2022年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021九上·肇源期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，
∴tanA= .
故答案为：D.
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，计算求解即可。
2．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数sin=可求解.
3．（2021九上·淅川期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝4，cosB＝ ，那么BC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosB＝ ＝ ，
∴可设BC＝3x，则AB＝5x，
由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
∴42+（3x）2＝（5x）2，
∴x＝1，
∴BC＝3.
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数cosB==可设BC＝3x，则AB＝5x，在直角三角形ABC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则BC=3x可求解.
4．（2021九上·哈尔滨月考）若cosA ，则锐角∠A为（ ）
A．30° B．15° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由cosA ，则锐角∠A为45°，
故答案为：C．
【分析】这根据特殊角三角函数值可得答案。
5．（2021九上·越城期末） 在 中， ， ， ， ， ，则BC的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
， ，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的定义，由 ，即可得BC.
二、填空题
6．（2019·甘肃）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝ ，则cosB＝ .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
设a＝ x，b＝3x，则c＝2 x，
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义，由tanA＝ ，可设a＝ x，b＝3x，根据勾股定理得出c＝2 x，进而即可根据余弦函数的定义求出 cosB 的值.
7．（2021·大冶模拟）计算：（﹣π）0＋（ ）﹣1﹣ sin60°＝ .
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（﹣π）0＋（ ）﹣1﹣ sin60°
＝1＋2﹣ ×
＝3﹣
＝ .
故填： .
【分析】任何非零数的0次方等于1；的-1次方就是取倒数，等于2； sin60°=.
8．（2021九上·越城期末）
如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形 中，
，
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做 的正切，记作tanA，利用网格计算即可.
9．（2021·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出sinB的值.
10．（2021·广元）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点.则 的正切值为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 .
【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.
三、解答题
11．（2019·海曙模拟）如图，等腰三角形ABC的腰长为4，底为6，求它的顶角的度数（结果精确到1°）
【答案】解：作AD⊥BC于点D，如图所示，
∵等腰三角形ABC的腰长为4，底为6，
∴AB＝4，BC＝6，
∴BD＝3，
∴sin∠BAD＝ ，
∴∠BAD≈48.6°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝97.2°≈97°，
即等腰三角形ABC的顶角是97°.
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 作AD⊥BC于点D，如图所示， 根据等腰三角形的三线合一得出BD＝3 ，∠BAC=2∠BAD，进而根据正弦函数的定义，由 sin∠BAD＝ 算出∠BAD的度数，从而即可得出答案。
12．（2019九上·宜阳期末）在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．
【答案】解：如图所示：
AC=2，BC=3，由勾股定理得：AB= ，sinB= ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用方格纸的特点在坐标平面内描出A,B,C三点，并顺次连接得出三角形ABC，由图知该三角形是直角三角形，再根据方格纸的特点得出AC,BC的长，根据勾股定理算出AB的长，然后根据正弦函数的定义即可得出答案。
13．（2021九上·韩城期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴ ，
即 ，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA=可求解；
（2）在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AD的值，由线段的构成可求得CD的值，再根据锐角三角函数tan∠C=可求解.
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一、单选题
1．（2021九上·肇源期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为( )
A． B． C． D．
2．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·淅川期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝4，cosB＝ ，那么BC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021九上·哈尔滨月考）若cosA ，则锐角∠A为（ ）
A．30° B．15° C．45° D．60°
5．（2021九上·越城期末） 在 中， ， ， ， ， ，则BC的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
二、填空题
6．（2019·甘肃）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝ ，则cosB＝ .
7．（2021·大冶模拟）计算：（﹣π）0＋（ ）﹣1﹣ sin60°＝ .
8．（2021九上·越城期末）
如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 .
9．（2021·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是
10．（2021·广元）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点.则 的正切值为 .
三、解答题
11．（2019·海曙模拟）如图，等腰三角形ABC的腰长为4，底为6，求它的顶角的度数（结果精确到1°）
12．（2019九上·宜阳期末）在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．
13．（2021九上·韩城期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，
∴tanA= .
故答案为：D.
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数sin=可求解.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosB＝ ＝ ，
∴可设BC＝3x，则AB＝5x，
由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
∴42+（3x）2＝（5x）2，
∴x＝1，
∴BC＝3.
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数cosB==可设BC＝3x，则AB＝5x，在直角三角形ABC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则BC=3x可求解.
4．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由cosA ，则锐角∠A为45°，
故答案为：C．
【分析】这根据特殊角三角函数值可得答案。
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
， ，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的定义，由 ，即可得BC.
6．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
设a＝ x，b＝3x，则c＝2 x，
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义，由tanA＝ ，可设a＝ x，b＝3x，根据勾股定理得出c＝2 x，进而即可根据余弦函数的定义求出 cosB 的值.
7．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（﹣π）0＋（ ）﹣1﹣ sin60°
＝1＋2﹣ ×
＝3﹣
＝ .
故填： .
【分析】任何非零数的0次方等于1；的-1次方就是取倒数，等于2； sin60°=.
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形 中，
，
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做 的正切，记作tanA，利用网格计算即可.
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出sinB的值.
10．【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 .
【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.
11．【答案】解：作AD⊥BC于点D，如图所示，
∵等腰三角形ABC的腰长为4，底为6，
∴AB＝4，BC＝6，
∴BD＝3，
∴sin∠BAD＝ ，
∴∠BAD≈48.6°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝97.2°≈97°，
即等腰三角形ABC的顶角是97°.
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 作AD⊥BC于点D，如图所示， 根据等腰三角形的三线合一得出BD＝3 ，∠BAC=2∠BAD，进而根据正弦函数的定义，由 sin∠BAD＝ 算出∠BAD的度数，从而即可得出答案。
12．【答案】解：如图所示：
AC=2，BC=3，由勾股定理得：AB= ，sinB= ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用方格纸的特点在坐标平面内描出A,B,C三点，并顺次连接得出三角形ABC，由图知该三角形是直角三角形，再根据方格纸的特点得出AC,BC的长，根据勾股定理算出AB的长，然后根据正弦函数的定义即可得出答案。
13．【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴ ，
即 ，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA=可求解；
（2）在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AD的值，由线段的构成可求得CD的值，再根据锐角三角函数tan∠C=可求解.
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