2021-2022学年浙教版数学九下1.1 锐角三角函数同步练习
一、单选题
1．（2021九上·金塔期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与 BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ， ，AB=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AC与BD交点为O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=4，BD=2OD，AB=AD，根据∠DAC的正切函数值可得OD，由勾股定理求出AD，接下来根据菱形的面积公式求出DH，进而可得点D到AB边的距离.
2．（2021九上·安吉期末）在Rt中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13
∴.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，根据，代入计算可求出sinB的值.
3．（2021九上·皇姑期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据正弦的定义求解即可。
4．（2021九上·绿园期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A.
，故此选项不符合题意；
B.
，故此选项符合题意；
C.
，故此选项不符合题意；
D.
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
5．（2021九上·铁西期末）计算的值等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
6．（2021九上·章丘月考）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°．
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，∴AC∥ED，∴∠CED＝∠ECA．
∵AE＝1，∴由勾股定理得：EF＝AF．
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2＝12+22＝5，∴CE，∴sin∠CED＝sin∠ECF．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DEA＝∠CAB＝45°，再求出EF＝AF，最后求解即可。
7．（2021九上·东平月考）在中，∠，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵在中，，，
∴设AB=3x，BC=x，
则，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
8．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
9．（2021九上·淮北月考）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
可知，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可。
10．（2021九上·攸县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
11．（2021九上·宁波月考）如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，连结 .若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD=90°
∴由勾股定理得：
∵∠B=∠D
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACD=90°，∠B=∠D，根据勾股定理求出CD，然后根据余弦函数的概念进行求解.
12．（2021九上·炎陵期末）Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，若AB=4，
∴cosA=，即，
AC=.
故答案为：B.
【分析】根据∠A的余弦函数就可求出AC.
二、填空题
13．（2021九上·金塔期末）计算： × ﹣sin45°＝ .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： × ﹣sin45°
＝
＝
＝ .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及特殊角的三角函数值可得原式=-，据此计算.
14．（2021九上·建华期末）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=10，
∴OC=OB=5，
∵CD⊥AB于点D，CD=4，
∴OD==3，
∴，
∴BC=，
∴sin∠BCD==．
故答案为：
【分析】先求出OC=OB=5，再利用勾股定理求出OD和BC的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
15．（2021九上·北京月考）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则tan ′的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ ，根据旋转特征 ，在三角形ABC中，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，则tan = tanB=
【分析】根据旋转的性质和锐角三角函数求解即可。
16．（2021九上·章丘月考）在中，，，则 ．
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在中，，，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出∠A=60°，再计算求解即可。
17．（2021九上·东平月考）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是
【答案】2
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，将AB平移至CQ，连接PC，
则AB∥CQ，∠QMB=∠CQP，
由题意，，，，
∵，
∴△PCQ为直角三角形，∠PCQ=90°，
∴，
故答案为：2．
【分析】先求出△PCQ为直角三角形，∠PCQ=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．（2021九上·佛山月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在网格上取点D，得，
∵CD=4，BD=1
∴．
故答案为：4．
【分析】先求出CD=4，BD=1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
19．（2021九上·绥宁期末）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=.
故答案为：.
【分析】将点P（12，a）代入反比例函数解析式中可得a=5，则PH=5，OH=12，然后根据正切函数的概念进行解答.
三、综合题
20．（2021九上·二道期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，请画出△OA1B1．
（2）按照（1）的变换后，cos∠OA1B1＝ ．
（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，按照（1）的变换后，点P在△OA1B1内部的对应点P1的坐标为 ．
【答案】（1）解：以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，
∵A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
∴A1、B1两点的坐标分别为（-3×2， 1×2）、（-2×2，-1×2）．即（-6，2），（-4，-2），
在平面直角坐标系中描点A1（-6，2），B1（-4，-2），
顺次连结OA1，A1B1，B1O，
∴△OA1B1为所求位似图形；
（2）
（3）（-2a，-2b）
【知识点】作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）OA1=，A1B1=，
OB1=，
∵，
∴△OA1B1为直角三角形，
∴cos∠OA1B1＝，
故答案为：；
（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，
∴P1（-2a，-2b）．
故答案为（-2a，-2b）．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）先求出△OA1B1为直角三角形，再利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，求点的坐标即可。
21．（2021九上·铁西期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
（1）求BC；
（2）求sinA．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
，
（2）解：sinA=．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数计算求解即可。
22．（2021九上·建华期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长．
【答案】（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90°，∠AFD=90°
∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°
∴∠BAE=∠DAF；
（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，
∴BE=3，
∴在△ABE中，，
∴
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF
∴，
∴，
∴FC==．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=∠D，AB=CD， 再求出 ∠AEB=90°，∠AFD=90° ，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出AB=5，再证明 △ABE∽△ADF ，最后计算求解即可。
23．（2021九上·攸县期末）如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值.
【答案】（1）解：设所求的函数解析式为：(k≠0），将点A的坐标为（2，4） 代入得k=8，所以所求的反比例函数的解析式为：；
（2）解：过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
又∵tan∠ACB=，
∴AF=3，
∴EF=AE-AF=4-3=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）解：∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
∵ 当y=1时，在由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（8，1），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB=，
∴sin∠ABC=.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据锐角三角函数tan∠ACB=可求得AF的值，由线段的构成EF=AE-AF求得EF的值，于是点C的坐标可求解；
（3）由题意易得点B的纵坐标为1， 把点B的纵坐标代入反比例函数的解析式可求得点B的横坐标，用勾股定理求得AB的值，再根据锐角三角函数sin∠ABC=计算可求解.
24．（2021九上·醴陵期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点.
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.
【答案】（1）解：∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）解：∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由点B的坐标可得OB＝2，则OA＝OC＝4OB＝8，据此可得点A、C的坐标；
（2）由（1）知：抛物线的表达式可写为：y＝a(x+2)(x-8)＝a(x2-6x-16)，将C（0，﹣8）代入求出a，据此可得抛物线的表达式；
（3）易得直线CA的表达式为：y＝x-8，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设P（a，a2-3a-8），则H（a，a-8），表示出PD，然后根据二次函数的性质进行解答.
25．（2021九上·温州月考）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F.
（1）求证：BD＝CD.
（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，当AF将△ABD的面积分为1：2两部分时，求△ADF与△BCF的面积比值.
（3）将C点关于AD的对称点记为点C'，当BC'＝ BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠EAD=∠CBD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EAD=∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD＝CD；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BDC=60°，
∵BD＝CD，
∴ 是等边三角形，
∴BD=BC＝3，
∵AF将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，
当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，则BM=1.5，MF=0.5，CM= ，
∴CF= ，
∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，
∴ ，
∴△ADF与△BCF的面积比值= ，
当BF=1，DF=2时，如图，
同理可得：CN= ，NF=0.5，CF= ，
∴△ADF与△BCF的面积比值= ，
综上所述：△ADF与△BCF的面积比值为 或 ；
（3）解：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，C点关于AD的对称点记为点C'，
∴点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥B C'，连接AO，DO，如图所示，
∴BD=CD=C'D，BM= BC'，
∵BC'＝ BD，
∴BM= BD，即：cos∠ABD= ，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOD=60°，
∴ 是等边三角形，
∴AD=AO=r.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠EAD=∠CAD，由圆周角定理可得∠CAD=∠CBD，推出∠EAD=∠CBD，根据圆内接四边形的性质可得∠EAD=∠BCD，则∠CBD=∠BCD，据此证明；
（2）易得△BCD是等边三角形，则BD=BC＝3，由题意结合三角形的面积公式可得BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，则BM=1.5，MF=0.5，CM= ，由勾股定理求出CF，证明△AFD∽△BFC，然后根据相似三角形的性质进行求解；当BF=1，DF=2时，同理可得CN、NF、CF的值，据此求解；
（3）记C点关于AD的对称点为点C'，则点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥B C'，连接AO，DO，则BD=CD=C'D，BM=BC'，根据已知条件结合三角函数的概念可得cos∠ABD=，则∠ABD=30°，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，据此解答.
26．（2021九上·鄞州月考）如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.
（1）若 ，请用含 的代数式表列 .
（2）如图2，连结 .求证； .
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .
①若 ，求 的周长.
②求 的最小值.
【答案】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，∠BAD=90°，
∴ ，∠ABE=∠DBC
∵∠AGB=90°-∠ABE，∠BDC=90°-∠DBC
∴ ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①如图，连结 .
∵ 为 的直径，
∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
②如图，过点C作 于H.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
设 ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为3，
∴ 的最小值为 .
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（2） 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得∠BAD=90°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABG=∠DBC=α，据此求解；
（2）由直径所对的圆周角等于90°得∠BCD=90°，∠BAD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得∠BEC=∠BDC，∠ABE=∠DBC，推出∠BEC=∠AGB，结合邻补角的性质可得∠CEF=∠BGD，证明△CFE≌△BDG，据此可得结论；
（3）①连接DE，由圆周角定理可得∠A=∠BED=90°，根据三角函数的概念可得AB的值，由弧、弦的关系可得AD=CE，然后根据∠AGB的正弦函数可得AG，进而求出EF、EG，由勾股定理求出DF，据此求解；
②过点C作CH⊥BF于点H，由全等三角形的性质可得BD=CF，∠CFH=∠BDA，证明△BAD≌△CHF，得到FH=AD，由同角的余角相等可得∠HCF=∠HBC，证明△BHC∽△CHF，设GH=x，则BH=2-x，CH2=2(2-x)，在Rt△GHC中，由勾股定理可得CG2，然后利用二次函数的性质可得最小值.
27．（2021九上·宁波月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2 ，tan∠CAB＝ ，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q.
（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；
（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；
（3）连结PQ并延长交BD于点M.当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，直接写出 的值.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）如图，作 于H，则 ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知 ，
若 ，
∴ ，
∴
且 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
若 ，如图：
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
设 则 ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
综上， 或 .
【分析】（1）根据垂直的概念得∠DAP=∠DEA=∠BCQ=90°，由同角的余角相等得∠PAE=∠ADE，根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，推出∠ADE=∠QBC，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）过点C作CH⊥AB于H，设CH=a，则AH=2a，根据AC=结合勾股定理可得a的值，进而求出AB，根据角平分线的概念可得∠CBA=∠DBA，推出∠CAB=∠DBA，根据∠ABD的正切函数可得AB，进而求出AD、BD，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（3）作CH⊥AB于H，则CH∥PD，易证△CHQ∽△DEQ，由相似三角形的性质可得CH、AH，设PE=x，则AE=QE=2x，DE=4x，QH=4-4x，由相似三角形的性质求出x，然后根据平行线分线段成比例的性质进行求解；若PM∥AD，同理求出x，进而得到EQ、AQ、BQ，据此求解.
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下1.1 锐角三角函数同步练习
一、单选题
1．（2021九上·金塔期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．（2021九上·安吉期末）在Rt中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·皇姑期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·绿园期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·铁西期末）计算的值等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
6．（2021九上·章丘月考）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·东平月考）在中，∠，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·淮北月考）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2021九上·攸县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．1
11．（2021九上·宁波月考）如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，连结 .若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021九上·炎陵期末）Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．5
二、填空题
13．（2021九上·金塔期末）计算： × ﹣sin45°＝ .
14．（2021九上·建华期末）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为 ．
15．（2021九上·北京月考）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则tan ′的值为 ．
16．（2021九上·章丘月考）在中，，，则 ．
17．（2021九上·东平月考）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是
18．（2021九上·佛山月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ．
19．（2021九上·绥宁期末）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 .
三、综合题
20．（2021九上·二道期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，请画出△OA1B1．
（2）按照（1）的变换后，cos∠OA1B1＝ ．
（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，按照（1）的变换后，点P在△OA1B1内部的对应点P1的坐标为 ．
21．（2021九上·铁西期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
（1）求BC；
（2）求sinA．
22．（2021九上·建华期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长．
23．（2021九上·攸县期末）如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）sin∠ABC的值.
24．（2021九上·醴陵期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点.
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.
25．（2021九上·温州月考）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F.
（1）求证：BD＝CD.
（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，当AF将△ABD的面积分为1：2两部分时，求△ADF与△BCF的面积比值.
（3）将C点关于AD的对称点记为点C'，当BC'＝ BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由.
26．（2021九上·鄞州月考）如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.
（1）若 ，请用含 的代数式表列 .
（2）如图2，连结 .求证； .
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .
①若 ，求 的周长.
②求 的最小值.
27．（2021九上·宁波月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2 ，tan∠CAB＝ ，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q.
（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；
（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；
（3）连结PQ并延长交BD于点M.当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，直接写出 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与 BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ， ，AB=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AC与BD交点为O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=4，BD=2OD，AB=AD，根据∠DAC的正切函数值可得OD，由勾股定理求出AD，接下来根据菱形的面积公式求出DH，进而可得点D到AB边的距离.
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13
∴.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，根据，代入计算可求出sinB的值.
3．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据正弦的定义求解即可。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A.
，故此选项不符合题意；
B.
，故此选项符合题意；
C.
，故此选项不符合题意；
D.
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，作EF⊥CA，交CA的延长线于点F．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°．
∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°，∴AC∥ED，∴∠CED＝∠ECA．
∵AE＝1，∴由勾股定理得：EF＝AF．
∵在Rt△EBC中，由勾股定理得：CE2＝12+22＝5，∴CE，∴sin∠CED＝sin∠ECF．
故答案为：B．
【分析】先求出∠DEA＝∠CAB＝45°，再求出EF＝AF，最后求解即可。
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵在中，，，
∴设AB=3x，BC=x，
则，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
9．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
可知，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可。
10．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的直径
∴∠ACD=90°
∴由勾股定理得：
∵∠B=∠D
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACD=90°，∠B=∠D，根据勾股定理求出CD，然后根据余弦函数的概念进行求解.
12．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，若AB=4，
∴cosA=，即，
AC=.
故答案为：B.
【分析】根据∠A的余弦函数就可求出AC.
13．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： × ﹣sin45°
＝
＝
＝ .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及特殊角的三角函数值可得原式=-，据此计算.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=10，
∴OC=OB=5，
∵CD⊥AB于点D，CD=4，
∴OD==3，
∴，
∴BC=，
∴sin∠BCD==．
故答案为：
【分析】先求出OC=OB=5，再利用勾股定理求出OD和BC的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ ，根据旋转特征 ，在三角形ABC中，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，则tan = tanB=
【分析】根据旋转的性质和锐角三角函数求解即可。
16．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在中，，，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出∠A=60°，再计算求解即可。
17．【答案】2
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，将AB平移至CQ，连接PC，
则AB∥CQ，∠QMB=∠CQP，
由题意，，，，
∵，
∴△PCQ为直角三角形，∠PCQ=90°，
∴，
故答案为：2．
【分析】先求出△PCQ为直角三角形，∠PCQ=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在网格上取点D，得，
∵CD=4，BD=1
∴．
故答案为：4．
【分析】先求出CD=4，BD=1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
19．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=.
故答案为：.
【分析】将点P（12，a）代入反比例函数解析式中可得a=5，则PH=5，OH=12，然后根据正切函数的概念进行解答.
20．【答案】（1）解：以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，
∵A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
∴A1、B1两点的坐标分别为（-3×2， 1×2）、（-2×2，-1×2）．即（-6，2），（-4，-2），
在平面直角坐标系中描点A1（-6，2），B1（-4，-2），
顺次连结OA1，A1B1，B1O，
∴△OA1B1为所求位似图形；
（2）
（3）（-2a，-2b）
【知识点】作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）OA1=，A1B1=，
OB1=，
∵，
∴△OA1B1为直角三角形，
∴cos∠OA1B1＝，
故答案为：；
（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，
∴P1（-2a，-2b）．
故答案为（-2a，-2b）．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可；
（2）先求出△OA1B1为直角三角形，再利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，求点的坐标即可。
21．【答案】（1）解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
，
（2）解：sinA=．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用锐角三角函数计算求解即可。
22．【答案】（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90°，∠AFD=90°
∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°
∴∠BAE=∠DAF；
（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，
∴BE=3，
∴在△ABE中，，
∴
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF
∴，
∴，
∴FC==．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=∠D，AB=CD， 再求出 ∠AEB=90°，∠AFD=90° ，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出AB=5，再证明 △ABE∽△ADF ，最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：设所求的函数解析式为：(k≠0），将点A的坐标为（2，4） 代入得k=8，所以所求的反比例函数的解析式为：；
（2）解：过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
又∵tan∠ACB=，
∴AF=3，
∴EF=AE-AF=4-3=1，
∴点C的坐标为（0，1）；
（3）解：∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
∵ 当y=1时，在由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（8，1），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB=，
∴sin∠ABC=.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据锐角三角函数tan∠ACB=可求得AF的值，由线段的构成EF=AE-AF求得EF的值，于是点C的坐标可求解；
（3）由题意易得点B的纵坐标为1， 把点B的纵坐标代入反比例函数的解析式可求得点B的横坐标，用勾股定理求得AB的值，再根据锐角三角函数sin∠ABC=计算可求解.
24．【答案】（1）解：∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（3）解：∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，
∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由点B的坐标可得OB＝2，则OA＝OC＝4OB＝8，据此可得点A、C的坐标；
（2）由（1）知：抛物线的表达式可写为：y＝a(x+2)(x-8)＝a(x2-6x-16)，将C（0，﹣8）代入求出a，据此可得抛物线的表达式；
（3）易得直线CA的表达式为：y＝x-8，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设P（a，a2-3a-8），则H（a，a-8），表示出PD，然后根据二次函数的性质进行解答.
25．【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠EAD=∠CBD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EAD=∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD＝CD；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BDC=60°，
∵BD＝CD，
∴ 是等边三角形，
∴BD=BC＝3，
∵AF将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，
当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，则BM=1.5，MF=0.5，CM= ，
∴CF= ，
∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，
∴ ，
∴△ADF与△BCF的面积比值= ，
当BF=1，DF=2时，如图，
同理可得：CN= ，NF=0.5，CF= ，
∴△ADF与△BCF的面积比值= ，
综上所述：△ADF与△BCF的面积比值为 或 ；
（3）解：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，C点关于AD的对称点记为点C'，
∴点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥B C'，连接AO，DO，如图所示，
∴BD=CD=C'D，BM= BC'，
∵BC'＝ BD，
∴BM= BD，即：cos∠ABD= ，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOD=60°，
∴ 是等边三角形，
∴AD=AO=r.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠EAD=∠CAD，由圆周角定理可得∠CAD=∠CBD，推出∠EAD=∠CBD，根据圆内接四边形的性质可得∠EAD=∠BCD，则∠CBD=∠BCD，据此证明；
（2）易得△BCD是等边三角形，则BD=BC＝3，由题意结合三角形的面积公式可得BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，则BM=1.5，MF=0.5，CM= ，由勾股定理求出CF，证明△AFD∽△BFC，然后根据相似三角形的性质进行求解；当BF=1，DF=2时，同理可得CN、NF、CF的值，据此求解；
（3）记C点关于AD的对称点为点C'，则点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥B C'，连接AO，DO，则BD=CD=C'D，BM=BC'，根据已知条件结合三角函数的概念可得cos∠ABD=，则∠ABD=30°，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，据此解答.
26．【答案】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，∠BAD=90°，
∴ ，∠ABE=∠DBC
∵∠AGB=90°-∠ABE，∠BDC=90°-∠DBC
∴ ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①如图，连结 .
∵ 为 的直径，
∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
②如图，过点C作 于H.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
设 ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为3，
∴ 的最小值为 .
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（2） 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°可得∠BAD=90°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABG=∠DBC=α，据此求解；
（2）由直径所对的圆周角等于90°得∠BCD=90°，∠BAD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得∠BEC=∠BDC，∠ABE=∠DBC，推出∠BEC=∠AGB，结合邻补角的性质可得∠CEF=∠BGD，证明△CFE≌△BDG，据此可得结论；
（3）①连接DE，由圆周角定理可得∠A=∠BED=90°，根据三角函数的概念可得AB的值，由弧、弦的关系可得AD=CE，然后根据∠AGB的正弦函数可得AG，进而求出EF、EG，由勾股定理求出DF，据此求解；
②过点C作CH⊥BF于点H，由全等三角形的性质可得BD=CF，∠CFH=∠BDA，证明△BAD≌△CHF，得到FH=AD，由同角的余角相等可得∠HCF=∠HBC，证明△BHC∽△CHF，设GH=x，则BH=2-x，CH2=2(2-x)，在Rt△GHC中，由勾股定理可得CG2，然后利用二次函数的性质可得最小值.
27．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）如图，作 于H，则 ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知 ，
若 ，
∴ ，
∴
且 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
若 ，如图：
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
设 则 ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
综上， 或 .
【分析】（1）根据垂直的概念得∠DAP=∠DEA=∠BCQ=90°，由同角的余角相等得∠PAE=∠ADE，根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，推出∠ADE=∠QBC，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）过点C作CH⊥AB于H，设CH=a，则AH=2a，根据AC=结合勾股定理可得a的值，进而求出AB，根据角平分线的概念可得∠CBA=∠DBA，推出∠CAB=∠DBA，根据∠ABD的正切函数可得AB，进而求出AD、BD，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（3）作CH⊥AB于H，则CH∥PD，易证△CHQ∽△DEQ，由相似三角形的性质可得CH、AH，设PE=x，则AE=QE=2x，DE=4x，QH=4-4x，由相似三角形的性质求出x，然后根据平行线分线段成比例的性质进行求解；若PM∥AD，同理求出x，进而得到EQ、AQ、BQ，据此求解.
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