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2022年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
2．（2021九上·炎陵期末）Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，若AB=4，
∴cosA=，即，
AC=.
故答案为：B.
【分析】根据∠A的余弦函数就可求出AC.
3．（2021九上·章丘月考）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°．
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，∴AC∥ED，∴∠CED＝∠ECA．
∵AE＝1，∴由勾股定理得：EF＝AF．
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2＝12+22＝5，∴CE，∴sin∠CED＝sin∠ECF．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DEA＝∠CAB＝45°，再求出EF＝AF，最后求解即可。
4．（2021九上·新化期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2.
故答案为：D.
【分析】设CD＝5x，则BD＝7x，BC＝2x，由垂直平分线的性质可得AD＝BD＝7x，则AC＝12x，结合AC=12可得x，进而可得BC.
5．（2021九上·德阳月考）如图， 是以坐标原点 为圆心， 为半径的圆，点 的坐标为 ，弦 经过点 ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】垂线段最短；垂径定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：当OP⊥AB时，阴影部分面积的最小，
∵P（2，2），
∴OP=2，
∵OA=OB=4，
∴PA=PB=2，
∴，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S阴影=S扇形AOB- S△AOB=，
∴阴影部分面积的最小值.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出当OP⊥AB时，阴影部分面积的最小，先求出OP的长，再根据勾股定理求出PA的长，利用锐角三角函数得出∠AOB的度数，利用S阴影=S扇形AOB- S△AOB，代入数值进行计算，即可得出答案.
二、填空题
6．（2021九上·佛山月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ．
【答案】4
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在网格上取点D，得，
∵CD=4，BD=1
∴．
故答案为：4．
【分析】先求出CD=4，BD=1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021九上·绥宁期末）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 .
【答案】
【考点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=.
故答案为：.
【分析】将点P（12，a）代入反比例函数解析式中可得a=5，则PH=5，OH=12，然后根据正切函数的概念进行解答.
8．（2021九上·德阳月考）如图，在菱形 中， ， 为垂足，若 ， ， 是 边上的一个动点，则线段 的长度的最小值是 ．
【答案】4.8
【考点】垂线段最短；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 解：设菱形边长为a，
∴BE=a-2，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵cosB=
∴，cosB=，
∴a=10，
∴BE=8，
∵当EP和AB垂直时长度最短，
∴在Rt△BPE中，sinB=，
∴PE=×8=4.8，
∴线段PE的长度的最小值为4.8.
【分析】设菱形边长为a，根据cosB=得出，a=10，从而得出BE=8，再根据垂线段最短得出当EP和AB垂直时长度最短，根据得出PE=·BE=4.8，即可得出答案.
9．（2021九上·东昌府期中）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ．
【答案】
【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠AED与∠ABC都对 ，
∴∠AED=∠ABC，
在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
根据勾股定理得：BC= ，
则cos∠AED=cos∠ABC= = ．
【分析】根据圆周角的性质可得∠AED=∠ABC，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用余弦的定义求解即可。
10．（2021九上·芝罘期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ．
【答案】
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵BA⊥AD，BC⊥CD
∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四点共圆
∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°
∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA
即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°
∴∠BDC=∠BAO
∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=
∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC=
故答案为： ．
【分析】先求出∠DBA=∠CBO，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
三、综合题
11．（2021九上·东昌府期中）计算题
（1） ；
（2）已知 是锐角，且 ，计算 的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：∵ 是锐角，且
∴ =45°，
故
=
=
=
= ．
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角形函数值、负指数幂和0指数幂化简，再计算即可；
（2）先利用求出的度数，再利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．（2021九上·攸县期末）如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值.
【答案】（1）解：设所求的函数解析式为：(k≠0），将点A的坐标为（2，4） 代入得k=8，所以所求的反比例函数的解析式为：;
（2）解:过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
又∵tan∠ACB=，
∴AF=3，
∴EF=AE-AF=4-3=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）解：∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
∵ 当y=1时，在由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（8，1），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB=，
∴sin∠ABC=.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据锐角三角函数tan∠ACB=可求得AF的值，由线段的构成EF=AE-AF求得EF的值，于是点C的坐标可求解；
（3）由题意易得点B的纵坐标为1， 把点B的纵坐标代入反比例函数的解析式可求得点B的横坐标，用勾股定理求得AB的值，再根据锐角三角函数sin∠ABC=计算可求解.
13．（2021九上·醴陵期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点.
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.
【答案】（1）解：∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）解：∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）.
【考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由点B的坐标可得OB＝2，则OA＝OC＝4OB＝8，据此可得点A、C的坐标；
（2）由（1）知：抛物线的表达式可写为：y＝a(x+2)(x-8)＝a(x2-6x-16)，将C（0，﹣8）代入求出a，据此可得抛物线的表达式；
（3）易得直线CA的表达式为：y＝x-8，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设P（a，a2-3a-8），则H（a，a-8），表示出PD，然后根据二次函数的性质进行解答.
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2022年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·炎陵期末）Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．5
3．（2021九上·章丘月考）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·新化期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
5．（2021九上·德阳月考）如图， 是以坐标原点 为圆心， 为半径的圆，点 的坐标为 ，弦 经过点 ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021九上·佛山月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ．
7．（2021九上·绥宁期末）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 .
8．（2021九上·德阳月考）如图，在菱形 中， ， 为垂足，若 ， ， 是 边上的一个动点，则线段 的长度的最小值是 ．
9．（2021九上·东昌府期中）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ．
10．（2021九上·芝罘期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ．
三、综合题
11．（2021九上·东昌府期中）计算题
（1） ；
（2）已知 是锐角，且 ，计算 的值．
12．（2021九上·攸县期末）如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值.
13．（2021九上·醴陵期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点.
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
2．【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，若AB=4，
∴cosA=，即，
AC=.
故答案为：B.
【分析】根据∠A的余弦函数就可求出AC.
3．【答案】B
【考点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°．
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，∴AC∥ED，∴∠CED＝∠ECA．
∵AE＝1，∴由勾股定理得：EF＝AF．
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2＝12+22＝5，∴CE，∴sin∠CED＝sin∠ECF．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DEA＝∠CAB＝45°，再求出EF＝AF，最后求解即可。
4．【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2.
故答案为：D.
【分析】设CD＝5x，则BD＝7x，BC＝2x，由垂直平分线的性质可得AD＝BD＝7x，则AC＝12x，结合AC=12可得x，进而可得BC.
5．【答案】D
【考点】垂线段最短；垂径定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：当OP⊥AB时，阴影部分面积的最小，
∵P（2，2），
∴OP=2，
∵OA=OB=4，
∴PA=PB=2，
∴，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S阴影=S扇形AOB- S△AOB=，
∴阴影部分面积的最小值.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出当OP⊥AB时，阴影部分面积的最小，先求出OP的长，再根据勾股定理求出PA的长，利用锐角三角函数得出∠AOB的度数，利用S阴影=S扇形AOB- S△AOB，代入数值进行计算，即可得出答案.
6．【答案】4
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在网格上取点D，得，
∵CD=4，BD=1
∴．
故答案为：4．
【分析】先求出CD=4，BD=1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】
【考点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=.
故答案为：.
【分析】将点P（12，a）代入反比例函数解析式中可得a=5，则PH=5，OH=12，然后根据正切函数的概念进行解答.
8．【答案】4.8
【考点】垂线段最短；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 解：设菱形边长为a，
∴BE=a-2，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵cosB=
∴，cosB=，
∴a=10，
∴BE=8，
∵当EP和AB垂直时长度最短，
∴在Rt△BPE中，sinB=，
∴PE=×8=4.8，
∴线段PE的长度的最小值为4.8.
【分析】设菱形边长为a，根据cosB=得出，a=10，从而得出BE=8，再根据垂线段最短得出当EP和AB垂直时长度最短，根据得出PE=·BE=4.8，即可得出答案.
9．【答案】
【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠AED与∠ABC都对 ，
∴∠AED=∠ABC，
在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
根据勾股定理得：BC= ，
则cos∠AED=cos∠ABC= = ．
【分析】根据圆周角的性质可得∠AED=∠ABC，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用余弦的定义求解即可。
10．【答案】
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵BA⊥AD，BC⊥CD
∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四点共圆
∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°
∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA
即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°
∴∠BDC=∠BAO
∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=
∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC=
故答案为： ．
【分析】先求出∠DBA=∠CBO，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：∵ 是锐角，且
∴ =45°，
故
=
=
=
= ．
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角形函数值、负指数幂和0指数幂化简，再计算即可；
（2）先利用求出的度数，再利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．【答案】（1）解：设所求的函数解析式为：(k≠0），将点A的坐标为（2，4） 代入得k=8，所以所求的反比例函数的解析式为：;
（2）解:过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
又∵tan∠ACB=，
∴AF=3，
∴EF=AE-AF=4-3=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）解：∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
∵ 当y=1时，在由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（8，1），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB=，
∴sin∠ABC=.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据锐角三角函数tan∠ACB=可求得AF的值，由线段的构成EF=AE-AF求得EF的值，于是点C的坐标可求解；
（3）由题意易得点B的纵坐标为1， 把点B的纵坐标代入反比例函数的解析式可求得点B的横坐标，用勾股定理求得AB的值，再根据锐角三角函数sin∠ABC=计算可求解.
13．【答案】（1）解：∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）解：∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）.
【考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由点B的坐标可得OB＝2，则OA＝OC＝4OB＝8，据此可得点A、C的坐标；
（2）由（1）知：抛物线的表达式可写为：y＝a(x+2)(x-8)＝a(x2-6x-16)，将C（0，﹣8）代入求出a，据此可得抛物线的表达式；
（3）易得直线CA的表达式为：y＝x-8，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设P（a，a2-3a-8），则H（a，a-8），表示出PD，然后根据二次函数的性质进行解答.
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