2022年初中数学浙教版九年级下册1.2锐角三角函数的计算 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2020九上·舒城期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、没有计算结果，不符合题意；
B、没有计算结果，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、符合互余两角的三角函数关系，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据互余两角三角函数的关系，转化为同名三角函数，再根据同名三角函数的增减性进行判断即可。
2．（2021九上·淮北月考）已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（ ）
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，
∵0.5<0.67<0.71，
∴45°<α<60°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。
3．（2021九上·鄞州月考）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sin A的取值范围是（ ）
A．0C． 【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵sinC=，令AH=4x，则AC=5x，HC==3x，
∴sin∠HAC==.
∵∠HAC<∠BAC<90°，
∴故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由题意令AH=4x，则AC=5x，由勾股定理可表示出HC，然后求出sin∠HAC的值，最后结合正弦函数的增减性判断即可.
4．（2021九上·会宁期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，故A选项正确；
B、cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，故B选项错误；
C、tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，故C选项错误；
D、根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小，根据锐角三角函数值的变化规律判断即可.
5．（2021九上·新邵期末）如图，小红同学测量一棵与地面垂直的树的高度时，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角，借助计算器计算树的高度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，OB=30米，，则
∴
故答案为：C.
【分析】根据∠ABO的正切函数可得OA的值.
二、填空题
6．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
7．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
8．（2020·高邮模拟）比较大小： (填“ ”“ ”或“＞”)
【答案】<
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：<.
【分析】根据三角函数的性质得 ，即可比较它们的大小关系.
9．（2020·朝阳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则 (填“＞”、“=”或“＜”)．
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝ ，tan∠COD＝ ，
∴∠AOB＜∠COD，
故答案为：＜．
【分析】利用正切值的性质比较大小；正切值越大，角度越大。
10．（2021八上·杭州期末）下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③当 时， ；④ ．
【答案】①③④
【知识点】锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：①如图，在Rt△ABC中，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
②若α=30° ，则cosα=，
2α=60° ， ，
∴cos60°≠2cos30°，
∴ cosα≠2cosα， 故②错误；
③当0°<α<β<90°时， ，
∴ α越大，对边越大，且越接近斜边，
∴ sinα越大，
∴当0°<α<β<90°时， 0④∵ ， ， ，
∴sinα=cosα·tanα，故④正确.
故答案为①③④.
【分析】由三角函数的概念表示出sinα，cosα，然后求出sin2α+cos2α的值，据此判断①；②令α=30° ，求出cos2α，2cosα的值，据此判断②；根据正弦函数的单调性判断③；由三角函数的概念表示出sinα，cosα，tanα，然后表示出cosα·tanα，与sinα进行比较可判断④.
三、综合题
11．（2020九上·罗庄期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．
（1）求证：PC＝PF；
（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3 ，tanP＝ ，求FB的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，
∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，
∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝∠CFP，
∴∠CFP＝∠FCP，
∴PC＝PF；
（2）解：过点B作BG⊥PC于点G，
∵OB∥PC，
∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3 ，
∴OB＝3，
∵BG⊥PC，
∴四边形OBGC是正方形，
∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝ ，
∴ ，
∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，
∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP＝90°，由等腰三角形的性质可得∠E＝∠OCE，推出∠CFP＝∠FCP，即可得出结论；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，由题意证出四边形OBGC是正方形，得出OB＝CG＝BG＝3，即可求出BP、PG的长，即可求出FB的值。
12．（2020九下·镇江月考）
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
13．（2019·江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1）
（1）如图2， ， ．
①填空： °；
②求投影探头的端点 到桌面 的距离 ．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】（1）160；解：过点 作 于点 ，如图2， 则 ， 投影探头的端点 到桌面 的距离为：
（2）解：过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作 于点 ，如图3，
则 ， ， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）①过点 作 ，如图1，则 ，
，
，
，
，
故答案为：160；
【分析】（1） ① 根据平行线的性质解答即可。
② 解直角三角形求出AF，计算即可。
（2）根据题意在直角三角形中利用三角函数，解三角形即可。
14．（2019·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
（1）任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m.
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
（3）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
【答案】（1）5.5
（2）解：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，∴ ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，∴CE= ，
∵CD=CE-DE，
∴ ，
∴ ，
∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7m
（3）解：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【知识点】矩形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：
任务一： =5.5(m)，
故答案为：5.5；
【分析】（1）根据平均值的定义求解即可
（2）根据矩形的性质，得AB=CD，EH=AC。在直角三角形中， EG=x m ，利用三角函数，求出EC，ED。由 CD=CE-DE ，求解x。即可求出学校旗杆GH的高度。
（3）开放性答案。
15．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册1.2锐角三角函数的计算 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2020九上·舒城期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·淮北月考）已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（ ）
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
3．（2021九上·鄞州月考）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sin A的取值范围是（ ）
A．0C． 4．（2021九上·会宁期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
5．（2021九上·新邵期末）如图，小红同学测量一棵与地面垂直的树的高度时，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角，借助计算器计算树的高度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为 .
7．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
8．（2020·高邮模拟）比较大小： (填“ ”“ ”或“＞”)
9．（2020·朝阳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则 (填“＞”、“=”或“＜”)．
10．（2021八上·杭州期末）下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③当 时， ；④ ．
三、综合题
11．（2020九上·罗庄期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．
（1）求证：PC＝PF；
（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3 ，tanP＝ ，求FB的长．
12．（2020九下·镇江月考）
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
13．（2019·江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1）
（1）如图2， ， ．
①填空： °；
②求投影探头的端点 到桌面 的距离 ．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）
14．（2019·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
（1）任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m.
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
（3）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
15．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、没有计算结果，不符合题意；
B、没有计算结果，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、符合互余两角的三角函数关系，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据互余两角三角函数的关系，转化为同名三角函数，再根据同名三角函数的增减性进行判断即可。
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，
∵0.5<0.67<0.71，
∴45°<α<60°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵sinC=，令AH=4x，则AC=5x，HC==3x，
∴sin∠HAC==.
∵∠HAC<∠BAC<90°，
∴故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由题意令AH=4x，则AC=5x，由勾股定理可表示出HC，然后求出sin∠HAC的值，最后结合正弦函数的增减性判断即可.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，故A选项正确；
B、cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，故B选项错误；
C、tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，故C选项错误；
D、根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小，根据锐角三角函数值的变化规律判断即可.
5．【答案】C
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，OB=30米，，则
∴
故答案为：C.
【分析】根据∠ABO的正切函数可得OA的值.
6．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
7．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
8．【答案】<
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：<.
【分析】根据三角函数的性质得 ，即可比较它们的大小关系.
9．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝ ，tan∠COD＝ ，
∴∠AOB＜∠COD，
故答案为：＜．
【分析】利用正切值的性质比较大小；正切值越大，角度越大。
10．【答案】①③④
【知识点】锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：①如图，在Rt△ABC中，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
②若α=30° ，则cosα=，
2α=60° ， ，
∴cos60°≠2cos30°，
∴ cosα≠2cosα， 故②错误；
③当0°<α<β<90°时， ，
∴ α越大，对边越大，且越接近斜边，
∴ sinα越大，
∴当0°<α<β<90°时， 0④∵ ， ， ，
∴sinα=cosα·tanα，故④正确.
故答案为①③④.
【分析】由三角函数的概念表示出sinα，cosα，然后求出sin2α+cos2α的值，据此判断①；②令α=30° ，求出cos2α，2cosα的值，据此判断②；根据正弦函数的单调性判断③；由三角函数的概念表示出sinα，cosα，tanα，然后表示出cosα·tanα，与sinα进行比较可判断④.
11．【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，
∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，
∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝∠CFP，
∴∠CFP＝∠FCP，
∴PC＝PF；
（2）解：过点B作BG⊥PC于点G，
∵OB∥PC，
∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3 ，
∴OB＝3，
∵BG⊥PC，
∴四边形OBGC是正方形，
∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝ ，
∴ ，
∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，
∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP＝90°，由等腰三角形的性质可得∠E＝∠OCE，推出∠CFP＝∠FCP，即可得出结论；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，由题意证出四边形OBGC是正方形，得出OB＝CG＝BG＝3，即可求出BP、PG的长，即可求出FB的值。
12．【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
13．【答案】（1）160；解：过点 作 于点 ，如图2， 则 ， 投影探头的端点 到桌面 的距离为：
（2）解：过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作 于点 ，如图3，
则 ， ， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）①过点 作 ，如图1，则 ，
，
，
，
，
故答案为：160；
【分析】（1） ① 根据平行线的性质解答即可。
② 解直角三角形求出AF，计算即可。
（2）根据题意在直角三角形中利用三角函数，解三角形即可。
14．【答案】（1）5.5
（2）解：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，∴ ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，∴CE= ，
∵CD=CE-DE，
∴ ，
∴ ，
∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7m
（3）解：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【知识点】矩形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：
任务一： =5.5(m)，
故答案为：5.5；
【分析】（1）根据平均值的定义求解即可
（2）根据矩形的性质，得AB=CD，EH=AC。在直角三角形中， EG=x m ，利用三角函数，求出EC，ED。由 CD=CE-DE ，求解x。即可求出学校旗杆GH的高度。
（3）开放性答案。
15．【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
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