数学公式是 ；
（2）“第二步”变形的依据 ；
（3）上面小勇同学的解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，写出正确的解答过程．
23．（2021九上·卢龙期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 ．
（1）若“ ”表示常数 ，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根．求“ ”的最大值．
24．（2021九上·四会月考）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0
（1）若方程有一个根1，求k的值和方程另外一个根；
（2）求证：方程总有两个实数根．
25．（2021九上·吉林期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4，求n的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n．
26．（2021九上·平原月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12＋x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2-4x=1，
∴ ，
则 ，即 ，
故答案为：A.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方，接下来将等号左边的式子利用完全平方公式分解即可.
2．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣16＝0
移项得： ，
解得： ．
故答案为：C
【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，
当时，方程为，为一元一次方程，有实数解；
当时，方程为，为一元二次方程，又实数根，则，
解得：
综上所得，
故答案为：A
【分析】分两钟情况，再利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D.3x2﹣5x+2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△＝42 4×1×2＝16 8＝8>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=p2（p为常数），
∴x2-x-6-p2=0，
∴Δ=b2-4ac=1+24+4p2=25+4p2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为-6-p2<0，
∴一个正根，一个负根．
故答案为：C．
【分析】先求出x2-x-6-p2=0，再求出方程有两个不相等的实数根，最后求解即可。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=3，b=2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-1)=16＞0，
∴方程3x2+2x-1=0有两个不相等的实数根．
故答案为：D．
【分析】先求出Δ=b2-4ac=22-4×3×(-1)=16＞0，再求解即可。
8．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
9．【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得，
∴
==12
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法可得方程的解为x1=2，x2=3，然后代入计算即可.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3.
故答案为：A.
【分析】设和谐点为（t，t），代入函数解析式中可得at2+6t+c＝0，根据△＝0可得ac＝9，把（-1，-1）代入函数解析式中可得c＝6-a，联立ac＝9可求出a、c，据此可得二次函数的解析式.
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠-1，
∵x=0是方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的解，
∴m2-m-2=0，
∴（m-2）（m+1）=0，
∴m=2或m=-1，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义得出m≠-1，再把x=0代入方程得出m2-m-2=0，得出m=2或m=-1，即可得出m=2.
12．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x＝3，x＝4；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长＝ ＝5；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：B．
【分析】先求出直角三角形的两条直角边为：3、4，再利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】-1或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴解得，，
∵(x﹣2)(x+m)=0是倍根方程，
∴或，
∴或．
故答案为：-1或-4．
【分析】先求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义可得或， 再求出m的值即可。
14．【答案】解：
，
∴或.
∴x1=－1，x2=．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
15．【答案】a＜0且a≠-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a+1≠0且△=22-4（a+1）＞0，
所以a＜0且a≠-1．
故答案为a＜0且a≠-1．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
16．【答案】24
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，
∴（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，
∴x=4或x=0（不符合题意，舍去），
∴直角三角形的三边分别为6，8，10，
∴周长=6+8+10=24.
故答案为：24.
【分析】设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，根据勾股定理得出方程（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，解方程求出x的值，得出直角三角形的三边分别为6，8，10，即可得出三角形的周长.
17．【答案】k≤4且k≠2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（k-2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴，
∴k≤4且k≠2.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，解不等式求出k的取值范围，即可得出答案.
18．【答案】17
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
19．【答案】（1）解：∵a＝3，b＝－5，c＝－8，
∴△＝(－5)2－4×3×(－8)＝121＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝ ，
∴x1＝，x2＝；
（2）解：因式分解，得(x+1)(x+3)＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝-1，x2＝-3．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
20．【答案】（1）解：∵x2+3x-4=0，
∴（x-1）（x+4）=0，
∴x1=1，x2=-4；
（2）解： ∵2x2+5x=3，
∴2x2+5x-3=0，
∴（2x-1）（x+3）=0，
∴2x-1=0或x+3=0，
∴x1=，x2=-3；
（3）解： ∵x（x+1）=1，
∴x2+x-1=0，
∴ =12-4×1×（-1）=5＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（4）解：∵2+y（1-3y）=y（y-3），
∴2y2-2y-1=0，
∴ =（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
∴y=，
∴y1=，y2=.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法把方程变形为（x-1）（x+4）=0，即可得出方程的解；
（2）先把一元二次方程化为一般式，再利用因式分解法把方程变形为（2x-1）（x+3）=0，即可得出方程的解；
（3）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式的值，再代入求根公式，即可得出方程的解；
（4）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式的值，再代入求根公式，即可得出方程的解.
21．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵关于x的一元二次方程 有一个解为 ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）将x=0代入方程，再根据求解即可。
22．【答案】（1）转化思想；完全平方公式
（2）等式的性质
（3）解：小勇同学的解题过程中，从第三步开始出现错误；
解∶2x2＋4x-6=0，
x +2x-3=0，
x2+2x=3，
配方得：x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，
由此，可得x+1=±2，
∴x1=1，x2=-3．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①体现的数学思想是转化思想；配方法依据的一个数学公式是完全平方公式；
②“第二步”变形的依据是等式的性质或等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式；
【分析】
(1)将二次方程化为一次方程，体现了转化思想，利用完全平方公式进行配方；
(2)解方程的依据是等式的性质；
(3)根据配方的步骤可知第三部出现错误，由配方的步骤解答即可。
23．【答案】（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2）设 中为 ， ， ，
，解得 ，
∴ 的最大的值为9．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将-7代入方程，再利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）设“ ”中为 ，将m代入方程吗，再利用根的判别式列出不等式求解即可。
24．【答案】（1）解：把代入原方程可得：
原方程为：
或
解得：
所以方程的另一根为：
（2）证明：x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0
则
所以方程总有两个实数根.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先求出 再计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
25．【答案】（1）解：关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个不相等的实数根，且m＝﹣4，
解得
（2）解：关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
26．【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该方程一个小于5的根，另一个根大于5，
解得
（3）解：
n＝x12＋x22﹣8
∴动点可表示为
当m＝-3时，
动点所形成的数图象经过点点．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， 再利用公式法求解即可；
（3）先求出 动点可表示为 ，再计算求解即可。
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下2.2 一元二次方程的解法 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·金塔期末）用配方法解一元二次方程 ，配方后的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2x2-4x=1，
∴ ，
则 ，即 ，
故答案为：A.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方，接下来将等号左边的式子利用完全平方公式分解即可.
2．（2021九上·富裕期末）一元二次方程x2﹣16＝0的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．16
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣16＝0
移项得： ，
解得： ．
故答案为：C
【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可。
3．（2021九上·富裕期末）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤9 B．k≤9且k≠0 C．k≠0 D．k＞9
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，
当时，方程为，为一元一次方程，有实数解；
当时，方程为，为一元二次方程，又实数根，则，
解得：
综上所得，
故答案为：A
【分析】分两钟情况，再利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
4．（2021九上·和平期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x＝﹣4
C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D.3x2﹣5x+2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
5．（2021九上·大东期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△＝42 4×1×2＝16 8＝8>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．（2021九上·嘉祥月考）关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=p2（p为常数），
∴x2-x-6-p2=0，
∴Δ=b2-4ac=1+24+4p2=25+4p2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为-6-p2<0，
∴一个正根，一个负根．
故答案为：C．
【分析】先求出x2-x-6-p2=0，再求出方程有两个不相等的实数根，最后求解即可。
7．（2021九上·永年月考）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=3，b=2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-1)=16＞0，
∴方程3x2+2x-1=0有两个不相等的实数根．
故答案为：D．
【分析】先求出Δ=b2-4ac=22-4×3×(-1)=16＞0，再求解即可。
8．（2021九上·新邵期末）用求根公式法解方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】首先求出判别式的值，然后根据求根公式进行计算即可.
9．（2021九上·绥宁期末）若、是方程的两个解，则代数式的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得，
∴
==12
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法可得方程的解为x1=2，x2=3，然后代入计算即可.
10．（2021九上·绥宁期末）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设和谐点为（t，t），
把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，
整理得at2+6t+c＝0，
∵t有且只有一个值，
∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，
把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，
把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，
∴c＝6﹣3＝3，
∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3.
故答案为：A.
【分析】设和谐点为（t，t），代入函数解析式中可得at2+6t+c＝0，根据△＝0可得ac＝9，把（-1，-1）代入函数解析式中可得c＝6-a，联立ac＝9可求出a、c，据此可得二次函数的解析式.
11．（2021九上·德阳月考）若关于 的一元二次方程 有一根为0，则 的的值为（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．1或-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠-1，
∵x=0是方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的解，
∴m2-m-2=0，
∴（m-2）（m+1）=0，
∴m=2或m=-1，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义得出m≠-1，再把x=0代入方程得出m2-m-2=0，得出m=2或m=-1，即可得出m=2.
12．（2021九上·巢湖月考）已知直角三角形的两条直角边的长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（ ）
A．7 B．2.5 C． D．5
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x＝3，x＝4；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长＝ ＝5；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：B．
【分析】先求出直角三角形的两条直角边为：3、4，再利用勾股定理计算求解即可。
二、填空题
13．（2021九上·铁西期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
【答案】-1或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程为，
∴解得，，
∵(x﹣2)(x+m)=0是倍根方程，
∴或，
∴或．
故答案为：-1或-4．
【分析】先求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义可得或， 再求出m的值即可。
14．（2021九上·永吉期末）解方程：．
【答案】解：
，
∴或.
∴x1=－1，x2=．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
15．（2021九上·虎林期末）关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜0且a≠-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a+1≠0且△=22-4（a+1）＞0，
所以a＜0且a≠-1．
故答案为a＜0且a≠-1．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
16．（2021九上·江油期末）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 ．
【答案】24
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，
∴（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，
∴x=4或x=0（不符合题意，舍去），
∴直角三角形的三边分别为6，8，10，
∴周长=6+8+10=24.
故答案为：24.
【分析】设直角三角形的三边分别为2x-2，2x，2x+2，根据勾股定理得出方程（2x-2）2+（2x）2=（2x+2）2，解方程求出x的值，得出直角三角形的三边分别为6，8，10，即可得出三角形的周长.
17．（2021九上·江油期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤4且k≠2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（k-2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴，
∴k≤4且k≠2.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，解不等式求出k的取值范围，即可得出答案.
18．（2021九上·永年月考）将一元二次方程化成的形式，那么的值为 ．
【答案】17
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
三、综合题
19．（2021九上·富裕期末）
（1）请你用公式法解方程3x2﹣5x﹣8＝0；
（2）请你用因式分解法解方程x2+4x+3＝0．
【答案】（1）解：∵a＝3，b＝－5，c＝－8，
∴△＝(－5)2－4×3×(－8)＝121＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝ ，
∴x1＝，x2＝；
（2）解：因式分解，得(x+1)(x+3)＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝-1，x2＝-3．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
20．用你喜欢的方法解下列方程
（1）x2+3x-4=0
（2）2x2+5x=3
（3）x（x+1）=1
（4）2+y（1-3y）=y（y-3）
【答案】（1）解：∵x2+3x-4=0，
∴（x-1）（x+4）=0，
∴x1=1，x2=-4；
（2）解： ∵2x2+5x=3，
∴2x2+5x-3=0，
∴（2x-1）（x+3）=0，
∴2x-1=0或x+3=0，
∴x1=，x2=-3；
（3）解： ∵x（x+1）=1，
∴x2+x-1=0，
∴ =12-4×1×（-1）=5＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（4）解：∵2+y（1-3y）=y（y-3），
∴2y2-2y-1=0，
∴ =（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
∴y=，
∴y1=，y2=.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法把方程变形为（x-1）（x+4）=0，即可得出方程的解；
（2）先把一元二次方程化为一般式，再利用因式分解法把方程变形为（2x-1）（x+3）=0，即可得出方程的解；
（3）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式的值，再代入求根公式，即可得出方程的解；
（4）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式的值，再代入求根公式，即可得出方程的解.
21．（2021九上·胶州期中）
（1）用配方法解方程： ；
（2）若关于x的一元二次方程 有一个解为 ，求k的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵关于x的一元二次方程 有一个解为 ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）将x=0代入方程，再根据求解即可。
22．（2021九上·灵石期中）下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解∶2x2＋4x-6=0
二次项系数化为1，得x +2x-3=0．……………………… 第一步
移项，得x2+2x=3．…………………………………… ……第二步
配方，得x2+2x+4=3+4．即（x+2）2=7．…………… ………第三步
由此，可得x+2=± ． ………………………………… 第四步
x1=2＋ ，x2=2- ．……………………………………第五步
任务∶
（1）上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元—次方程，体现的数学思想是 ；其中配方法依据的一个数学公式是 ；
（2）“第二步”变形的依据 ；
（3）上面小勇同学的解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，写出正确的解答过程．
【答案】（1）转化思想；完全平方公式
（2）等式的性质
（3）解：小勇同学的解题过程中，从第三步开始出现错误；
解∶2x2＋4x-6=0，
x +2x-3=0，
x2+2x=3，
配方得：x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，
由此，可得x+1=±2，
∴x1=1，x2=-3．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①体现的数学思想是转化思想；配方法依据的一个数学公式是完全平方公式；
②“第二步”变形的依据是等式的性质或等式两边同时加（减）同一个代数式，所得结果仍是等式；
【分析】
(1)将二次方程化为一次方程，体现了转化思想，利用完全平方公式进行配方；
(2)解方程的依据是等式的性质；
(3)根据配方的步骤可知第三部出现错误，由配方的步骤解答即可。
23．（2021九上·卢龙期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 ．
（1）若“ ”表示常数 ，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根．求“ ”的最大值．
【答案】（1）解： ，
，
，
解得 ， ；
（2）设 中为 ， ， ，
，解得 ，
∴ 的最大的值为9．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将-7代入方程，再利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）设“ ”中为 ，将m代入方程吗，再利用根的判别式列出不等式求解即可。
24．（2021九上·四会月考）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0
（1）若方程有一个根1，求k的值和方程另外一个根；
（2）求证：方程总有两个实数根．
【答案】（1）解：把代入原方程可得：
原方程为：
或
解得：
所以方程的另一根为：
（2）证明：x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0
则
所以方程总有两个实数根.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先求出 再计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
25．（2021九上·吉林期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4，求n的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n．
【答案】（1）解：关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个不相等的实数根，且m＝﹣4，
解得
（2）解：关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
26．（2021九上·平原月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12＋x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．
【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0，
，
该方程一个小于5的根，另一个根大于5，
解得
（3）解：
n＝x12＋x22﹣8
∴动点可表示为
当m＝-3时，
动点所形成的数图象经过点点．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， 再利用公式法求解即可；
（3）先求出 动点可表示为 ，再计算求解即可。
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