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2022年初中数学浙教版九年级下册1.3解直角三角形 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021九上·东平月考）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·永年月考）如图，中， ，点D在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·东平月考）如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
4．（2021九上·淮北月考）如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
5．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据 ， ，
设铁塔顶端到地面的高度 为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2021九上·东平月考）如图，在中，已知，，，则 ．
7．（2021九上·芝罘期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于 ，连接 ．若 ，则 ．
8．（2021九上·休宁月考）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R，其内接正十二边形的周长为C．若R＝，则C＝ ，≈ （结果精确到0.01，参考数据：≈2.449，≈1.414）．
9．（2021九上·宁波月考）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
10．（2021九上·龙凤期中）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米 结果保留根号 ．
三、综合题
11．（2021九上·永年月考）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，A点到B点的距离．（参考数据：，，）
（1）求盲区中的长度；
（2）点M在上，，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
12．（2021九上·淮北月考）淮北市为缓解“停车难”问题．建造地下停车库，如图已知，，C在BD上，．根据规定，停车库坡道入口上方要张贴限高标准值，以告知驾驶员能否安全驶入．小明认为CD的长就是限高值，而小亮认为应该以CE的长作为限高值．（参考数据：，，，结果精确到）
（1）请你判断小明和小亮谁说的对？
（2）计算出正确的限高值．
13．（2021九上·炎陵期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°，
（1）求证：BD2=BA·BE；
（2）若AB=6，BE=8，求CD的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40 =5cos40 .
故答案为：B.
【分析】根据梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，求解即可。
2．【答案】C
【考点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故答案为：C．
【分析】先求出AB=5，再求出cos∠DBC=cosA=，最后计算求解即可。
3．【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，，
由题意知，，，四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即：树AB的高度是30m，
故答案为：B．
【分析】先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：，，
在中有：
如图，延长交于点N，则
这个坡的坡度等于的正切值
这个坡的坡度等于
故答案为：B
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用正切的定义可得，即可得到答案。
5．【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10,
在Rt△EFC, = =
即 ，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
6．【答案】6
【考点】含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D点．
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
∵AB2=AD2+BD2，AB=，
∴AD=BD=3，
又∵∠C=30°，
∴AC=2AD=6
【分析】先求出∠BAD=∠B=45°，再求出AD=BD=3，最后计算求解即可。
7．【答案】6
【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：因为
∴
设 ， ，
∴
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD=5x
∴AC=CD+AD=3x+5x=8x
∵AC=12
∴8x=12
∴x=
∴BC=4x=6．
故答案为：6．
【分析】利用勾股定理，列方程计算求解即可。
8．【答案】24；3.11
【考点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，
作与点H
正十二边形的周长
故答案为：24；3.11
【分析】根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，，作与点H，再求出，再根据勾股定理求出，再根据正十二边形的性质求解即可。
9．【答案】8.6米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，
∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈
解得：CD= ≈8.6.
故答案为：8.6米.
【分析】由题意知：∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，根据∠DBC的正切函数可得BC，根据∠A的正切函数就可求出CD.
10．【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由于 ，
， ，
在 中， ，
米，
在 ， ，
米 ，
米，
故答案为 .
【分析】在 中，在 中 ，都利用锐角三角形函数，用CD表示出AD、BD的长，再计算出AB的长。
11．【答案】（1）解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB sin45°（m），
∴DF=AC=1（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tanE=
∴DE≈（m），
答：盲区中DE的长度为2.5m；
（2）解：如图所示：过点M作NM⊥ED，交于N, 则
∵ED=2.5m，MD=1.8m，
∴EM=0.7m， FD=AC=1m，
则△EMN∽△EDF，
即
解得：MN=0.28，
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ACDF是平行四边形， 再求出 DF=AC， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质列方程计算求解即可。
12．【答案】（1）解：小亮说的对；
（2）解：作于E，
在中，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴正确的限高值为．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（2）作于E，先求出，再利用线段的和差可得，再利用锐角三角函数求解即可。
13．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2=BA·BE；
（2）解：∵由（1）可知，BD2=BE·BA，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴CD=4.
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△BAD∽△BDE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式BD：BE=BA：BD，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）由（1）中的乘积式可求得BD的值，用勾股定理求得AD的值，结合正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可求得∠ABD的度数，则可得∠ABC的度数，然后由锐角三角函数tan∠ABC=求得AC的值，于是由线段的构成CD=AC-AD可求解.
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2022年初中数学浙教版九年级下册1.3解直角三角形 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021九上·东平月考）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40 =5cos40 .
故答案为：B.
【分析】根据梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，求解即可。
2．（2021九上·永年月考）如图，中， ，点D在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故答案为：C．
【分析】先求出AB=5，再求出cos∠DBC=cosA=，最后计算求解即可。
3．（2021九上·东平月考）如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，，
由题意知，，，四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即：树AB的高度是30m，
故答案为：B．
【分析】先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。
4．（2021九上·淮北月考）如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：，，
在中有：
如图，延长交于点N，则
这个坡的坡度等于的正切值
这个坡的坡度等于
故答案为：B
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用正切的定义可得，即可得到答案。
5．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据 ， ，
设铁塔顶端到地面的高度 为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10,
在Rt△EFC, = =
即 ，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题
6．（2021九上·东平月考）如图，在中，已知，，，则 ．
【答案】6
【考点】含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D点．
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
∵AB2=AD2+BD2，AB=，
∴AD=BD=3，
又∵∠C=30°，
∴AC=2AD=6
【分析】先求出∠BAD=∠B=45°，再求出AD=BD=3，最后计算求解即可。
7．（2021九上·芝罘期中）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于 ，连接 ．若 ，则 ．
【答案】6
【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：因为
∴
设 ， ，
∴
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD=5x
∴AC=CD+AD=3x+5x=8x
∵AC=12
∴8x=12
∴x=
∴BC=4x=6．
故答案为：6．
【分析】利用勾股定理，列方程计算求解即可。
8．（2021九上·休宁月考）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R，其内接正十二边形的周长为C．若R＝，则C＝ ，≈ （结果精确到0.01，参考数据：≈2.449，≈1.414）．
【答案】24；3.11
【考点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，
作与点H
正十二边形的周长
故答案为：24；3.11
【分析】根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，，作与点H，再求出，再根据勾股定理求出，再根据正十二边形的性质求解即可。
9．（2021九上·宁波月考）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
【答案】8.6米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，
∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈
解得：CD= ≈8.6.
故答案为：8.6米.
【分析】由题意知：∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，根据∠DBC的正切函数可得BC，根据∠A的正切函数就可求出CD.
10．（2021九上·龙凤期中）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米 结果保留根号 ．
【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由于 ，
， ，
在 中， ，
米，
在 ， ，
米 ，
米，
故答案为 .
【分析】在 中，在 中 ，都利用锐角三角形函数，用CD表示出AD、BD的长，再计算出AB的长。
三、综合题
11．（2021九上·永年月考）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，A点到B点的距离．（参考数据：，，）
（1）求盲区中的长度；
（2）点M在上，，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
【答案】（1）解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB sin45°（m），
∴DF=AC=1（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tanE=
∴DE≈（m），
答：盲区中DE的长度为2.5m；
（2）解：如图所示：过点M作NM⊥ED，交于N, 则
∵ED=2.5m，MD=1.8m，
∴EM=0.7m， FD=AC=1m，
则△EMN∽△EDF，
即
解得：MN=0.28，
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ACDF是平行四边形， 再求出 DF=AC， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质列方程计算求解即可。
12．（2021九上·淮北月考）淮北市为缓解“停车难”问题．建造地下停车库，如图已知，，C在BD上，．根据规定，停车库坡道入口上方要张贴限高标准值，以告知驾驶员能否安全驶入．小明认为CD的长就是限高值，而小亮认为应该以CE的长作为限高值．（参考数据：，，，结果精确到）
（1）请你判断小明和小亮谁说的对？
（2）计算出正确的限高值．
【答案】（1）解：小亮说的对；
（2）解：作于E，
在中，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴正确的限高值为．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（2）作于E，先求出，再利用线段的和差可得，再利用锐角三角函数求解即可。
13．（2021九上·炎陵期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°，
（1）求证：BD2=BA·BE；
（2）若AB=6，BE=8，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2=BA·BE；
（2）解：∵由（1）可知，BD2=BE·BA，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴CD=4.
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△BAD∽△BDE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式BD：BE=BA：BD，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）由（1）中的乘积式可求得BD的值，用勾股定理求得AD的值，结合正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可求得∠ABD的度数，则可得∠ABC的度数，然后由锐角三角函数tan∠ABC=求得AC的值，于是由线段的构成CD=AC-AD可求解.
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