2022年初中数学浙教版九年级下册2.2切线长定理 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021九上·虎林期末）如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，先利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB =120°，再利用四边形的内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
2．（2021九上·北京月考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠AOB=∠OCB+∠OBC，最后计算求解即可。
3．（2021九上·鲅鱼圈期中）如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． 为等腰三角形
B． 与 相互垂直平分
C．点A，B都在以 为直径的圆上
D． 为 的边 上的中线
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴ 为等腰三角形，故A符合题意；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以 为直径的圆上，故C符合题意；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴ 为 的边 上的中线，故D符合题意；
无法证明 与 相互垂直平分，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出∠OBP=∠OAP=90°，再根据全等三角形的判定与性质求解即可。
4．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
5．（2021·泸县）如图， 的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与 相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，利用已知易证四边形ABGD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BG，AB=DG=8，利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10，可求出BC的长；利用AAS证明△HAO≌△BCO，利用全等三角形的对应边相等，求出AD，HD的长；然后利用勾股定理求出BD的长，由AD∥BC，可证得△DHF∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出BF的长.
二、填空题
6．（2021九上·通榆期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 度．
【答案】60
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再计算求解即可。
7．（2021九上·郯城期中）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm．
【答案】5
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
【分析】先求出PA=PB，再求出DE=DA，CE=CB，最后求解即可。
8．（2021九上·长沙月考）如图，已知 ， 分别切⊙O于A、B， 切⊙O于E，若 ， ，则△ 周长为 .
【答案】24
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝ ，
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB.
∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，
∴△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24.
故答案为：24.
【分析】由切线的性质可得PA⊥OA，由勾股定理求出PA，由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DE，CE＝CB，推出△PCD的周长＝2PA，据此求解.
9．（2021·北京）如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ．
【答案】130°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【分析】根据切线的性质可得，再利用四边形的内角和求解即可。
10．（2021·老河口模拟）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
【答案】65°或115°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
三、综合题
11．（2021九上·芜湖月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD= ∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD和CD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD.
∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°.
∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠ABC.
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD= ∠ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=
∵OC⊥CB，∴BC为切线，∴BD＝BC＝6，∴AD＝4.
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OC＝3.
如图，连接OB交CD于H.
∵OC＝OD，BC＝BD，∴OB垂直平分CD.
在Rt△OCB中，OB=
∴CD＝2CH=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得出∠ODB＝90°，从而得出∠AOD＝∠ABC，根据圆周角定理得出∠AOD＝2∠ACD，即可得出∠ACD=∠ABC；
（2）根据切线长定理得出BD＝BC＝6，得出AD＝4，设⊙O的半径为r，得出OD＝r，OA=8-r，再根据勾股定理列出方程，解方程求出r的长，连接OB交CD于H，求出OB的长，再根据等积法得出CH的长，利用CD＝2CH，即可得出CD的长.
12．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB CD，BO＝6cm．CO＝8cm，
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BO⊥CO；
（2）解：由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝ ＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴OF＝ ＝4.8cm．
【知识点】三角形的面积；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，由AB∥CD，得出∠ABC+∠BCD＝180°，根据切线长定理得出∠OBE+∠OCF＝90°，从而证得∠BOC＝90°，从而得出结论；
（2）根据勾股定理求得BC的长，再根据OF⊥BC，即可得出OF的长。
13．（2020·广元）在 中， ，OA平分 交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为 的切线；
（2）如图2，AB与 相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若 ，求 的值．
【答案】（1）证明：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分 交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在 上，
即AB与 相切；
（2）解：①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与 相切于点E，AC与 相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵ ，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF= ，则CF= ，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴ ，即 ，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴ ，设BO=x，BE=y，
则 ，
可得： ，
解得： ，即BO=5，BE=4，
∴tanB= = .
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据 求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到 ，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册2.2切线长定理 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021九上·虎林期末）如图PA、PB分别与⊙O相切于A．B两点，点C为⊙O上一点，连接AC．BC，若∠ACB=60°，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
2．（2021九上·北京月考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
3．（2021九上·鲅鱼圈期中）如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． 为等腰三角形
B． 与 相互垂直平分
C．点A，B都在以 为直径的圆上
D． 为 的边 上的中线
4．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2021·泸县）如图， 的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与 相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021九上·通榆期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 度．
7．（2021九上·郯城期中）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm．
8．（2021九上·长沙月考）如图，已知 ， 分别切⊙O于A、B， 切⊙O于E，若 ， ，则△ 周长为 .
9．（2021·北京）如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ．
10．（2021·老河口模拟）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
三、综合题
11．（2021九上·芜湖月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD= ∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD和CD的长．
12．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB CD，BO＝6cm．CO＝8cm，
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求⊙O的半径．
13．（2020·广元）在 中， ，OA平分 交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为 的切线；
（2）如图2，AB与 相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB =120°，
又∵PA．PB分别与相切于A．B两点，
∴，
∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，先利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB =120°，再利用四边形的内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
2．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠AOB=∠OCB+∠OBC，最后计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴ 为等腰三角形，故A符合题意；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以 为直径的圆上，故C符合题意；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴ 为 的边 上的中线，故D符合题意；
无法证明 与 相互垂直平分，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出∠OBP=∠OAP=90°，再根据全等三角形的判定与性质求解即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
5．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，利用已知易证四边形ABGD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BG，AB=DG=8，利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10，可求出BC的长；利用AAS证明△HAO≌△BCO，利用全等三角形的对应边相等，求出AD，HD的长；然后利用勾股定理求出BD的长，由AD∥BC，可证得△DHF∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出BF的长.
6．【答案】60
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再计算求解即可。
7．【答案】5
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
【分析】先求出PA=PB，再求出DE=DA，CE=CB，最后求解即可。
8．【答案】24
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝ ，
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB.
∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，
∴△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24.
故答案为：24.
【分析】由切线的性质可得PA⊥OA，由勾股定理求出PA，由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DE，CE＝CB，推出△PCD的周长＝2PA，据此求解.
9．【答案】130°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【分析】根据切线的性质可得，再利用四边形的内角和求解即可。
10．【答案】65°或115°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
11．【答案】（1）证明：如图，连接OD.
∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠COD＝180°.
∵∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠ABC.
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD= ∠ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=
∵OC⊥CB，∴BC为切线，∴BD＝BC＝6，∴AD＝4.
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OC＝3.
如图，连接OB交CD于H.
∵OC＝OD，BC＝BD，∴OB垂直平分CD.
在Rt△OCB中，OB=
∴CD＝2CH=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得出∠ODB＝90°，从而得出∠AOD＝∠ABC，根据圆周角定理得出∠AOD＝2∠ACD，即可得出∠ACD=∠ABC；
（2）根据切线长定理得出BD＝BC＝6，得出AD＝4，设⊙O的半径为r，得出OD＝r，OA=8-r，再根据勾股定理列出方程，解方程求出r的长，连接OB交CD于H，求出OB的长，再根据等积法得出CH的长，利用CD＝2CH，即可得出CD的长.
12．【答案】（1）证明：连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BO⊥CO；
（2）解：由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝ ＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴OF＝ ＝4.8cm．
【知识点】三角形的面积；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，由AB∥CD，得出∠ABC+∠BCD＝180°，根据切线长定理得出∠OBE+∠OCF＝90°，从而证得∠BOC＝90°，从而得出结论；
（2）根据勾股定理求得BC的长，再根据OF⊥BC，即可得出OF的长。
13．【答案】（1）证明：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分 交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在 上，
即AB与 相切；
（2）解：①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与 相切于点E，AC与 相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵ ，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF= ，则CF= ，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴ ，即 ，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴ ，设BO=x，BE=y，
则 ，
可得： ，
解得： ，即BO=5，BE=4，
∴tanB= = .
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据 求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到 ，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.
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