2022年初中数学浙教版九年级下册2.3三角形的内切圆 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·灌云期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A． ABC 的三条中线的交点
B． ABC 三边的垂直平分线线的交点
C． ABC 三条角平分线的交点
D． ABC 三条高所在直线的交点
2．（2021九上·罗庄期中）如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九下·武汉月考）如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·呼和浩特月考）如图， 中， ，点 是 的内心，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·翁牛特旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．115° D．130°
二、填空题
6．（2021·石家庄月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
7．（2021·立山模拟）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是 ．
8．（2020·呼和浩特模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是△ABC的内心，则点I的坐标为 ；点I关于原点对称的点的坐标为 ．
9．（2021九上·南宁期末）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为 cm.
10．（2021九下·自贡开学考）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
三、综合题
11．（2021九上·福州月考）如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°.
（1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB= °；②BD= .
12．（2021九上·临江期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
13．（2021·毕节）如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DB的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：C.
【分析】内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，依此即可作答.
2．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，如图：
在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则 ，
∴ ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为：C．
【分析】连接OD，设半径为r，则 ，得出 ，四边形CEOF是正方形；由切线长定理，则 ， ，列出方程解得出x的值即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
4．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据∠A=80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=70°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC=35°，∠OCB= ∠ACB=35°，
∴∠OBC+∠OCB=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=110°．
故答案为：B．
【分析】根据内心的定义即可求得∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理即可求解．
6．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝ ＝2 ，
∴点A到圆上的最近距离为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
7．【答案】60°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝360°-∠BEO-∠BFO =360°-180°=180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝ ∠EOF＝60°．
故答案为60°．
【分析】连接OE、OF，由⊙O是等边△ABC的内切圆，得到OE⊥AB，OF⊥BC，∠BEO＝∠BFO＝90°，∠B+∠EOF＝180°，由△ABC为等边三角形，∠B＝60°，得到∠EOF的度数，即得到∠EPF的度数。
8．【答案】（3，2）；（-3，-2）
【知识点】三角形的内切圆与内心；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，
∴BC=4，AC=3，则AB=5，
∵点I是△ABC的内心，
∴点I到△ABC各边距离相等，等于△ABC内切圆的半径，
∴IF＝ 故点I到AC，BC的距离都是1，
则AE＝1，
故IE＝3－1＝2，OE＝4－1＝3
∴点I坐标为（3，2）
点I关于原点对称的点的坐标为(-3，-2) ．
故答案为：（3，2）；（-3，-2）
【分析】先根据点的坐标求出 BC=4，AC=3，则AB=5，再求出AE＝1，最后作答即可。
9．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，所以该直角三角形的斜边长为10cm，
则这个三角形的内切圆的半径= =2（cm）.
故答案为：2.
【分析】先由勾股定理算出斜边的长，再由直角三角形内切圆半径r=(a，b为直角边，c为斜边）计算即可.
10．【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x，
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82，
整理得，x2+8x-5=0，
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
【分析】利用切线长定理得出求出AF和BE的长，CE=CF，设EF=CE=x， 根据勾股定理列方程求解，则可求出AC、BC的长，最后求面积即可.
11．【答案】（1）解：如图所示：⊙O即为所求；
（2）135；6
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）解：由作图知，OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB= ∠CAB、∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA= (∠CAB+∠CBA)，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= =10，
∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，
设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，
∵AF+CF=AC=6，
∴10-x+8-x=6，
解得：x=6，
故答案为：135；6.
【分析】（1）分别作∠A、∠B的角的平分线，它们的交点即为圆心O，然后过点O作AB的垂线，确定半径，从而作出内切圆即可；
（2）由角平分线的定义及三角形的内角和求出∠AOB的度数，利用勾股定理求出AB，由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，根据AF+CF=AC=6列出方程求出x即可.
12．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
13．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD，
∴∠DBF=∠DAB.
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB.
∴ ，
∵DE=DB，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内心可得∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论可得∠DBC
=∠CAD，即得∠DBC=∠BAE， 从而求出∠DBE=∠DEB，可得DE=BD；
（2）证明△DBF∽△DAB，可得，据此可求出EF，由于DE=DF+EF=6，即得BD=DE=6.
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册2.3三角形的内切圆 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·灌云期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A． ABC 的三条中线的交点
B． ABC 三边的垂直平分线线的交点
C． ABC 三条角平分线的交点
D． ABC 三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：C.
【分析】内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，依此即可作答.
2．（2021九上·罗庄期中）如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，如图：
在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则 ，
∴ ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为：C．
【分析】连接OD，设半径为r，则 ，得出 ，四边形CEOF是正方形；由切线长定理，则 ， ，列出方程解得出x的值即可得出答案。
3．（2021九下·武汉月考）如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
4．（2021九上·呼和浩特月考）如图， 中， ，点 是 的内心，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据∠A=80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可。
5．（2020九上·翁牛特旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．115° D．130°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=70°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC=35°，∠OCB= ∠ACB=35°，
∴∠OBC+∠OCB=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=110°．
故答案为：B．
【分析】根据内心的定义即可求得∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理即可求解．
二、填空题
6．（2021·石家庄月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝ ＝2 ，
∴点A到圆上的最近距离为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
7．（2021·立山模拟）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是 ．
【答案】60°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝360°-∠BEO-∠BFO =360°-180°=180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝ ∠EOF＝60°．
故答案为60°．
【分析】连接OE、OF，由⊙O是等边△ABC的内切圆，得到OE⊥AB，OF⊥BC，∠BEO＝∠BFO＝90°，∠B+∠EOF＝180°，由△ABC为等边三角形，∠B＝60°，得到∠EOF的度数，即得到∠EPF的度数。
8．（2020·呼和浩特模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是△ABC的内心，则点I的坐标为 ；点I关于原点对称的点的坐标为 ．
【答案】（3，2）；（-3，-2）
【知识点】三角形的内切圆与内心；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，
∴BC=4，AC=3，则AB=5，
∵点I是△ABC的内心，
∴点I到△ABC各边距离相等，等于△ABC内切圆的半径，
∴IF＝ 故点I到AC，BC的距离都是1，
则AE＝1，
故IE＝3－1＝2，OE＝4－1＝3
∴点I坐标为（3，2）
点I关于原点对称的点的坐标为(-3，-2) ．
故答案为：（3，2）；（-3，-2）
【分析】先根据点的坐标求出 BC=4，AC=3，则AB=5，再求出AE＝1，最后作答即可。
9．（2021九上·南宁期末）一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为 cm.
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm，所以该直角三角形的斜边长为10cm，
则这个三角形的内切圆的半径= =2（cm）.
故答案为：2.
【分析】先由勾股定理算出斜边的长，再由直角三角形内切圆半径r=(a，b为直角边，c为斜边）计算即可.
10．（2021九下·自贡开学考）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
【答案】15
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x，
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82，
整理得，x2+8x-5=0，
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
【分析】利用切线长定理得出求出AF和BE的长，CE=CF，设EF=CE=x， 根据勾股定理列方程求解，则可求出AC、BC的长，最后求面积即可.
三、综合题
11．（2021九上·福州月考）如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°.
（1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB= °；②BD= .
【答案】（1）解：如图所示：⊙O即为所求；
（2）135；6
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）解：由作图知，OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
∴∠OAB= ∠CAB、∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA= (∠CAB+∠CBA)，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)= 135°；
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= =10，
∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，
设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，
∵AF+CF=AC=6，
∴10-x+8-x=6，
解得：x=6，
故答案为：135；6.
【分析】（1）分别作∠A、∠B的角的平分线，它们的交点即为圆心O，然后过点O作AB的垂线，确定半径，从而作出内切圆即可；
（2）由角平分线的定义及三角形的内角和求出∠AOB的度数，利用勾股定理求出AB，由切线长定理得AD=AF，CF=CE，BD=BE，设BD=BE=x，则AD=AF=10-x，CF=CE=8-x，根据AF+CF=AC=6列出方程求出x即可.
12．（2021九上·临江期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
13．（2021·毕节）如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DB的长.
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD，
∴∠DBF=∠DAB.
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB.
∴ ，
∵DE=DB，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内心可得∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论可得∠DBC
=∠CAD，即得∠DBC=∠BAE， 从而求出∠DBE=∠DEB，可得DE=BD；
（2）证明△DBF∽△DAB，可得，据此可求出EF，由于DE=DF+EF=6，即得BD=DE=6.
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