2022年初中数学浙教版九年级下册第一章解直角三角形 章末检测——普通版
一、单选题
1．（2021九上·铁西期末）计算的值等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．（2021九上·皇姑期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·舞钢期末）在正方形网格中， ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·金塔期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2021九上·皇姑期末）如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：m）为（ ）
A．6.6 B．11.6 C． D．
8．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
9．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度
为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A．
B．
C．
D．
10．（2021九上·醴陵期末）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30海里 B．60海里
C．120海里 D．（30＋30）海里
二、填空题
11．（2021九上·舞钢期末）如图，已知Rt ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB ，则AC＝ .
12．（2021九上·大东期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 ．
13．（2021九上·建华期末）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为 ．
14．（2021九上·北京月考）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则tan ′的值为 ．
15．（2021九上·北京月考）如图，将矩形 沿 折叠，点B恰好落在 的F处，若 ，则 值为= ．
16．（2021九上·德阳月考）如图，在 和 中， ， ， ， ．则下列四个结论：① ；② ；③ ；④在 绕点 旋转过程中， 面积的最大值为 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、计算题
17．（2021九上·章丘月考）
（1）计算：
（2）已知是锐角，且，计算：．
四、解答题
18．（2021九上·舞钢期末）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度.（ ≈1.7）
19．（2021九上·安吉期末）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞．运载火箭从地面О处垂直地面发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.经过3秒后，火箭从点A直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45° .已知c，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：).
20．（2021九上·二道期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
21．（2021九上·铁西期末）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图，点A是岛上最西端“西钓鱼”，点B是岛上最东端“东钓角”，长约3641米，点D是岛上的有小黄鱼岛，且三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得，．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离（参考数据：，，，结果精确到1米）．
22．（2021九上·章丘月考）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
23．（2020八上·徐汇月考）如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60 ，O为原点坐标，求点B的坐标.
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α.
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M.
①如图②，当α＝90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值.（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据可得∠A=30°，再利用三角形的内角和可得∠B=60°，最后根据余弦的定义可得。
3．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
4．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，
∵AD=BD=4，∠ADB=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠B=45°
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，易得△ABD为等腰直角三角形，则∠B=45°，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.
5．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与 BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ， ，AB=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AC与BD交点为O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=4，BD=2OD，AB=AD，根据∠DAC的正切函数值可得OD，由勾股定理求出AD，接下来根据菱形的面积公式求出DH，进而可得点D到AB边的距离.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知米，．
∵，
∴在中，米．
∴米．
故答案为：D．
【分析】先利用锐角三角函数求出，再根据线段的和差可得。
8．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， = =
即
，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60海里，
在Rt△ACD中，AD＝AC＝30（海里），cos∠ACD＝，
∴CD＝AC cos∠ACD＝60×＝30（海里），
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30（海里），
∴AB＝AD+BD＝（30+30）海里，
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里.
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D，易得AD＝AC＝30（海里），根据∠ACD的余弦函数可得CD，由等腰直角三角形的性质可得CD＝BD＝30（海里），然后根据AB＝AD+BD进行计算.
11．【答案】5
【知识点】锐角三角函数的定义；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解： Rt ABC中，
故答案为：5.
【分析】根据同角的余角相等可得∠B=∠DAC，则cosB=cos∠DAC=，然后结合余弦函数的概念进行求解.
12．【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠BCF=90°，
∴∠H=∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC=DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE=90°，AE=EG，
∴∠EGH=90°，
∵AE=AD，
∴设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，
∴ED=2x，
∴EH=ED+DH=5x，
在Rt△EGH中，sin∠H=，
∴sin∠CBF=，
∵AB=CD=4，F为CD中点，
∴CF=2，
∴，
∴BF=10，经检验，符合题意，
∴BC==4，
故答案为：4．
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出∠A=∠BGE=90°，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=ED+DH=5x，由锐角三角函数的第一及勾股定理即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=10，
∴OC=OB=5，
∵CD⊥AB于点D，CD=4，
∴OD==3，
∴，
∴BC=，
∴sin∠BCD==．
故答案为：
【分析】先求出OC=OB=5，再利用勾股定理求出OD和BC的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ ，根据旋转特征 ，在三角形ABC中，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，则tan = tanB=
【分析】根据旋转的性质和锐角三角函数求解即可。
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 矩形 ， ，
设 则
故答案为：
【分析】先求出再利用锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】①②④
【知识点】点到直线的距离；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
， ， ，
， ， ， ，
， ，故①正确；
， ，
如图，记 与 、 分别交于 、 ，
， ，
，故②正确；
，
不一定等于 ，故③错误；
如图，过点 作 于 ，
， ，
到直线 的最大距离为 ，
面积的最大值为 ，故④正确．故答案为：①②④
【分析】①先证出∠BCE=∠ACD，再解直角三角形得出BC，CE的长，从而得出，即可得出△ACD∽△BCE；
②根据△ACD∽△BCE，得出∠EBC=∠DAC，从而得出∠BCG=∠BFA=90°，即可得出AD⊥BE；
③根据∠EBC=∠DAC，得出∠CBE+∠DAE=∠DAC+∠DAE=∠CAE，即可得出∠CBE+∠DAE不一定等于45°；
④过点C作CH⊥AB于H，根据30°角所对的边等于斜边的一半，得出CH=BC=cm，得出点D到直线AB的最大距离为（+1）cm，即可得出△ABD面积的最大值为（2+2）cm2.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：
则
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（2）利用负整数指数幂和特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
18．【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE= ，
∴AE= ≈51（米），
∵AB=57米，
∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF=BE=6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=6（米），
∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）.
答：教学楼BC的高度约为24米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，根据∠DAE的正切函数可得AE，则BE=AB-AE=6米，易得四边形BCFE为矩形，则CF=BE=6米，由等腰直角三角形的性质可得DF=CF=6米，然后根据BC=EF=DE-DF进行计算.
19．【答案】解：设火箭从到处的平均速度为米/秒，根据题意可知：，在Rt中，米，
米，
米，
米，
米，
在Rt中，，
米，
米，
，
解得(米/秒).
答：火箭从到处的平均速度约为335米/秒.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设火箭从到处的平均速度为米/秒 ，可表示出AB的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，根据OC=OD-CD可求出OC的长；再在Rt△BOC中，利用解直角三角形求出BO的长，根据OB=OC，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
20．【答案】解：过A作于E，
，
，
，
，
，
（米），
在中，，
（米），
米，
∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米．
（米）．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先求出CE的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
21．【答案】解：设米，在中，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得.
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离约为971米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先求出 ， 再列方程计算求解即可。
22．【答案】解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=，
∴PC=PA cos∠APC=40（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=，
∴PB==40≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
23．【答案】解：过点A作AM⊥y轴于点M.
∵OA与x轴的夹角为60°，
∴OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1，OM=2×cos30°= ，
故点A的坐标为(1， )；
过点C作CN⊥x轴于点N.
∵OC与x轴的夹角为30 ，
∴ON=2×cos30°= ，CN=2×sin30°=1，
故点C的坐标为( ，1).
设点B的坐标为(a，b)，
过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D，如图所示：
∵OB= ，BD=b 1，CD= +a，
∴ ，
解得：b= +1，a=1 ，
∴点B的坐标为(1 ， +1).
【知识点】点的坐标；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】 过点A作AM⊥y轴于点M ，利用三角函数求出AM的长，得到点A的坐标，再设点B的坐标为 (a，b)，过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D， 列出方程组求解即可。
24．【答案】解：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H.
∵∠HOA′＝α＝30°，
∴∠OHA′＝90°，
∴OH＝OA′ cos30°＝ ，B′H＝OB′ cos30°＝ ，
∴B′（ ， ）.
（Ⅱ）①∵OA＝OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB＝OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
显然△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，
∵OB′＝OA+AB′＝1+2AN＝ ，
∴MN＝AN＝ ，
∴M（ ， ）.
②如图③中，
∵∠AOA′＝∠BOB′，OA＝OA′，OB＝OB′，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝∠OBB′＝∠OB′B，
∵∠OAA′+∠OAM＝180°，
∴∠OBB′+∠OAM＝180°，
∴∠AOB+∠AMB＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，
当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值＝CO′﹣ AB＝ ﹣1.
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】 （Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H， 根据题意可知∠BAO=60°，根据旋转的性质得出 ∠HOA′＝α＝30°，∠BAO=∠A'=60°，根据三角形的内角和得出 ∠OHA′＝90°， 然后根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 OH＝OA′ cos30° ， B′H＝OB′ cos30° 分别算出OH,B'H的长，从而求出B'的坐标；
（2）①作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题；
②首先证明：点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值＝CO′﹣ AB＝ ﹣1。
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册第一章解直角三角形 章末检测——普通版
一、单选题
1．（2021九上·铁西期末）计算的值等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．（2021九上·皇姑期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据可得∠A=30°，再利用三角形的内角和可得∠B=60°，最后根据余弦的定义可得。
3．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
4．（2021九上·舞钢期末）在正方形网格中， ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，
∵AD=BD=4，∠ADB=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠B=45°
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，易得△ABD为等腰直角三角形，则∠B=45°，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.
5．（2021九上·金塔期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与 BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ， ，AB=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AC与BD交点为O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=4，BD=2OD，AB=AD，根据∠DAC的正切函数值可得OD，由勾股定理求出AD，接下来根据菱形的面积公式求出DH，进而可得点D到AB边的距离.
6．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
7．（2021九上·皇姑期末）如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：m）为（ ）
A．6.6 B．11.6 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知米，．
∵，
∴在中，米．
∴米．
故答案为：D．
【分析】先利用锐角三角函数求出，再根据线段的和差可得。
8．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
9．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度
为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， = =
即
，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
10．（2021九上·醴陵期末）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30海里 B．60海里
C．120海里 D．（30＋30）海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60海里，
在Rt△ACD中，AD＝AC＝30（海里），cos∠ACD＝，
∴CD＝AC cos∠ACD＝60×＝30（海里），
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30（海里），
∴AB＝AD+BD＝（30+30）海里，
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里.
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D，易得AD＝AC＝30（海里），根据∠ACD的余弦函数可得CD，由等腰直角三角形的性质可得CD＝BD＝30（海里），然后根据AB＝AD+BD进行计算.
二、填空题
11．（2021九上·舞钢期末）如图，已知Rt ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB ，则AC＝ .
【答案】5
【知识点】锐角三角函数的定义；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解： Rt ABC中，
故答案为：5.
【分析】根据同角的余角相等可得∠B=∠DAC，则cosB=cos∠DAC=，然后结合余弦函数的概念进行求解.
12．（2021九上·大东期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠BCF=90°，
∴∠H=∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC=DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A=∠BGE=90°，AE=EG，
∴∠EGH=90°，
∵AE=AD，
∴设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，
∴ED=2x，
∴EH=ED+DH=5x，
在Rt△EGH中，sin∠H=，
∴sin∠CBF=，
∵AB=CD=4，F为CD中点，
∴CF=2，
∴，
∴BF=10，经检验，符合题意，
∴BC==4，
故答案为：4．
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出∠A=∠BGE=90°，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=ED+DH=5x，由锐角三角函数的第一及勾股定理即可得出答案。
13．（2021九上·建华期末）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=10，
∴OC=OB=5，
∵CD⊥AB于点D，CD=4，
∴OD==3，
∴，
∴BC=，
∴sin∠BCD==．
故答案为：
【分析】先求出OC=OB=5，再利用勾股定理求出OD和BC的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
14．（2021九上·北京月考）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则tan ′的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ ，根据旋转特征 ，在三角形ABC中，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，则tan = tanB=
【分析】根据旋转的性质和锐角三角函数求解即可。
15．（2021九上·北京月考）如图，将矩形 沿 折叠，点B恰好落在 的F处，若 ，则 值为= ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 矩形 ， ，
设 则
故答案为：
【分析】先求出再利用锐角三角函数计算求解即可。
16．（2021九上·德阳月考）如图，在 和 中， ， ， ， ．则下列四个结论：① ；② ；③ ；④在 绕点 旋转过程中， 面积的最大值为 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】点到直线的距离；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
， ， ，
， ， ， ，
， ，故①正确；
， ，
如图，记 与 、 分别交于 、 ，
， ，
，故②正确；
，
不一定等于 ，故③错误；
如图，过点 作 于 ，
， ，
到直线 的最大距离为 ，
面积的最大值为 ，故④正确．故答案为：①②④
【分析】①先证出∠BCE=∠ACD，再解直角三角形得出BC，CE的长，从而得出，即可得出△ACD∽△BCE；
②根据△ACD∽△BCE，得出∠EBC=∠DAC，从而得出∠BCG=∠BFA=90°，即可得出AD⊥BE；
③根据∠EBC=∠DAC，得出∠CBE+∠DAE=∠DAC+∠DAE=∠CAE，即可得出∠CBE+∠DAE不一定等于45°；
④过点C作CH⊥AB于H，根据30°角所对的边等于斜边的一半，得出CH=BC=cm，得出点D到直线AB的最大距离为（+1）cm，即可得出△ABD面积的最大值为（2+2）cm2.
三、计算题
17．（2021九上·章丘月考）
（1）计算：
（2）已知是锐角，且，计算：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
则
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可；
（2）利用负整数指数幂和特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
四、解答题
18．（2021九上·舞钢期末）深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度.（ ≈1.7）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE= ，
∴AE= ≈51（米），
∵AB=57米，
∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF=BE=6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=6（米），
∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）.
答：教学楼BC的高度约为24米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，根据∠DAE的正切函数可得AE，则BE=AB-AE=6米，易得四边形BCFE为矩形，则CF=BE=6米，由等腰直角三角形的性质可得DF=CF=6米，然后根据BC=EF=DE-DF进行计算.
19．（2021九上·安吉期末）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞．运载火箭从地面О处垂直地面发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.经过3秒后，火箭从点A直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45° .已知c，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：).
【答案】解：设火箭从到处的平均速度为米/秒，根据题意可知：，在Rt中，米，
米，
米，
米，
米，
在Rt中，，
米，
米，
，
解得(米/秒).
答：火箭从到处的平均速度约为335米/秒.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设火箭从到处的平均速度为米/秒 ，可表示出AB的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，根据OC=OD-CD可求出OC的长；再在Rt△BOC中，利用解直角三角形求出BO的长，根据OB=OC，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
20．（2021九上·二道期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
【答案】解：过A作于E，
，
，
，
，
，
（米），
在中，，
（米），
米，
∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米．
（米）．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先求出CE的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
21．（2021九上·铁西期末）钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图，点A是岛上最西端“西钓鱼”，点B是岛上最东端“东钓角”，长约3641米，点D是岛上的有小黄鱼岛，且三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得，．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离（参考数据：，，，结果精确到1米）．
【答案】解：设米，在中，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得.
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离约为971米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先求出 ， 再列方程计算求解即可。
22．（2021九上·章丘月考）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
【答案】解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=，
∴PC=PA cos∠APC=40（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=，
∴PB==40≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
23．（2020八上·徐汇月考）如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60 ，O为原点坐标，求点B的坐标.
【答案】解：过点A作AM⊥y轴于点M.
∵OA与x轴的夹角为60°，
∴OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1，OM=2×cos30°= ，
故点A的坐标为(1， )；
过点C作CN⊥x轴于点N.
∵OC与x轴的夹角为30 ，
∴ON=2×cos30°= ，CN=2×sin30°=1，
故点C的坐标为( ，1).
设点B的坐标为(a，b)，
过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D，如图所示：
∵OB= ，BD=b 1，CD= +a，
∴ ，
解得：b= +1，a=1 ，
∴点B的坐标为(1 ， +1).
【知识点】点的坐标；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】 过点A作AM⊥y轴于点M ，利用三角函数求出AM的长，得到点A的坐标，再设点B的坐标为 (a，b)，过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D， 列出方程组求解即可。
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α.
（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M.
①如图②，当α＝90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值.（直接写出结果即可）
【答案】解：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H.
∵∠HOA′＝α＝30°，
∴∠OHA′＝90°，
∴OH＝OA′ cos30°＝ ，B′H＝OB′ cos30°＝ ，
∴B′（ ， ）.
（Ⅱ）①∵OA＝OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB＝OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
显然△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，
∵OB′＝OA+AB′＝1+2AN＝ ，
∴MN＝AN＝ ，
∴M（ ， ）.
②如图③中，
∵∠AOA′＝∠BOB′，OA＝OA′，OB＝OB′，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝∠OBB′＝∠OB′B，
∵∠OAA′+∠OAM＝180°，
∴∠OBB′+∠OAM＝180°，
∴∠AOB+∠AMB＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，
当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值＝CO′﹣ AB＝ ﹣1.
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】 （Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H， 根据题意可知∠BAO=60°，根据旋转的性质得出 ∠HOA′＝α＝30°，∠BAO=∠A'=60°，根据三角形的内角和得出 ∠OHA′＝90°， 然后根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 OH＝OA′ cos30° ， B′H＝OB′ cos30° 分别算出OH,B'H的长，从而求出B'的坐标；
（2）①作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解决问题；
②首先证明：点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值＝CO′﹣ AB＝ ﹣1。
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