2022年初中数学浙教版九年级下册2.3三角形的内切圆 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021九上·鄞州月考）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
2．（2021九上·长沙期中）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·安次模拟）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九下·射洪月考）下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
5．（2020九上·西安期末）下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
二、填空题
6．（2019九上·遵义月考）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 .
7．（2019九上·新泰月考）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= ．
8．（2019九上·东台月考）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为 ．
9．（2019九上·莘县期中）已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为 ．
10．（2019九上·镇江期末）小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆 阴影 区域的概率为 .
三、解答题
11．（2021·绍兴模拟）如图，在 的正方形网格中，有部分网格线被擦去.点 ， ， 在格点（正方形网格的交点）上.
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形 的外心 ；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形 的内心 .
12．（2021九上·原州期末）已知：如图，点 是△ 的内心， 的延长线和△ 的外接圆相交于点 .求证： .
13．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，
∴
∵点I是 的内心，
∴
即
∠BIC 107.5°
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解.
2．【答案】B
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确；②对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③一组邻边相等的矩形是正方形，正确；④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，错误．
综上，正确的是①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质判断①；根据菱形的判定定理判断②；根据正方形的判定定理判断③；根据三角形内心的定义判断④ .
3．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为 的内心，
故答案为：C．
【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。
4．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；正多边形的性质
【解析】【解答】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2倍，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径和三角形的一边的一半构成以内切圆的半径为一条直角边、以外接圆半径为斜边的直角三角形，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2；
B、由正六边形的性质可知正六边形的边长与外接圆的半径构成等边三角形，所以正六边形的边长等于其外接圆的半径；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的倍；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形.
5．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A选项正确，B、C、D选项均错误，
故答案为：A.
【分析】 由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析个选项即可求解．
6．【答案】1：2：3
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r.
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3.
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.
故答案为：1：2：3.
【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比.
7．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，
∵AE=2，CD=1，BF=3，
∴AF=2，EC=1，BD=3，
∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径r= =1，
故答案为1．
【分析】根据切线长定理得出AF=AE，EC=CD，DB=BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出△ABC是直角三角形是解题关键．
8．【答案】2或 -1
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】若8是直角边，则该三角形的斜边的长为： ，
∴内切圆的半径为： ；
若8是斜边，则该三角形的另一条直角边的长为： ，
∴内切圆的半径为： .
故答案为2或 -1.
【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可.
9．【答案】5：2
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】由在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，利用勾股定理即可求得斜边AB的长，又由△ABC的外接圆的直径是其斜边，即可求得△ABC的外接圆半径长；由△ABC的面积等于其周长与其内切圆半径长的积的一半，即可得（8+6+10）r=6×8，则可求得△ABC的内切圆半径长．从而可求出外接圆的半径与内切圆半径的比.
试题解析：∵在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴ （cm），
∴△ABC的外接圆半径长为5cm；
设△ABC的内切圆半径长为rcm，
∵ （AC+BC+AB） r= AC BC，
∴（8+6+10）r=6×8，
解得：r=2，
故△ABC的内切圆半径长为2cm．
所以它的外接圆的半径与内切圆半径的比为5：2
【分析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再根据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
10．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵大三角形是正三角形，∴∠CAB=60°.
∵正三角形的边长为6，∴AB 6=3.
∵⊙O是内切圆，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，∴BO=ABtan30°=3 ，则正三角形的面积是 62=9 ，而圆的半径是 ，面积是π （ ）2=3π，因此概率是 π.
故答案为： π.
【分析】由题意知， 针扎到其内切圆 阴影 区域的概率就是内切圆的面积与三角形面积的比可求解.
11．【答案】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求.
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点可求解；
（2）由网格图的特征和三角形内心的定义可求解.
12．【答案】解：连接 ，
∵点 是△ 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BE，利用三角形的内心定义可知∠1=∠5，∠3=∠4，再利用三角形的外角的性质去证明∠EBD=∠BED，然后根据等角对等边可证得结论.
13．【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册2.3三角形的内切圆 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021九上·鄞州月考）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，
∴
∵点I是 的内心，
∴
即
∠BIC 107.5°
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解.
2．（2021九上·长沙期中）下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确；②对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③一组邻边相等的矩形是正方形，正确；④三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，错误．
综上，正确的是①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质判断①；根据菱形的判定定理判断②；根据正方形的判定定理判断③；根据三角形内心的定义判断④ .
3．（2021·安次模拟）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为 的内心，
故答案为：C．
【分析】三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，即可求解。
4．（2021九下·射洪月考）下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；正多边形的性质
【解析】【解答】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2倍，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径和三角形的一边的一半构成以内切圆的半径为一条直角边、以外接圆半径为斜边的直角三角形，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2；
B、由正六边形的性质可知正六边形的边长与外接圆的半径构成等边三角形，所以正六边形的边长等于其外接圆的半径；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的倍；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形.
5．（2020九上·西安期末）下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A选项正确，B、C、D选项均错误，
故答案为：A.
【分析】 由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析个选项即可求解．
二、填空题
6．（2019九上·遵义月考）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 .
【答案】1：2：3
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r.
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3.
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.
故答案为：1：2：3.
【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比.
7．（2019九上·新泰月考）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= ．
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，
∵AE=2，CD=1，BF=3，
∴AF=2，EC=1，BD=3，
∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径r= =1，
故答案为1．
【分析】根据切线长定理得出AF=AE，EC=CD，DB=BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出△ABC是直角三角形是解题关键．
8．（2019九上·东台月考）若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为 ．
【答案】2或 -1
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】若8是直角边，则该三角形的斜边的长为： ，
∴内切圆的半径为： ；
若8是斜边，则该三角形的另一条直角边的长为： ，
∴内切圆的半径为： .
故答案为2或 -1.
【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可.
9．（2019九上·莘县期中）已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为 ．
【答案】5：2
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】由在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，利用勾股定理即可求得斜边AB的长，又由△ABC的外接圆的直径是其斜边，即可求得△ABC的外接圆半径长；由△ABC的面积等于其周长与其内切圆半径长的积的一半，即可得（8+6+10）r=6×8，则可求得△ABC的内切圆半径长．从而可求出外接圆的半径与内切圆半径的比.
试题解析：∵在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴ （cm），
∴△ABC的外接圆半径长为5cm；
设△ABC的内切圆半径长为rcm，
∵ （AC+BC+AB） r= AC BC，
∴（8+6+10）r=6×8，
解得：r=2，
故△ABC的内切圆半径长为2cm．
所以它的外接圆的半径与内切圆半径的比为5：2
【分析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再根据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
10．（2019九上·镇江期末）小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆 阴影 区域的概率为 .
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵大三角形是正三角形，∴∠CAB=60°.
∵正三角形的边长为6，∴AB 6=3.
∵⊙O是内切圆，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，∴BO=ABtan30°=3 ，则正三角形的面积是 62=9 ，而圆的半径是 ，面积是π （ ）2=3π，因此概率是 π.
故答案为： π.
【分析】由题意知， 针扎到其内切圆 阴影 区域的概率就是内切圆的面积与三角形面积的比可求解.
三、解答题
11．（2021·绍兴模拟）如图，在 的正方形网格中，有部分网格线被擦去.点 ， ， 在格点（正方形网格的交点）上.
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形 的外心 ；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形 的内心 .
【答案】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求.
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点可求解；
（2）由网格图的特征和三角形内心的定义可求解.
12．（2021九上·原州期末）已知：如图，点 是△ 的内心， 的延长线和△ 的外接圆相交于点 .求证： .
【答案】解：连接 ，
∵点 是△ 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BE，利用三角形的内心定义可知∠1=∠5，∠3=∠4，再利用三角形的外角的性质去证明∠EBD=∠BED，然后根据等角对等边可证得结论.
13．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．
【答案】解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180° 45° 105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】先根据圆 O内切于△ABC，得出∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，再根据∠ACB=90°，求出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OBC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC的长。
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