2022年初中数学浙教版九年级下册第二章直线与圆的位置关系 章末检测——普通版
一、单选题
1．（2021·嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．（2021九上·平原月考）一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ；连接 ，若 ，则 等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．（2021·永嘉模拟）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则弧AB的度数为（ ）
A．100° B．115° C．120° D．130°
7．（2021九下·广州开学考）如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
8．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
9．（2021九上·宜兴期中）如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2021·贡井模拟）如图所示，在Rt 中， ， ， ，点 为 上的点， 的半径 ，点 是 边上的动点，过点 作⊙ 的一条切线 （点 为切点），则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
11．（2021九上·永年月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
12．（2021九上·巢湖月考）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．
13．（2021九上·拜泉期中）如图， 是 的切线，切点为 是 的直径， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
14．（2021九上·陵城期中）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心， BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与⊙O相切．
15．（2021九上·哈尔滨开学考）如图， 切 于点 ，直径 的延长线交 于点 ， ， ， 的正切值为 ．
16．（2021九上·平阳期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以顶点C为圆心，BC长为半径画圆弧BH，过AB中点P作弧BH的切线PE，E为切点，连接AE并延长交CD于点F，则tan∠DAF的数值为 .
三、解答题
17．（2021·椒江模拟）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
求证：AC是⊙O的切线．
18．（2020九上·白云期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
19．（2021九上·自贡期末）如图，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C， 的长为 ，求线段AB的长.
20．（2021九上·陵城月考）如图，是的外接圆，圆心O在上，且，M是上一点，过M作的垂线交于点N，交的延长线于点E，直线交于点F，．
（1）求证：是的切线．
（2）设的半径为2，且，求的长．
21．（2021·雅安）如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 .
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 半径为3， ，求 .
22．（2021·贵港）如图，⊙O是 ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长.
23．（2021九上·商城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长.
24．（2021·苍南模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD//AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC BE＝64，求BG的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵r=2，∴OA=3>r，∴A点在圆外，
∵OB=2=r，∴B点在圆上，
∴当OB⊥AB时，AB与 ⊙O 相切，当OB与AB不垂直时，AB与 ⊙O相交，
故答案为：D.
【分析】先根据点与圆的位置关系判断出A在圆外，B在圆上，然后根据直线与圆的位置关系分两种情况分析即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴
，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故答案为：B．
【分析】先求出再求出，最后计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】连接 ，过 点作 ，此时 点坐标可表示为 ，从而求出OC、BC、OB，证明 ，可得，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】 切 于点 ，
故答案为：B.
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得∠PAO=90°，结合已知根据直角三角形两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据圆周角定理即可求解.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵OA为切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠AOP=90°-∠P=50°，
∴∠AOB=180°-∠AOP=130°，
故答案为：D.
【分析】连接OA，由切线的性质得∠PAO=90°，然后由直角三角形的性质求出∠AOP，则由补角的性质即可求出∠AOB，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
9．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ，如下图：
∴ ，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点 和 之间
直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，即
∵
∴
∴ ，即
∴符合题意要求的点P坐标为： ， ， ， ， ， ，
∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7.
故答案为：C.
【分析】⊙P沿x轴向左移动，分别与直线AB相切于点M、N，且圆心分别为点P1、P2，则MP1=NP2=OP=2，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点A、B的坐标，求出AO、BO的值，根据tan∠OAB的值可得∠OAB的度数，求出AP1，OP1，得到点P1的坐标，同理可得P2的坐标，据此解答.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OD，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO=90°，
∴DE2+OE2=OD2，
∵OE=1，
∴DE2=OD2-1，即DE= ，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上的动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴ ，即 ，
解得：OD=4，
∴DE= = .
故答案为：B.
【分析】连接OE、OD，由勾股定理可得BC，根据切线的性质可得∠DEO=90°，由勾股定理表示出DE，可知要使DE最小，则OD最小即可，当OD⊥AB时，OD最小，证明△BDO∽△BCA，由相似三角形的性质求出OD，然后由勾股定理就可得到DE.
11．【答案】4 cm
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设AF=acm，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，
∵BD+CD=BC=14cm，
∴（9-a）+（13-a）=14，
解得：a=4，
即AF=4cm．
故答案为4cm.
【分析】先求出AF=AE，CE=CD，BF=BD，再求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，最后计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=4 ，
∵ BC AD= （AB+BC+AC） r，
×5×4 = ×20×r，
∴r= ，
故答案为：
【分析】先求出AD=4 ，再求出 BC AD= （AB+BC+AC） r，最后计算求解即可。
13．【答案】80°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 是 的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：80°．
【分析】先求出，再求出∠B=40°，最后计算求解即可。
14．【答案】60或120
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D，
∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°，
∴ ，即OD为圆O的半径，
∴BE与圆O相切，
同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线，
故答案为：60或120．
【分析】先求出，再求出OD为圆O的半径，最后求解即可。
15．【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
设半径OA=OC=x，则 ，
∵ 切 于点 ，
∴∠OAP=90°，
∵在Rt OAP中， ，
∴ ，
解得： ，
∴OA=8，
∴在Rt OAP中， ，
故答案为： ．
【分析】连接OA，先利用切线的性质得∠OAP=90°，然后通过勾股定理可求得半径，最后在Rt OAP中，利用正切的定义求解即可。
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CE、CP和BE，
∵PE和BC是圆C的切线，
∵PE=PB，
∵BC=BE，
∴CP是BE的垂直平分线，
∴CP⊥BE，
∵PA=PB=PE，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
∴AF∥BC，
∵AP∥FC，
∴四边形APCF是平行四边形，
∴FC=AP=2，
∴FD=CD-FC=8-4=4，
∴tan∠DAF===.
故答案为：.
【分析】连接CE、CP和BE，根据切线长定理得出PE=PB，结合BC=BH，可得CP是BE的垂直平分线，得到CP⊥BE，再由PA=PB=PE，证出BE⊥AF，从而求出AF∥BC，结合AP∥FC，求得四边形APCF是平行四边形，则可求出FC长，然后由线段的和差关系求出FD长，最后根据三角形函数定义计算即可.
17．【答案】证明：如图，过点О作 OE⊥AC，垂足为E，连接OD ， OA
∵OO与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，О是底边BC的中点，
AO是∠BAC的平分线
∴OE=OD，即OE是OO的半径
这样，AC经过OO的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与OO相切.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】过点О作 OE⊥AC，垂足为E，连接OD ， OA ，利用切线的性质可证得OD⊥AB，利用等腰三角形的性质可知AO平分∠BAC，利用角平分线的性质可证得OE=OD；然后根据切线的判定定理，可证得结论.
18．【答案】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；切线长定理
【解析】【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．
19．【答案】依题意知，OC⊥AC.
∴∠ACO=90°；∠AOC= ，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴OA= ，
∴AB=AO-OB=16-8=8cm
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】依题意知：OC⊥AC，根据的长可得∠AOC=60°，结合内角和定理可得∠A=30°，则OA=2OC=16cm，接下来根据AB=AO-OB进行计算即可.
20．【答案】（1）证明：连接，如图，
是的外接圆，圆心O在上，
是的直径，
，
又，
，，
，
，
在中，，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据证明圆的切线的方法证明求解即可；
（2）先求出CE的值，再求出BM的值，最后计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴
解得
∴
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 、，先证，再证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 作 于点 ， 在 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=，由垂径定理可得， 设 ，则 ，在 和 中，由勾股定理可得 ， ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由即可求出结论.
22．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
又 ，
，
又 .
，
即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
在 中，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
又 ，
即 ，
解得 （取正值），
.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，利用三角形内角和可得∠ADC+∠OCD
=90°，根据等腰三角形的性质可得，结合已知可得 ，根据切线的判定即证结论；
（2）由圆周角定理及已知，可求出 ，在 中，可得CD=AD·cos∠ADC=，由勾股定理求出AC=，从而得出 ，证明 ，可得
，即得，可设 ，则 ， ，从而可得 ，求出x值，即可求出FD.
23．【答案】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE＝ OE＝3 ，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝ ×3×3 ﹣
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝3 ，
即PE+PF最小值为3 ，
在Rt△OPF′中，OP＝ OF′＝ ，
在Rt△ABO中，OB＝ OA＝ ×6＝2 ，
∴BP＝2 ﹣ ＝ ，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为 .
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；扇形面积的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质，可得AO平分∠BAC，根据角平分线的性质可得OH＝OE，然后根据切线的判定定理即证结论；
（2）由AO＝2OF＝6，OE=3，利用直角三角形的性质，可得∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，可计算出AE＝ OE＝3 ，根据图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF进行计算即可；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图， 可得PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小.通过证明∠F′＝∠EAF′， 可得PE+PF=EF′＝EA＝3 ，然后利用直角三角形性质分别求出OP与OB的长，由PB=OB-BP即得结论.
24．【答案】（1）证明：如图1，连接OA，
∵AB=AC，
∴ ，∠ACB=∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠B，
∴∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，
∵∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=2∠ACB，
∴∠CAF=∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=∠ACB，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴ ，
∴AB2=BC BE=BE（BE+CE）=BE2+BE CE，
∴AB2-BE2=BE EC；
（3）解：由（2）知：AB2=BC BE，
∵BC BE=64，
∴AB=8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG=∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB，∠BAD=∠ACB，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BG=AB=8.
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 (1)、本题根据 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，即可证明AF是⊙O的切线；
(2)、根据 两个角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例，即可进步列出比例式， 从而证出AB2﹣BE2＝BE EC .
(3)、根据点G是△ACD的内心 ，三条平分线的交点，进步求解.
1 / 12022年初中数学浙教版九年级下册第二章直线与圆的位置关系 章末检测——普通版
一、单选题
1．（2021·嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵r=2，∴OA=3>r，∴A点在圆外，
∵OB=2=r，∴B点在圆上，
∴当OB⊥AB时，AB与 ⊙O 相切，当OB与AB不垂直时，AB与 ⊙O相交，
故答案为：D.
【分析】先根据点与圆的位置关系判断出A在圆外，B在圆上，然后根据直线与圆的位置关系分两种情况分析即可.
2．（2021九上·平原月考）一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴
，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故答案为：B．
【分析】先求出再求出，最后计算求解即可。
3．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
4．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】连接 ，过 点作 ，此时 点坐标可表示为 ，从而求出OC、BC、OB，证明 ，可得，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
5．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ， 交 于点 ；连接 ，若 ，则 等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】 切 于点 ，
故答案为：B.
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得∠PAO=90°，结合已知根据直角三角形两锐角互余可求得∠POA的度数，再根据圆周角定理即可求解.
6．（2021·永嘉模拟）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则弧AB的度数为（ ）
A．100° B．115° C．120° D．130°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵OA为切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠AOP=90°-∠P=50°，
∴∠AOB=180°-∠AOP=130°，
故答案为：D.
【分析】连接OA，由切线的性质得∠PAO=90°，然后由直角三角形的性质求出∠AOP，则由补角的性质即可求出∠AOB，即可得出答案.
7．（2021九下·广州开学考）如图，在 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠A=∠OCA=25°，
∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠DOC=40°，
故答案为：B．
【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°-∠DOC=40°．
8．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
9．（2021九上·宜兴期中）如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）.⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ，如下图：
∴ ，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点 和 之间
直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，即
∵
∴
∴ ，即
∴符合题意要求的点P坐标为： ， ， ， ， ， ，
∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7.
故答案为：C.
【分析】⊙P沿x轴向左移动，分别与直线AB相切于点M、N，且圆心分别为点P1、P2，则MP1=NP2=OP=2，分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x，得到点A、B的坐标，求出AO、BO的值，根据tan∠OAB的值可得∠OAB的度数，求出AP1，OP1，得到点P1的坐标，同理可得P2的坐标，据此解答.
10．（2021·贡井模拟）如图所示，在Rt 中， ， ， ，点 为 上的点， 的半径 ，点 是 边上的动点，过点 作⊙ 的一条切线 （点 为切点），则线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OD，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO=90°，
∴DE2+OE2=OD2，
∵OE=1，
∴DE2=OD2-1，即DE= ，
要使DE最小，则OD最小即可，
∵D为AB边上的动点，
∴当OD⊥AB时，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴ ，即 ，
解得：OD=4，
∴DE= = .
故答案为：B.
【分析】连接OE、OD，由勾股定理可得BC，根据切线的性质可得∠DEO=90°，由勾股定理表示出DE，可知要使DE最小，则OD最小即可，当OD⊥AB时，OD最小，证明△BDO∽△BCA，由相似三角形的性质求出OD，然后由勾股定理就可得到DE.
二、填空题
11．（2021九上·永年月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
【答案】4 cm
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设AF=acm，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，
∵BD+CD=BC=14cm，
∴（9-a）+（13-a）=14，
解得：a=4，
即AF=4cm．
故答案为4cm.
【分析】先求出AF=AE，CE=CD，BF=BD，再求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，最后计算求解即可。
12．（2021九上·巢湖月考）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．
由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，
∴AD=4 ，
∵ BC AD= （AB+BC+AC） r，
×5×4 = ×20×r，
∴r= ，
故答案为：
【分析】先求出AD=4 ，再求出 BC AD= （AB+BC+AC） r，最后计算求解即可。
13．（2021九上·拜泉期中）如图， 是 的切线，切点为 是 的直径， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 是 的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：80°．
【分析】先求出，再求出∠B=40°，最后计算求解即可。
14．（2021九上·陵城期中）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上点，以点O为圆心， BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与⊙O相切．
【答案】60或120
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：射线BA绕点B顺时针旋转60度时，记为射线BE，作OD⊥BE于D，
∵在直角三角形BOD中，∠DBO=∠ABD-∠ABE=30°，
∴ ，即OD为圆O的半径，
∴BE与圆O相切，
同理将射线BA绕点B顺时针旋转120度时，记为射线B，同理可证BF是圆O的切线，
故答案为：60或120．
【分析】先求出，再求出OD为圆O的半径，最后求解即可。
15．（2021九上·哈尔滨开学考）如图， 切 于点 ，直径 的延长线交 于点 ， ， ， 的正切值为 ．
【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
设半径OA=OC=x，则 ，
∵ 切 于点 ，
∴∠OAP=90°，
∵在Rt OAP中， ，
∴ ，
解得： ，
∴OA=8，
∴在Rt OAP中， ，
故答案为： ．
【分析】连接OA，先利用切线的性质得∠OAP=90°，然后通过勾股定理可求得半径，最后在Rt OAP中，利用正切的定义求解即可。
16．（2021九上·平阳期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以顶点C为圆心，BC长为半径画圆弧BH，过AB中点P作弧BH的切线PE，E为切点，连接AE并延长交CD于点F，则tan∠DAF的数值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CE、CP和BE，
∵PE和BC是圆C的切线，
∵PE=PB，
∵BC=BE，
∴CP是BE的垂直平分线，
∴CP⊥BE，
∵PA=PB=PE，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
∴AF∥BC，
∵AP∥FC，
∴四边形APCF是平行四边形，
∴FC=AP=2，
∴FD=CD-FC=8-4=4，
∴tan∠DAF===.
故答案为：.
【分析】连接CE、CP和BE，根据切线长定理得出PE=PB，结合BC=BH，可得CP是BE的垂直平分线，得到CP⊥BE，再由PA=PB=PE，证出BE⊥AF，从而求出AF∥BC，结合AP∥FC，求得四边形APCF是平行四边形，则可求出FC长，然后由线段的和差关系求出FD长，最后根据三角形函数定义计算即可.
三、解答题
17．（2021·椒江模拟）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明：如图，过点О作 OE⊥AC，垂足为E，连接OD ， OA
∵OO与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，О是底边BC的中点，
AO是∠BAC的平分线
∴OE=OD，即OE是OO的半径
这样，AC经过OO的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与OO相切.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】过点О作 OE⊥AC，垂足为E，连接OD ， OA ，利用切线的性质可证得OD⊥AB，利用等腰三角形的性质可知AO平分∠BAC，利用角平分线的性质可证得OE=OD；然后根据切线的判定定理，可证得结论.
18．（2020九上·白云期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
【答案】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；切线长定理
【解析】【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．
19．（2021九上·自贡期末）如图，已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C， 的长为 ，求线段AB的长.
【答案】依题意知，OC⊥AC.
∴∠ACO=90°；∠AOC= ，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴OA= ，
∴AB=AO-OB=16-8=8cm
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】依题意知：OC⊥AC，根据的长可得∠AOC=60°，结合内角和定理可得∠A=30°，则OA=2OC=16cm，接下来根据AB=AO-OB进行计算即可.
20．（2021九上·陵城月考）如图，是的外接圆，圆心O在上，且，M是上一点，过M作的垂线交于点N，交的延长线于点E，直线交于点F，．
（1）求证：是的切线．
（2）设的半径为2，且，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
是的外接圆，圆心O在上，
是的直径，
，
又，
，，
，
，
在中，，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据证明圆的切线的方法证明求解即可；
（2）先求出CE的值，再求出BM的值，最后计算求解即可。
21．（2021·雅安）如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 .
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 半径为3， ，求 .
【答案】（1）证明：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴
解得
∴
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 、，先证，再证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 作 于点 ， 在 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=，由垂径定理可得， 设 ，则 ，在 和 中，由勾股定理可得 ， ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由即可求出结论.
22．（2021·贵港）如图，⊙O是 ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长.
【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
又 ，
，
又 .
，
即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
在 中，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
又 ，
即 ，
解得 （取正值），
.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，利用三角形内角和可得∠ADC+∠OCD
=90°，根据等腰三角形的性质可得，结合已知可得 ，根据切线的判定即证结论；
（2）由圆周角定理及已知，可求出 ，在 中，可得CD=AD·cos∠ADC=，由勾股定理求出AC=，从而得出 ，证明 ，可得
，即得，可设 ，则 ， ，从而可得 ，求出x值，即可求出FD.
23．（2021九上·商城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长.
【答案】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO＝2OF＝6，
而OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴AE＝ OE＝3 ，
∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝ ×3×3 ﹣
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF＝PF′，
∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′＝OF＝OE，
∴∠F′＝∠OEF′，
而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°，
∴∠F′＝∠EAF′，
∴EF′＝EA＝3 ，
即PE+PF最小值为3 ，
在Rt△OPF′中，OP＝ OF′＝ ，
在Rt△ABO中，OB＝ OA＝ ×6＝2 ，
∴BP＝2 ﹣ ＝ ，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为 .
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；扇形面积的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质，可得AO平分∠BAC，根据角平分线的性质可得OH＝OE，然后根据切线的判定定理即证结论；
（2）由AO＝2OF＝6，OE=3，利用直角三角形的性质，可得∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，可计算出AE＝ OE＝3 ，根据图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF进行计算即可；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图， 可得PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小.通过证明∠F′＝∠EAF′， 可得PE+PF=EF′＝EA＝3 ，然后利用直角三角形性质分别求出OP与OB的长，由PB=OB-BP即得结论.
24．（2021·苍南模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD//AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC BE＝64，求BG的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接OA，
∵AB=AC，
∴ ，∠ACB=∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠B，
∴∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，
∵∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=2∠ACB，
∴∠CAF=∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=∠ACB，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴ ，
∴AB2=BC BE=BE（BE+CE）=BE2+BE CE，
∴AB2-BE2=BE EC；
（3）解：由（2）知：AB2=BC BE，
∵BC BE=64，
∴AB=8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG=∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB，∠BAD=∠ACB，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BG=AB=8.
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 (1)、本题根据 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，即可证明AF是⊙O的切线；
(2)、根据 两个角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例，即可进步列出比例式， 从而证出AB2﹣BE2＝BE EC .
(3)、根据点G是△ACD的内心 ，三条平分线的交点，进步求解.
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