2022年初中数学浙教版九年级下册2.2切线长定理 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021九下·渝中月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
2．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
3．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
4．（2020·杭州模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2.
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可得AC＝AP，BP＝BD，再根据线段的构成可得BP=AB-AP，于是可求解.
5．（2020九上·兴安盟期末）下列命题中，正确有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形的对角相等；
④圆的切线垂直于过切点的半径；
⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①不符合题意；
三角形的三个顶点确定一个圆，所以②符合题意；
圆内接四边形的对角互补，所以③不符合题意；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以④符合题意；
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】对于①要注意当“弦”是直径时是否满足；根据不在同一直线上的三点确定一个圆对②进行判断；对于③根据圆内接四边形的性质进行判断；对于④根据切线的性质分析；对于⑤根据切线长性质判断.
6．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
二、填空题
7．（2018·资中模拟）PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB= cm．
【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】根据切线长定理得：
故答案为：3.
【分析】根据切线长定理即可求解。
8．（2020九上·福山月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为 ．
【答案】10cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】由题可得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
【分析】先根据切线长定理求出AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，再利用△PDE的周长为20cm，进行求解即可。
9．（2020·吴江模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为 .
【答案】14
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵BE+CE=BC=5，
∴BD+CF=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
10．（2019·顺德模拟）如图，⊙O的半径为4，点P到圆心的距离为8，过点P画⊙O的两条切线PA和PB，A，B为切点，则阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝90°，
∴PA＝ ，∠OPA＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积＝ ×4×4 ×2﹣ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接OP，观察图像可知阴影部分的面积是两个三角形面积和一个扇形面积之差，PA是圆的切线故PA⊥OA，根据勾股定理可计算出AP，并求出△AOP的面积，同理可求出△BOP的面积，在计算之中不难发现△AOP是一个含30°的直角三角形，则扇形AOB的圆心角是120°，以此可求出扇形的面积，最后算出阴影部分面积。
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
三、解答题
12．（2021九上·阳信期中）如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
13．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
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一、单选题
1．（2021九下·渝中月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
2．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
4．（2020·杭州模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2020九上·兴安盟期末）下列命题中，正确有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形的对角相等；
④圆的切线垂直于过切点的半径；
⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
二、填空题
7．（2018·资中模拟）PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB= cm．
8．（2020九上·福山月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为 ．
9．（2020·吴江模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为 .
10．（2019·顺德模拟）如图，⊙O的半径为4，点P到圆心的距离为8，过点P画⊙O的两条切线PA和PB，A，B为切点，则阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
三、解答题
12．（2021九上·阳信期中）如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
13．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
2．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
3．【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
4．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2.
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可得AC＝AP，BP＝BD，再根据线段的构成可得BP=AB-AP，于是可求解.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①不符合题意；
三角形的三个顶点确定一个圆，所以②符合题意；
圆内接四边形的对角互补，所以③不符合题意；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以④符合题意；
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】对于①要注意当“弦”是直径时是否满足；根据不在同一直线上的三点确定一个圆对②进行判断；对于③根据圆内接四边形的性质进行判断；对于④根据切线的性质分析；对于⑤根据切线长性质判断.
6．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
7．【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】根据切线长定理得：
故答案为：3.
【分析】根据切线长定理即可求解。
8．【答案】10cm
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】由题可得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
【分析】先根据切线长定理求出AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，再利用△PDE的周长为20cm，进行求解即可。
9．【答案】14
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵BE+CE=BC=5，
∴BD+CF=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝90°，
∴PA＝ ，∠OPA＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积＝ ×4×4 ×2﹣ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接OP，观察图像可知阴影部分的面积是两个三角形面积和一个扇形面积之差，PA是圆的切线故PA⊥OA，根据勾股定理可计算出AP，并求出△AOP的面积，同理可求出△BOP的面积，在计算之中不难发现△AOP是一个含30°的直角三角形，则扇形AOB的圆心角是120°，以此可求出扇形的面积，最后算出阴影部分面积。
11．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据 DA、DC是圆O的切线， 得出DA=DC，同理可得EC=EB，再根据周长公式求解即可。
13．【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
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