2022年初中数学浙教版九年级下册第一章解直角三角形 章末检测——容易版
一、单选题
1．（2021九上·上城期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A 、∵tan45 =1，∴A选项错误；
B、∵ cos45 = ，∴ B 选项错误；
C 、∵sin30 = ，∴C选项正确；
D 、∵tan60 = ；∴D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值分别判断即可.
2．（2021九下·咸宁月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题干可得如下图，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用即可求出结论.
3．（2021·长春模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（ ）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，得出BC=，即可得出答案.
4．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
5．（2020九上·任城期末）如图，在 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵ 中， ， 、 、 所对的边分别为a、b、c
∴ ，即 ，则A选项不成立，B选项成立
，即 ，则C、D选项均不成立
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数进行计算求解即可。
6．（2020九上·路南期末）如图，从点 观测建筑物 的视角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示，根据视角的定义，建筑物 两端发出的光线在眼球内交叉的角为 ，
故答案为：A．
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
7．（2021·茅箭模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD=24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角三角形ABD中，
AD= =10，
∴sin∠ABD= = ，
∵∠ACD=∠ABD，
∴sin∠ACD= ，
故答案为：D.
【分析】由直径所对的圆周角的直角可得∠ADB=90°，由勾股定理可得AD的长度，根据锐角三角函数可得sin∠ABD，根据圆周角定理可得∠ACD=∠ABD，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
8．（2021九上·广饶期中）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接BC
∵每个小正方形的边长均为1
∴AB=，BC=，AC=
∵（）2+（）2=（）2
∴三角形ABC为直角三角形
∴cos∠BAC===
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合勾股定理，求出三角形三边的长度，继而由勾股定理的逆定理判断三角形ABC的形状，求出∠BAC的余弦值即可。
9．（2021·云岩模拟）如图， 的顶点位于正方形网格的格点上，若 ，则满足条件的 是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意，
B. ，故该选项符合题意，
C. ，故该选项不符合题意，
D. ，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据网格特点分别求出各选项中tanα的值，然后判断即可.
10．（2021九上·平果期末）如图， 中， ， ， ，若 ，则 的长为（ ）
A．6 B． C．7.5 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ，设DC=4x，BD=3x，
（3x）2+（4x）2=102，
∵x>0，解得x=2，
∴BD=6，CD=8
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴ ，
∴ ，CD=8，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】在直角三角形BCD中，因为tanB=，所以可设DC=4x，BD=3x，结合已知用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则BD、CD的值可求解；由同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据等角的同名三角形函数值相等得tan∠ACD==，可求得AD的值.
二、填空题
11．（2020九上·慈溪月考）计算：sin60°+cos30°= .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=+
=.
故答案为：.
【分析】代入三角函数特殊值，再通分即可求得结果.
12．（2020九上·成都月考）某斜坡坡角 的正弦值 ，则该斜坡的坡度为 ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ；
∴该斜坡的坡度为：
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算求解即可。
13．（2021·崆峒模拟）若sin（x﹣30°）＝ ，则x＝ .
【答案】90°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin（x﹣30°）＝ ，
∴x﹣30°＝60°，
∴x＝90°，
故答案为：90°.
【分析】根据特殊角三函数值进行解答即可.
14．（2021·绍兴模拟）如图，有一个小山坡 ，坡比 .已知小山坡的水平距离 ，则小山坡的高度 是 .
【答案】45m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：45m.
【分析】根据坡比i=可求解.
15．（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置， ， ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中，
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD的长.
16．（2021九上·沙坪坝月考）如图的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 值为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，由方格纸的特点可知，CD=4，BD=3.
∴tan∠ABC=
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，再根据三角函数的概念进行求解.
三、解答题
17．（2021·河南模拟）孔子雕像的落成给某中学增添了一处靓丽的人文景观，弘扬了优秀传统文化，也提升了学校的文化品位.学完了三角函数知识后，该校“数学社团”的张萍萍和杨霞同学决定用自己学到的知识测量孔子雕像的高度，她们把“测量孔子雕像的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量孔子雕像的高
测量 示意图 说明：在点 处测得孔子雕像顶端 的仰角 ，在点 处测得孔子雕像顶端 的仰角 .（ ， ， 三点在同一条直线上）
测量数据 的度数 的度数 的距离
请你根据他们测量的数据计算孔子雕像的高度.（结果精确到 .参考数据： ， ， ）
【答案】解：设 的长为 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
解得 .
答：孔子雕像的高度约为 .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设CD的长为xm，根据∠CAD=45°可得AD=CD，BD=(x-2.5)m，然后根据∠CBD的正切函数进行求解.
18．（2020九上·蚌埠月考）如图，已知中，，，求的面积．
【答案】解：作 于点D在 中，
，
在 中，
，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据锐角三角函数先求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解。
19．（2020·成华模拟）小明想测量湿地公园内某池塘两端A，B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝40°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝52.44°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A，B两点的距离（结果精确到0.1）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52.44°≈0.79，cos52.44°≈0.61，tan52.44°≈1.30）
【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，
由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝40°，∠BDF＝52.44°，
∴CM＝ 71.43（米），
DN＝ 46.15（米），
∴AB＝CD+DN﹣CM＝100+46.15﹣71.43≈74.7（米），
即A、B两点的距离是74.7米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB＝CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
20．（2020·武威模拟）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（ ，结果保留一位小数）.
【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m
在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD
在Rt△BDC中，由tan∠BCD= ，得
又∵BC-AB=AC，∴ ，∴
答：该古塔BD的高度 m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长.
21．
如图，在Rt△ABC中， ，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝ ，求DE的长.
【答案】解：∵BC＝6，sinA＝ ， ∴AB＝10， ∴AC＝ =8， ∵D是AB的中点， ∴AD＝ AB＝5， ∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：DE＝ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
22．（2020·路桥模拟）等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式.在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869.）
【答案】解：作AD丄BC,垂足为D点
∵AB=AC，BC=20，
∴BD=CD= BC=10.
在Rt△ACD中，∠C=41°，
∴tan C=tan41°= ，
∴AD= ≈10×0.869 ≈8.7.
答：顶点A到BC边的距离是8.7米.
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】求A点到BC的距离，先作垂线，三角形ABC为等腰三角形，得出CD=BC，在 Rt△ACD 中，再根据三角函数值求出AD的长。
23．（2020·九江模拟）
（1）计算：cos30°－ +(－1)0
（2）如图，在Rt△ABC中，∠A=30° ，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，求DE的长．
【答案】（1）解：cos30°－ +(－1)0
；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE= AB=1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂可以解答本题；(2)根据含30度角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理即可求得答案．
24．（2018九上·天台月考）如图，矩形 中， 为 上一点， 于 ．
（1） 与 相似吗？请说明理由；
（2）若 ，求 的长．
【答案】解： ⑵ 若 ，求 的长． 解：DF=7.2
（1） △ABE∽△ADF,理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵DF⊥AE
∴∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中，
∵∠B=∠AFD=90°，∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△ADF,
（2） 在Rt△ABE中，∵AB=6,BE=8,∴AE=10,
∵△ABE∽△ADF,
∴,即,
解得：DF=7.2
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°,AD∥BC,根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠AEB,然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ABE∽△ADF；（2）首先根据勾股定理算出AE的长，然后根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式列出方程即可求出DF的长。
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册第一章解直角三角形 章末检测——容易版
一、单选题
1．（2021九上·上城期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九下·咸宁月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
3．（2021·长春模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（ ）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
4．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
5．（2020九上·任城期末）如图，在 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
6．（2020九上·路南期末）如图，从点 观测建筑物 的视角是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·茅箭模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD=24，则sin∠ACD的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·广饶期中）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2021·云岩模拟）如图， 的顶点位于正方形网格的格点上，若 ，则满足条件的 是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九上·平果期末）如图， 中， ， ， ，若 ，则 的长为（ ）
A．6 B． C．7.5 D．10
二、填空题
11．（2020九上·慈溪月考）计算：sin60°+cos30°= .
12．（2020九上·成都月考）某斜坡坡角 的正弦值 ，则该斜坡的坡度为 ．
13．（2021·崆峒模拟）若sin（x﹣30°）＝ ，则x＝ .
14．（2021·绍兴模拟）如图，有一个小山坡 ，坡比 .已知小山坡的水平距离 ，则小山坡的高度 是 .
15．（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置， ， ， ，则 的长为 .
16．（2021九上·沙坪坝月考）如图的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 值为 .
三、解答题
17．（2021·河南模拟）孔子雕像的落成给某中学增添了一处靓丽的人文景观，弘扬了优秀传统文化，也提升了学校的文化品位.学完了三角函数知识后，该校“数学社团”的张萍萍和杨霞同学决定用自己学到的知识测量孔子雕像的高度，她们把“测量孔子雕像的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量孔子雕像的高
测量 示意图 说明：在点 处测得孔子雕像顶端 的仰角 ，在点 处测得孔子雕像顶端 的仰角 .（ ， ， 三点在同一条直线上）
测量数据 的度数 的度数 的距离
请你根据他们测量的数据计算孔子雕像的高度.（结果精确到 .参考数据： ， ， ）
18．（2020九上·蚌埠月考）如图，已知中，，，求的面积．
19．（2020·成华模拟）小明想测量湿地公园内某池塘两端A，B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝40°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝52.44°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A，B两点的距离（结果精确到0.1）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52.44°≈0.79，cos52.44°≈0.61，tan52.44°≈1.30）
20．（2020·武威模拟）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（ ，结果保留一位小数）.
21．
如图，在Rt△ABC中， ，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝ ，求DE的长.
22．（2020·路桥模拟）等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式.在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869.）
23．（2020·九江模拟）
（1）计算：cos30°－ +(－1)0
（2）如图，在Rt△ABC中，∠A=30° ，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，求DE的长．
24．（2018九上·天台月考）如图，矩形 中， 为 上一点， 于 ．
（1） 与 相似吗？请说明理由；
（2）若 ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A 、∵tan45 =1，∴A选项错误；
B、∵ cos45 = ，∴ B 选项错误；
C 、∵sin30 = ，∴C选项正确；
D 、∵tan60 = ；∴D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值分别判断即可.
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题干可得如下图，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用即可求出结论.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，得出BC=，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵ 中， ， 、 、 所对的边分别为a、b、c
∴ ，即 ，则A选项不成立，B选项成立
，即 ，则C、D选项均不成立
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数进行计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示，根据视角的定义，建筑物 两端发出的光线在眼球内交叉的角为 ，
故答案为：A．
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角三角形ABD中，
AD= =10，
∴sin∠ABD= = ，
∵∠ACD=∠ABD，
∴sin∠ACD= ，
故答案为：D.
【分析】由直径所对的圆周角的直角可得∠ADB=90°，由勾股定理可得AD的长度，根据锐角三角函数可得sin∠ABD，根据圆周角定理可得∠ACD=∠ABD，进而根据等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接BC
∵每个小正方形的边长均为1
∴AB=，BC=，AC=
∵（）2+（）2=（）2
∴三角形ABC为直角三角形
∴cos∠BAC===
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合勾股定理，求出三角形三边的长度，继而由勾股定理的逆定理判断三角形ABC的形状，求出∠BAC的余弦值即可。
9．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意，
B. ，故该选项符合题意，
C. ，故该选项不符合题意，
D. ，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据网格特点分别求出各选项中tanα的值，然后判断即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ，设DC=4x，BD=3x，
（3x）2+（4x）2=102，
∵x>0，解得x=2，
∴BD=6，CD=8
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴ ，
∴ ，CD=8，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】在直角三角形BCD中，因为tanB=，所以可设DC=4x，BD=3x，结合已知用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则BD、CD的值可求解；由同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据等角的同名三角形函数值相等得tan∠ACD==，可求得AD的值.
11．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=+
=.
故答案为：.
【分析】代入三角函数特殊值，再通分即可求得结果.
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ；
∴该斜坡的坡度为：
故答案为： ．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算求解即可。
13．【答案】90°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin（x﹣30°）＝ ，
∴x﹣30°＝60°，
∴x＝90°，
故答案为：90°.
【分析】根据特殊角三函数值进行解答即可.
14．【答案】45m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：45m.
【分析】根据坡比i=可求解.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中，
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD的长.
16．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，由方格纸的特点可知，CD=4，BD=3.
∴tan∠ABC=
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，再根据三角函数的概念进行求解.
17．【答案】解：设 的长为 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
解得 .
答：孔子雕像的高度约为 .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设CD的长为xm，根据∠CAD=45°可得AD=CD，BD=(x-2.5)m，然后根据∠CBD的正切函数进行求解.
18．【答案】解：作 于点D在 中，
，
在 中，
，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据锐角三角函数先求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解。
19．【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，
由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝40°，∠BDF＝52.44°，
∴CM＝ 71.43（米），
DN＝ 46.15（米），
∴AB＝CD+DN﹣CM＝100+46.15﹣71.43≈74.7（米），
即A、B两点的距离是74.7米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB＝CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
20．【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m
在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD
在Rt△BDC中，由tan∠BCD= ，得
又∵BC-AB=AC，∴ ，∴
答：该古塔BD的高度 m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长.
21．【答案】解：∵BC＝6，sinA＝ ， ∴AB＝10， ∴AC＝ =8， ∵D是AB的中点， ∴AD＝ AB＝5， ∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：DE＝ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
22．【答案】解：作AD丄BC,垂足为D点
∵AB=AC，BC=20，
∴BD=CD= BC=10.
在Rt△ACD中，∠C=41°，
∴tan C=tan41°= ，
∴AD= ≈10×0.869 ≈8.7.
答：顶点A到BC边的距离是8.7米.
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】求A点到BC的距离，先作垂线，三角形ABC为等腰三角形，得出CD=BC，在 Rt△ACD 中，再根据三角函数值求出AD的长。
23．【答案】（1）解：cos30°－ +(－1)0
；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE= AB=1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂可以解答本题；(2)根据含30度角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理即可求得答案．
24．【答案】解： ⑵ 若 ，求 的长． 解：DF=7.2
（1） △ABE∽△ADF,理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵DF⊥AE
∴∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中，
∵∠B=∠AFD=90°，∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△ADF,
（2） 在Rt△ABE中，∵AB=6,BE=8,∴AE=10,
∵△ABE∽△ADF,
∴,即,
解得：DF=7.2
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°,AD∥BC,根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠AEB,然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ABE∽△ADF；（2）首先根据勾股定理算出AE的长，然后根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式列出方程即可求出DF的长。
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