登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2021-2022学年浙教版数学八下2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·密山期末）若是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．（2021九上·江油期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．（2021九上·长沙期末）关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（ ）
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
4．（2021九上·新化期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021九上·龙沙期中）已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7
6．（2021九上·揭阳期中）已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
7．（2021九上·永年期中）设 是一元二次方程 的两根，则 （ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
8．（2021九上·青龙期中）方程2x2+（k+1）x－6=0的两根和是－2，则k的值是（ ）
A．k=3 B．k=－ 3 C．k=0 D．k=1
9．（2021九上·镇原期中）设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．﹣1
10．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
二、填空题
11．（2021九上·虎林期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是 ．
12．（2021九上·平原月考）已知a，b是方程x2＋x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b＋2017＝ ．
13．（2021九上·醴陵期末）设a、b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 .
14．（2021九上·新邵期末）一元二次方程有一根为，则另一个根为 .
15．（2021九上·铁东期中）若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 ．
16．（2021九上·吉安期中）已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 ．
17．（2021九上·金乡期中）已知 是方程 的两根，则 的值为 ．
三、综合题
18．（2021九上·攸县期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2.
（1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2.
（2）若x1＝3x2，试求k值.
19．（2021九上·新邵期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个实数根x1，x2，
（1）求k的取值范围.
（2）若x1x2与x1+x2互为相反数，试求k的值.
20．（2021九上·大埔期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
21．（2021九上·台州期中）关于x的方程 有两个实数根 ．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为5，求m的值及方程的另一个根．
22．（2021九上·秦安期中）已知：关于x的方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）设方程的两个根为 如果 ，求k的取值范围.
23．（2021九上·郯城期中）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2－1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2－17＝0，求m的值.
24．（2021九上·桂林期中）已知关于x的一元二次方程x2+ x + m - 2＝0.
（1）当m＝0时，求方程两实数根的和、积；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
25．（2021九上·内江期中）已知△ABC的两边AB、AC （AB＜AC）的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋k＝0的两个实数根，第三边长为5
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长.
26．（2021九上·龙山期末）阅读理解：
材料一：若一元二次方程（）的两根为，，则，.
材料二：已知实数，满足，，且，求的值.
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料一得，，
∴.
解决问题：
（1）已知实数，满足，，且，求的值；
（2）已知实数，满足，，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=7．x1·x2=5，
，
=5-7+1，
=-1．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=7．x1·x2=5，再代入计算即可。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根，
∴a+b=3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=-p，x1x2=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0.
故答案为：A.
【分析】设x1，x2是该方程的两个负数根，由根与系数的关系可得x1+x2=-p＜0，x1x2=q＞0，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∵，
∴ ，解得： .
故答案为：B.
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=k+1，然后根据x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=24就可得到k的值.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将其代入m+n﹣mn计算即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，再将变形为，最后将m＋n＝4，mn＝-3代入计算即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程 的两根分别为 ， ，
∵方程 的两根之和是-2，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再计算即可。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣ .
故答案为：A.
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1、x2，则x1+x2=，据此解答.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆与圆的位置关系
【解析】【分析】由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】∵x2-4x+3=0，
∴（x-3）（x-1）=0，
解得：x=3或x=1，
∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，
∴r1+r2=4，
∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．
故选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：把代入，得：
解得：，
∴方程为，
∴x1x2==-2．
故答案为：-2
【分析】先将x=1代入方程可得m的值，再利用根与系数的关系可得x1x2==-2．
12．【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，
则a2﹣b+2017＝a2+a﹣（a+b）+2017＝3+1+2017＝2021．
故答案为：2021．
【分析】先求出a2+a＝3，a+b＝﹣1，再代入计算求解即可。
13．【答案】-2018
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x 2020=0的两个实数根，
∴a+b= 1，ab= 2020，
∴(a 1)(b 1)=ab a b+1=ab (a+b)+1= 2020 ( 1)+1= 2018.
故答案为： 2018.
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2020，将待求式变形为ab-(a+b)+1，据此计算.
14．【答案】x=1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设是关于x的一元二次方程的两个根.
由韦达定理，得，即，
解得，，
即方程的另一个根为1.
故答案为：1.
【分析】设x1、x2是关于x的一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得-2+x2=-1，求解即可.
15．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
所以原式= =-2．
故答案为：-2．
【分析】先根据根与系数的关系得出m+n=4，mn=-2，再利用整体代入的方法计算即可。
16．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ．
【分析】先求出 ， ，再求出，最后计算求解即可。
17．【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得 + =3， =-2，
所以 2+ 2=（ + ）2-2 =32-2×（-2）=13．
故答案为：13．
【分析】利用根与系数的关系得出 + =3， =-2，再利用完全平方公式得出 2+ 2=（ + ）2-2 =32-2×（-2）=13．再利用整体代入的方法计算即可。
18．【答案】（1）解：∵方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，
∴x1＋x2＋x1x2＝4﹣1＝3.
（2）解：∵x1＋x2＝4，x1＝3x2，x1x2＝k﹣3
∴x1＝3，x2＝1，
∴k＝x1x2＋3＝6.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==4，x1x2==-1，代入所求代数式计算可求解；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==4，x1x2==k-3，把x1＝3x2代入两个等式计算即可求解.
19．【答案】（1）解：根据题意得：
△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）
＝﹣4k﹣3≥0，
解得：k≤，
即k的取值范围为：k≤；
（2）解：x1x2＝k2+1，x1+x2＝2k﹣1，
根据题意得：
k2+1+2k﹣1＝0，
解得：k1＝0，k2＝﹣2，
∵k≤，
∴k＝﹣2，
即k的值为﹣2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，代入求解可得k的范围；
（2）由根与系数的关系可得x1x2＝k2+1，x1+x2＝2k-1，根据题意得：k2+1+2k-1＝0，求出k的值，然后根据k的范围进行取舍.
20．【答案】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m，
∵x1+x2-x1x2=4，
∴m+2-2m=4．
解得m=-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出 Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0， 再求解即可；
（2）先求出 x1+x2=m+2，x1x2=2m， 再求出 m+2-2m=4 ，最后求解即可。
21．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根
∴b2-4ac≥0，
∴1-4m≥0， ∴m≤
（2）解：把x=5代入方程 得
25-5+m=0
∴m=-20
解 得
x1=5，x2= - 4，
所以m=-20，另一个根为 - 4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)一元二次方程有两个实数根的条件是△=b2-4ac≥0，据此列出不等式求解即可；
(2)把x=5代入方程求出m的值，再把m代入方程，利用因式分解法解一元二次方程即可.
22．【答案】（1）证明：∵关于x的方程 中，Δ=（-k）2-4×（k-2）= ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=k，x1 x2=k-2，
代入不等式2（x1+x2）＞x1x2，得
2k＞k-2，
k＞-2.
答：k的取值范围是k＞-2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题只需要证明根的判别式的值恒大于0即可；
（2）若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=- ，x1x2= ，据此可得x1+x2=k，x1 x2=k-2，然后代入2(x1+x2)＞x1x2中就可求出k的范围.
23．【答案】（1）解： ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5，因为原方程有两个不相等的实数根，
所以4m+5>0，m> ；
（2）解：由根与系数的关系，x1+x2＝－(2m+1)，x1x2＝m2－1，
所以原方程可化为(x1+x2)2－x1x2－17＝0，
即(2m+1)2－(m2－1)－17＝0，
解之，得m1＝ ，m2＝－3，
因为m> ，所以m＝
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出 ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5 ，再求解即可；
（2）先求出 x1+x2＝－(2m+1)，x1x2＝m2－1， 再求出 m1＝ ，m2＝－3， 最后求解即可。
24．【答案】（1）解：当m＝0时，方程为x2+x﹣2＝0.
，
；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ， 即12﹣4×1×（m﹣2）
＝1﹣4m+8
＝9﹣4m＞0，
∴ .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）当m＝0时，方程为x2+x-2＝0，然后根据根与系数的关系，，可得答案；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得关于字母m的不等式，求解可得m的范围.
25．【答案】（1）解：∵AB、AC （AB
∴AB+AC＝2k+1，AB AC＝k2+k，
∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB AC＝（2k+1）2﹣2（k2+k）＝4k2+4k+1﹣2k2﹣2k
＝2k2+2k+1，
若△ABC是以BC＝5为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2＝52即2k2+2k+1＝25
∴k2+k﹣12＝0
∴k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）
即当k＝3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）解：因为x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
即（x﹣k﹣1）（x﹣k）＝0 ，
∴x1＝k+1，x2＝k
若k＝5，所以k+1＝6，此时C△ABC＝5+5+6＝16，
若k+1＝5，所以k＝4，此时C△ABC＝5+5+4＝14.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得AB+AC＝2k+1，AB·AC＝k2+k，则AB2+AC2＝(AB+AC)2-2AB·AC＝2k2+2k+1，由勾股定理可得AB2+AC2＝52，即2k2+2k+1＝25，求解即可；
（2）利用因式分解法可得方程的解为x1＝k+1，x2＝k，然后分k=5、k+1=5两种情况求出另一边的长，进而可得周长.
26．【答案】（1）解：∵s、t满足，，
∴s、t可看作方程的两实数解，
∴s+t=1，st=，
∴==×1=；
（2）解：设t=2q，代入，化简为，
则p与t（即2q）为方程的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴= =13.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，由根与系数的关系可得s+t=1，st=，将待求式变形为st(s+t)，据此计算；
（2）设t=2q，代入2q2=3q+1中可得t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，由根与系数的关系可得p+2q=3，p 2q=-2，将待求式变形为(p+2q)2-2p·2q，据此计算.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2021-2022学年浙教版数学八下2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·密山期末）若是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=7．x1·x2=5，
，
=5-7+1，
=-1．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=7．x1·x2=5，再代入计算即可。
2．（2021九上·江油期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根，
∴a+b=3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案.
3．（2021九上·长沙期末）关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则（ ）
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=-p，x1x2=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0.
故答案为：A.
【分析】设x1，x2是该方程的两个负数根，由根与系数的关系可得x1+x2=-p＜0，x1x2=q＞0，据此判断.
4．（2021九上·新化期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∵，
∴ ，解得： .
故答案为：B.
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=k+1，然后根据x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=24就可得到k的值.
5．（2021九上·龙沙期中）已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将其代入m+n﹣mn计算即可。
6．（2021九上·揭阳期中）已知m，n为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，再将变形为，最后将m＋n＝4，mn＝-3代入计算即可。
7．（2021九上·永年期中）设 是一元二次方程 的两根，则 （ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
8．（2021九上·青龙期中）方程2x2+（k+1）x－6=0的两根和是－2，则k的值是（ ）
A．k=3 B．k=－ 3 C．k=0 D．k=1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程 的两根分别为 ， ，
∵方程 的两根之和是-2，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再计算即可。
9．（2021九上·镇原期中）设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣ .
故答案为：A.
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1、x2，则x1+x2=，据此解答.
10．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；圆与圆的位置关系
【解析】【分析】由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】∵x2-4x+3=0，
∴（x-3）（x-1）=0，
解得：x=3或x=1，
∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2-4x+3=0的两实根，
∴r1+r2=4，
∵⊙O1与⊙O2的圆心距d=4，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．
故选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键
二、填空题
11．（2021九上·虎林期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：把代入，得：
解得：，
∴方程为，
∴x1x2==-2．
故答案为：-2
【分析】先将x=1代入方程可得m的值，再利用根与系数的关系可得x1x2==-2．
12．（2021九上·平原月考）已知a，b是方程x2＋x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b＋2017＝ ．
【答案】2021
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，
则a2﹣b+2017＝a2+a﹣（a+b）+2017＝3+1+2017＝2021．
故答案为：2021．
【分析】先求出a2+a＝3，a+b＝﹣1，再代入计算求解即可。
13．（2021九上·醴陵期末）设a、b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 .
【答案】-2018
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x 2020=0的两个实数根，
∴a+b= 1，ab= 2020，
∴(a 1)(b 1)=ab a b+1=ab (a+b)+1= 2020 ( 1)+1= 2018.
故答案为： 2018.
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2020，将待求式变形为ab-(a+b)+1，据此计算.
14．（2021九上·新邵期末）一元二次方程有一根为，则另一个根为 .
【答案】x=1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设是关于x的一元二次方程的两个根.
由韦达定理，得，即，
解得，，
即方程的另一个根为1.
故答案为：1.
【分析】设x1、x2是关于x的一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得-2+x2=-1，求解即可.
15．（2021九上·铁东期中）若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
所以原式= =-2．
故答案为：-2．
【分析】先根据根与系数的关系得出m+n=4，mn=-2，再利用整体代入的方法计算即可。
16．（2021九上·吉安期中）已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ．
【分析】先求出 ， ，再求出，最后计算求解即可。
17．（2021九上·金乡期中）已知 是方程 的两根，则 的值为 ．
【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得 + =3， =-2，
所以 2+ 2=（ + ）2-2 =32-2×（-2）=13．
故答案为：13．
【分析】利用根与系数的关系得出 + =3， =-2，再利用完全平方公式得出 2+ 2=（ + ）2-2 =32-2×（-2）=13．再利用整体代入的方法计算即可。
三、综合题
18．（2021九上·攸县期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2.
（1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2.
（2）若x1＝3x2，试求k值.
【答案】（1）解：∵方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，
∴x1＋x2＋x1x2＝4﹣1＝3.
（2）解：∵x1＋x2＝4，x1＝3x2，x1x2＝k﹣3
∴x1＝3，x2＝1，
∴k＝x1x2＋3＝6.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==4，x1x2==-1，代入所求代数式计算可求解；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==4，x1x2==k-3，把x1＝3x2代入两个等式计算即可求解.
19．（2021九上·新邵期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个实数根x1，x2，
（1）求k的取值范围.
（2）若x1x2与x1+x2互为相反数，试求k的值.
【答案】（1）解：根据题意得：
△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）
＝﹣4k﹣3≥0，
解得：k≤，
即k的取值范围为：k≤；
（2）解：x1x2＝k2+1，x1+x2＝2k﹣1，
根据题意得：
k2+1+2k﹣1＝0，
解得：k1＝0，k2＝﹣2，
∵k≤，
∴k＝﹣2，
即k的值为﹣2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，代入求解可得k的范围；
（2）由根与系数的关系可得x1x2＝k2+1，x1+x2＝2k-1，根据题意得：k2+1+2k-1＝0，求出k的值，然后根据k的范围进行取舍.
20．（2021九上·大埔期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
【答案】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m，
∵x1+x2-x1x2=4，
∴m+2-2m=4．
解得m=-2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出 Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0， 再求解即可；
（2）先求出 x1+x2=m+2，x1x2=2m， 再求出 m+2-2m=4 ，最后求解即可。
21．（2021九上·台州期中）关于x的方程 有两个实数根 ．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为5，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）解：∵方程有两个实数根
∴b2-4ac≥0，
∴1-4m≥0， ∴m≤
（2）解：把x=5代入方程 得
25-5+m=0
∴m=-20
解 得
x1=5，x2= - 4，
所以m=-20，另一个根为 - 4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)一元二次方程有两个实数根的条件是△=b2-4ac≥0，据此列出不等式求解即可；
(2)把x=5代入方程求出m的值，再把m代入方程，利用因式分解法解一元二次方程即可.
22．（2021九上·秦安期中）已知：关于x的方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）设方程的两个根为 如果 ，求k的取值范围.
【答案】（1）证明：∵关于x的方程 中，Δ=（-k）2-4×（k-2）= ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=k，x1 x2=k-2，
代入不等式2（x1+x2）＞x1x2，得
2k＞k-2，
k＞-2.
答：k的取值范围是k＞-2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题只需要证明根的判别式的值恒大于0即可；
（2）若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=- ，x1x2= ，据此可得x1+x2=k，x1 x2=k-2，然后代入2(x1+x2)＞x1x2中就可求出k的范围.
23．（2021九上·郯城期中）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2－1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2－17＝0，求m的值.
【答案】（1）解： ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5，因为原方程有两个不相等的实数根，
所以4m+5>0，m> ；
（2）解：由根与系数的关系，x1+x2＝－(2m+1)，x1x2＝m2－1，
所以原方程可化为(x1+x2)2－x1x2－17＝0，
即(2m+1)2－(m2－1)－17＝0，
解之，得m1＝ ，m2＝－3，
因为m> ，所以m＝
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出 ＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5 ，再求解即可；
（2）先求出 x1+x2＝－(2m+1)，x1x2＝m2－1， 再求出 m1＝ ，m2＝－3， 最后求解即可。
24．（2021九上·桂林期中）已知关于x的一元二次方程x2+ x + m - 2＝0.
（1）当m＝0时，求方程两实数根的和、积；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当m＝0时，方程为x2+x﹣2＝0.
，
；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ， 即12﹣4×1×（m﹣2）
＝1﹣4m+8
＝9﹣4m＞0，
∴ .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）当m＝0时，方程为x2+x-2＝0，然后根据根与系数的关系，，可得答案；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得关于字母m的不等式，求解可得m的范围.
25．（2021九上·内江期中）已知△ABC的两边AB、AC （AB＜AC）的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋k＝0的两个实数根，第三边长为5
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长.
【答案】（1）解：∵AB、AC （AB∴AB+AC＝2k+1，AB AC＝k2+k，
∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB AC＝（2k+1）2﹣2（k2+k）＝4k2+4k+1﹣2k2﹣2k
＝2k2+2k+1，
若△ABC是以BC＝5为斜边的直角三角形，
∴AB2+AC2＝52即2k2+2k+1＝25
∴k2+k﹣12＝0
∴k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）
即当k＝3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）解：因为x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
即（x﹣k﹣1）（x﹣k）＝0 ，
∴x1＝k+1，x2＝k
若k＝5，所以k+1＝6，此时C△ABC＝5+5+6＝16，
若k+1＝5，所以k＝4，此时C△ABC＝5+5+4＝14.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得AB+AC＝2k+1，AB·AC＝k2+k，则AB2+AC2＝(AB+AC)2-2AB·AC＝2k2+2k+1，由勾股定理可得AB2+AC2＝52，即2k2+2k+1＝25，求解即可；
（2）利用因式分解法可得方程的解为x1＝k+1，x2＝k，然后分k=5、k+1=5两种情况求出另一边的长，进而可得周长.
26．（2021九上·龙山期末）阅读理解：
材料一：若一元二次方程（）的两根为，，则，.
材料二：已知实数，满足，，且，求的值.
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料一得，，
∴.
解决问题：
（1）已知实数，满足，，且，求的值；
（2）已知实数，满足，，且，求的值.
【答案】（1）解：∵s、t满足，，
∴s、t可看作方程的两实数解，
∴s+t=1，st=，
∴==×1=；
（2）解：设t=2q，代入，化简为，
则p与t（即2q）为方程的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴= =13.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，由根与系数的关系可得s+t=1，st=，将待求式变形为st(s+t)，据此计算；
（2）设t=2q，代入2q2=3q+1中可得t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，由根与系数的关系可得p+2q=3，p 2q=-2，将待求式变形为(p+2q)2-2p·2q，据此计算.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1