2022年初中数学浙教版九年级下册1.3解直角三角形 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2021九上·信都期中）如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量（ ）
A．∠ADC B．∠DCE C．∠ADB D．∠DAB
3．（2021·房县模拟）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在 处测得顶端 的仰角∠ ＝ ， 到旗杆的距离 ＝5米，测角仪 的高度为1米，则旗杆 的高度表示为（ ）.
A．5 ＋1 B．5 ＋1 C．5 ＋1 D． ＋1
4．（2021·玉林模拟）河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡 的坡比为 ，则AB的长为（ ）
A． 米 B． 米 C．18米 D．21米
5．（2021·乐清模拟）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=12米，则树的高AB(单位：米)为（ ）
A． B． C．12tan37° D．12sin37°
二、填空题
6．（2021九上·宁波期中）已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，tan∠ABC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
7．（2021·黄石模拟）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是 ，（坡度是坡面的铅垂高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是 .
8．（2021·永州模拟）小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为 度
9．（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
10．（2020九上·包河期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
三、解答题
11．（2020·甘孜）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据： ）
12．（2020九上·重庆开学考）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）求线段 的长度：
（2）求 的值.
13．（2020九上·宽城期末）如图①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D、E、F、G，∠CGD=42°．将直尺向下平移，使直尺的边缘通过点B，交AC于点H，如图②所示。
【参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.90】
（1）∠CBH的大小为 度．
（2）点H、B的读数分别为4、13.4，求BC的长．(结果精确到0.01)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DF//AB，
∴
∵水平线与视线的夹角，即是俯角，
∴从点 观测点 的俯角为 ，
∴可以测量 ，
故答案为：D
【分析】先求出，再求出从点 观测点 的俯角为 ，最后求解即可。
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，
∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，
在Rt△PCD中，PC＝CDtanα＝5tanα，
∴PA＝PC+AC＝5tanα+1.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知：四边形ABDC是矩形，由矩形的性质可得∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，在Rt△PCD中，由三角函数的概念可得PC＝5tanα，然后根据PA＝PC+AC进行计算.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比为1： ，
∴ ，
解得，AC=9 ，
∴AB= =18.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡比可得AC，然后根据勾股定理就可求得AB.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知∠B=90°，
∴
∴AB=BCtan∠C=12tan37°.
故答案为：C.
【分析】利用解直角三角形求出AB的值.
6．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴tan∠ABC＝==2，
∴BC=1，
∴AB= ==.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切三角函数的定义求出BC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
7．【答案】10米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 中， 米， ；
米，
米.
故答案为： 10米.
【分析】解直角三角形ABC可求解.
8．【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得坡角的正弦值为：
则斜坡的坡角的度数为30°.
故答案为：30.
【分析】利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得到斜坡的坡角的度数.
9．【答案】1.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴在直角 中，sinA＝ ，
则BC＝AB sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
，
， ， ，
故答案：
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】解：由题意可知 ， ， 米，
在 中， (米)，
在 中， (米)，
(米)．
答：这栋楼的高度约为95米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．
12．【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
13．【答案】（1）42
（2）解：由图得，BH=13.4-4=9.4．
在Rt△BCH中，∠C=90°，∠CBH=42°，
∵ ， ∴ ． ∴BC的长约为6.96
【知识点】平移的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，可得 ∠CBH = ∠CGD ，进而得到答案；
（2） 在Rt△BCH中，根据 ， 即可求出答案.
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一、单选题
1．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
2．（2021九上·信都期中）如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量（ ）
A．∠ADC B．∠DCE C．∠ADB D．∠DAB
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DF//AB，
∴
∵水平线与视线的夹角，即是俯角，
∴从点 观测点 的俯角为 ，
∴可以测量 ，
故答案为：D
【分析】先求出，再求出从点 观测点 的俯角为 ，最后求解即可。
3．（2021·房县模拟）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在 处测得顶端 的仰角∠ ＝ ， 到旗杆的距离 ＝5米，测角仪 的高度为1米，则旗杆 的高度表示为（ ）.
A．5 ＋1 B．5 ＋1 C．5 ＋1 D． ＋1
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，
∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，
在Rt△PCD中，PC＝CDtanα＝5tanα，
∴PA＝PC+AC＝5tanα+1.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知：四边形ABDC是矩形，由矩形的性质可得∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，在Rt△PCD中，由三角函数的概念可得PC＝5tanα，然后根据PA＝PC+AC进行计算.
4．（2021·玉林模拟）河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡 的坡比为 ，则AB的长为（ ）
A． 米 B． 米 C．18米 D．21米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比为1： ，
∴ ，
解得，AC=9 ，
∴AB= =18.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡比可得AC，然后根据勾股定理就可求得AB.
5．（2021·乐清模拟）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=12米，则树的高AB(单位：米)为（ ）
A． B． C．12tan37° D．12sin37°
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知∠B=90°，
∴
∴AB=BCtan∠C=12tan37°.
故答案为：C.
【分析】利用解直角三角形求出AB的值.
二、填空题
6．（2021九上·宁波期中）已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，tan∠ABC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴tan∠ABC＝==2，
∴BC=1，
∴AB= ==.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切三角函数的定义求出BC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
7．（2021·黄石模拟）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是 ，（坡度是坡面的铅垂高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是 .
【答案】10米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 中， 米， ；
米，
米.
故答案为： 10米.
【分析】解直角三角形ABC可求解.
8．（2021·永州模拟）小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为 度
【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得坡角的正弦值为：
则斜坡的坡角的度数为30°.
故答案为：30.
【分析】利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得到斜坡的坡角的度数.
9．（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
【答案】1.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴在直角 中，sinA＝ ，
则BC＝AB sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
10．（2020九上·包河期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
，
， ， ，
故答案：
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
三、解答题
11．（2020·甘孜）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据： ）
【答案】解：由题意可知 ， ， 米，
在 中， (米)，
在 中， (米)，
(米)．
答：这栋楼的高度约为95米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．
12．（2020九上·重庆开学考）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）求线段 的长度：
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
13．（2020九上·宽城期末）如图①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D、E、F、G，∠CGD=42°．将直尺向下平移，使直尺的边缘通过点B，交AC于点H，如图②所示。
【参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.90】
（1）∠CBH的大小为 度．
（2）点H、B的读数分别为4、13.4，求BC的长．(结果精确到0.01)
【答案】（1）42
（2）解：由图得，BH=13.4-4=9.4．
在Rt△BCH中，∠C=90°，∠CBH=42°，
∵ ， ∴ ． ∴BC的长约为6.96
【知识点】平移的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，可得 ∠CBH = ∠CGD ，进而得到答案；
（2） 在Rt△BCH中，根据 ， 即可求出答案.
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