【精品解析】2021-2022学年浙教版数学九下1.2 锐角三角函数的计算同步练习

2021-2022学年浙教版数学九下1.2 锐角三角函数的计算同步练习
一、单选题
1．（2021九上·淮北月考）已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（　　）
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
2．（2021九上·鄞州月考）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
3．（2021·威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36 18＇，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·东营）如图，在 中， ， ， ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020九上·舒城期末）下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021·静安模拟）如果锐角 的正切值为 ，那么下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·渭滨期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
8．（2020九上·张店期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（　　）．
A．
B．
C．
D．
9．（2020九上·龙口期末）用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2020九上·安丘期末）已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八下·海珠期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝　 　 ，∠A＝　 　，∠B＝　 　．（角度精确到1′）
12．（2021八上·杭州期末）下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是　 　．（填序号）
① ；② ；③当 时， ；④ ．
13．（2021九上·溧阳期末）如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，则tan∠BAP=　 　.
14．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为　 　.
15．（2020九上·龙海月考）比较大小： 　 　 （填“ ”“ ”）．
16．（2020·朝阳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则 　 　 (填“＞”、“=”或“＜”)．
17．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是　 　．
18．（2020·高邮模拟）比较大小： 　 　 (填“ ”“ ”或“＞”)
三、综合题
19．（2020九上·罗庄期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．
（1）求证：PC＝PF；
（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3 ，tanP＝ ，求FB的长．
20．（2020·烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　 　厘米，女性应采用　 　厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
21．（2020九下·镇江月考）
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
　 　 　
　 　 　
　 　 　
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐　 　， 的值逐渐　 　， 的值逐渐　 　．
（3）　 　， 　 　 ；
（4）　 　；
（5）　 　；
（6）若 ，则锐角 　 　．
22．（2019·江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1）
（1）如图2， ， ．
①填空： 　 　°；
②求投影探头的端点 到桌面 的距离　 　．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）
23．（2019·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
（1）任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是　 　m.
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
（3）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
24．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
25．（2019·达州）如图1，已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当 时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N， 和 的面积分别为 ，求 的最大值．
26．（2019·徐汇模拟）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝ ，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，
∵0.5<0.67<0.71，
∴45°<α<60°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA.
故答案为：B.
【分析】根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小进行判断.
3．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：根据计算器的按键顺序可知，
正确的按键顺序为D选项，
故答案为：D．
【分析】根据科学计算器的使用，判断得到答案即可。
4．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由 ，得：
，
故答案为：D．
【分析】先由 ， ， 可运用角B的正切值得到，再将的表达式进行变形即可求解。
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、没有计算结果，不符合题意；
B、没有计算结果，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、符合互余两角的三角函数关系，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据互余两角三角函数的关系，转化为同名三角函数，再根据同名三角函数的增减性进行判断即可。
6．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵ ， ，
而 ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用30度角和45度角的正切值与角 的正切值比较，即可得到答案．
7．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、 sinA的值越大，梯子越陡，故A正确；
B、cosA的值越小，梯子越陡，故B错误；
C、tanA的值越大，梯子越陡，故C错误；
D、陡缓程度与∠A的三角函数值有关，故D错误.
故答案为：A.
【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值和余切值都是随着角度的增大而减小.
8．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin ，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ．
故答案为：A．
【分析】首先在在Rt△ABC中求出sin∠A，然后根据计算器的用法即可得到结论。
9．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“=”即可得到结果．
故答案为：A．
【分析】利用计算器的使用步骤得到结论。
10．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】∵cosA=0.2659，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，cos，0.2659，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得出结论。
11．【答案】13；22°36′；67°24
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：AB＝ ＝13，
∴sin∠A＝ ，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用计算器计算三角函数值即可。
12．【答案】①③④
【知识点】锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：①如图，在Rt△ABC中，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
②若α=30° ，则cosα=，
2α=60° ， ，
∴cos60°≠2cos30°，
∴ cosα≠2cosα， 故②错误；
③当0°<α<β<90°时， ，
∴ α越大，对边越大，且越接近斜边，
∴ sinα越大，
∴当0°<α<β<90°时， 0④∵ ， ， ，
∴sinα=cosα·tanα，故④正确.
故答案为①③④.
【分析】由三角函数的概念表示出sinα，cosα，然后求出sin2α+cos2α的值，据此判断①；②令α=30° ，求出cos2α，2cosα的值，据此判断②；根据正弦函数的单调性判断③；由三角函数的概念表示出sinα，cosα，tanα，然后表示出cosα·tanα，与sinα进行比较可判断④.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°，
∴△EDF≌△PCF(ASA)，
∴CP=DE，PF=EF，
设CF=x，BP=y，
则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y，
∴ ，
，
∵EH垂直平分AP，
∴AE=EP，
即： ，
整理得： ，
即： ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
，
∵点P在正方形ABCD的BC边上，
∴ ，
即： ，
∴取 符合题意，此时 ，
故答案为： .
【分析】首先根据点F是CD的中点，结合正方形的性质可得出△EDF≌△PCF，则设CF=x，BP=y，从而分别表示出PF和EP，再结合垂直平分这个条件建立关于x，y的等式，通过变形整体求出 的值，最后根据题意判断合理的结果即可.
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
15．【答案】<
【知识点】无理数的大小比较；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵ ．
在锐角范围内， 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＜．
【分析】先利用同角的三角函数关系转换，在锐角范围内， 随 的增大而增大。
16．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝ ，tan∠COD＝ ，
∴∠AOB＜∠COD，
故答案为：＜．
【分析】利用正切值的性质比较大小；正切值越大，角度越大。
17．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
18．【答案】<
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：<.
【分析】根据三角函数的性质得 ，即可比较它们的大小关系.
19．【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，
∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，
∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝∠CFP，
∴∠CFP＝∠FCP，
∴PC＝PF；
（2）解：过点B作BG⊥PC于点G，
∵OB∥PC，
∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3 ，
∴OB＝3，
∵BG⊥PC，
∴四边形OBGC是正方形，
∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝ ，
∴ ，
∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，
∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP＝90°，由等腰三角形的性质可得∠E＝∠OCE，推出∠CFP＝∠FCP，即可得出结论；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，由题意证出四边形OBGC是正方形，得出OB＝CG＝BG＝3，即可求出BP、PG的长，即可求出FB的值。
20．【答案】（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
21．【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
22．【答案】（1）160；解：过点 作 于点 ，如图2， 则 ， 投影探头的端点 到桌面 的距离为：
（2）解：过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作 于点 ，如图3，
则 ， ， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）①过点 作 ，如图1，则 ，
，
，
，
，
故答案为：160；
【分析】（1） ① 根据平行线的性质解答即可。
② 解直角三角形求出AF，计算即可。
（2）根据题意在直角三角形中利用三角函数，解三角形即可。
23．【答案】（1）5.5
（2）解：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，∴ ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，∴CE= ，
∵CD=CE-DE，
∴ ，
∴ ，
∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7m
（3）解：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【知识点】矩形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：
任务一： =5.5(m)，
故答案为：5.5；
【分析】（1）根据平均值的定义求解即可
（2）根据矩形的性质，得AB=CD，EH=AC。在直角三角形中， EG=x m ，利用三角函数，求出EC，ED。由 CD=CE-DE ，求解x。即可求出学校旗杆GH的高度。
（3）开放性答案。
24．【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
25．【答案】（1）解：由题意把点 代入 ，
得， ，
解得 ，
∴此抛物线解析式为： ，顶点C的坐标为
（2）解：∵抛物线顶点 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则 ，
在 中， ，
，
∴当 时，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
，
，
，
，
，
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线 的对称点D'的坐标为 ，
∴点D的坐标为 或
（3）解：设 ，
将 代入 ，
得， ，
解得， ，
当 时， ，
如图2，
，
由二次函数的性质知，当 时， 有最大值 ，
和 的面积分别为m、n，
的最大值为 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的特点，将AB两点代入，待定系数法求解二次函数解析式。然后将其转化为顶点式，即可写出顶点坐标。
（2）当D在X轴左侧时， 设抛物线对称轴与x轴交于点H ，即可写出顶点坐标C与H的坐标。在直角三角形中利用正切函数值，以及相似三角形的判定与性质，对应边成比例。即而求出AO、AD的值，从而求出点D的坐标。根据对称轴对称的性质特点，求出D点在对称轴右侧的坐标。
（3）点P同时在这两个函数图象上，根据二次函数表达式故设点，然后设 一次函数表达式，将PA两点代进去，待定系数法求解。即而求出一次函数与y轴交点N。已知 和 的面积 ，将其面积表达式写出来。S△BMP=S△BPA-S四边BMNOS△AON；S△EMN=S△EBO-S四边形BMNO。m-n即两个三角形面积之差，转化为二次函数求最值问题。
26．【答案】（1）设∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD， ∵cosα＝ ， ∴sinα＝ ， 过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC sinα＝6＝DF，BH＝2，
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB＝ ，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10 5a，
解得：a＝2或 （舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝ ；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC CE＝CD2，
即：y＝ x2﹣ x+10（0＜x≤10）…①，
（3）①当DF＝DC时， ∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10＝ x2﹣ x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝ ，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x＝ ；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在； 故：AD的长为6和 ．
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；同角三角函数的关系；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 过点A作AH⊥BC交于点H ， 已知cos∠ACB＝ ，同角三角函数转换，得sin∠ACB=.可求出 AH＝AC sinα＝6 。所以HC=8，BH=2.△EFC，设 FC＝4a ，则 EF＝3a，EC＝5a 。根据对应两角相等的两三角形相似判定定理得 △ADC∽△DCE。然后对应边成比例=，又CD2＝DF2+FC2，所以可求FC的长度，即而求出HF的长度， AD＝HF 。
（2） 求y关于x的函数解析式 ，已知AD为x，要想y和x有关联，从两方都有关系的CD入手。 过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H ，将DH用含有x等式表达，利用勾股定理写出一个方程， 由（1）得：AC CE＝CD2 ，写出另一个方程式，综合求解得 y＝ x2﹣ x+10， （0＜x≤10） .
（3） 当△DFC是等腰三角形 ，又分为几种情况。 当DF＝DC ，首先判定 △DFC∽△CFE ，根据对应边成比例， DF＝DC ，推出 FC＝EC ，所以 x+y＝10 ，得x=6；当 FC＝DC ，得 DE＝AE ，知道 cos∠ACB＝ ，∠ACB=∠DAE，进行三角函数运算可得关于x的一个方程，求解即得x，即AD的长度；当 FC＝FD ， 则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立 。所以AD的值有两种情况。
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下1.2 锐角三角函数的计算同步练习
一、单选题
1．（2021九上·淮北月考）已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（　　）
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，
∵0.5<0.67<0.71，
∴45°<α<60°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。
2．（2021九上·鄞州月考）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA.
故答案为：B.
【分析】根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小进行判断.
3．（2021·威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36 18＇，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：根据计算器的按键顺序可知，
正确的按键顺序为D选项，
故答案为：D．
【分析】根据科学计算器的使用，判断得到答案即可。
4．（2021·东营）如图，在 中， ， ， ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由 ，得：
，
故答案为：D．
【分析】先由 ， ， 可运用角B的正切值得到，再将的表达式进行变形即可求解。
5．（2020九上·舒城期末）下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、没有计算结果，不符合题意；
B、没有计算结果，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、符合互余两角的三角函数关系，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据互余两角三角函数的关系，转化为同名三角函数，再根据同名三角函数的增减性进行判断即可。
6．（2021·静安模拟）如果锐角 的正切值为 ，那么下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵ ， ，
而 ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用30度角和45度角的正切值与角 的正切值比较，即可得到答案．
7．（2021九上·渭滨期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、 sinA的值越大，梯子越陡，故A正确；
B、cosA的值越小，梯子越陡，故B错误；
C、tanA的值越大，梯子越陡，故C错误；
D、陡缓程度与∠A的三角函数值有关，故D错误.
故答案为：A.
【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值和余切值都是随着角度的增大而减小.
8．（2020九上·张店期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（　　）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin ，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ．
故答案为：A．
【分析】首先在在Rt△ABC中求出sin∠A，然后根据计算器的用法即可得到结论。
9．（2020九上·龙口期末）用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“=”即可得到结果．
故答案为：A．
【分析】利用计算器的使用步骤得到结论。
10．（2020九上·安丘期末）已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】∵cosA=0.2659，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，cos，0.2659，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得出结论。
二、填空题
11．（2021八下·海珠期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝　 　 ，∠A＝　 　，∠B＝　 　．（角度精确到1′）
【答案】13；22°36′；67°24
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：AB＝ ＝13，
∴sin∠A＝ ，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用计算器计算三角函数值即可。
12．（2021八上·杭州期末）下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是　 　．（填序号）
① ；② ；③当 时， ；④ ．
【答案】①③④
【知识点】锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：①如图，在Rt△ABC中，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
②若α=30° ，则cosα=，
2α=60° ， ，
∴cos60°≠2cos30°，
∴ cosα≠2cosα， 故②错误；
③当0°<α<β<90°时， ，
∴ α越大，对边越大，且越接近斜边，
∴ sinα越大，
∴当0°<α<β<90°时， 0④∵ ， ， ，
∴sinα=cosα·tanα，故④正确.
故答案为①③④.
【分析】由三角函数的概念表示出sinα，cosα，然后求出sin2α+cos2α的值，据此判断①；②令α=30° ，求出cos2α，2cosα的值，据此判断②；根据正弦函数的单调性判断③；由三角函数的概念表示出sinα，cosα，tanα，然后表示出cosα·tanα，与sinα进行比较可判断④.
13．（2021九上·溧阳期末）如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，则tan∠BAP=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
又∵∠PFC=∠EFD，∠C=∠EDF=90°，
∴△EDF≌△PCF(ASA)，
∴CP=DE，PF=EF，
设CF=x，BP=y，
则CD=2CF=2x，CP=DE=BC-BP=2x-y，
∴ ，
，
∵EH垂直平分AP，
∴AE=EP，
即： ，
整理得： ，
即： ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
，
∵点P在正方形ABCD的BC边上，
∴ ，
即： ，
∴取 符合题意，此时 ，
故答案为： .
【分析】首先根据点F是CD的中点，结合正方形的性质可得出△EDF≌△PCF，则设CF=x，BP=y，从而分别表示出PF和EP，再结合垂直平分这个条件建立关于x，y的等式，通过变形整体求出 的值，最后根据题意判断合理的结果即可.
14．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为　 　.
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
15．（2020九上·龙海月考）比较大小： 　 　 （填“ ”“ ”）．
【答案】<
【知识点】无理数的大小比较；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵ ．
在锐角范围内， 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＜．
【分析】先利用同角的三角函数关系转换，在锐角范围内， 随 的增大而增大。
16．（2020·朝阳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则 　 　 (填“＞”、“=”或“＜”)．
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝ ，tan∠COD＝ ，
∴∠AOB＜∠COD，
故答案为：＜．
【分析】利用正切值的性质比较大小；正切值越大，角度越大。
17．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
18．（2020·高邮模拟）比较大小： 　 　 (填“ ”“ ”或“＞”)
【答案】<
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：<.
【分析】根据三角函数的性质得 ，即可比较它们的大小关系.
三、综合题
19．（2020九上·罗庄期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．
（1）求证：PC＝PF；
（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3 ，tanP＝ ，求FB的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵OE⊥AB，
∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，
∴∠EFA＝∠FCP，
∵∠EFA＝∠CFP，
∴∠CFP＝∠FCP，
∴PC＝PF；
（2）解：过点B作BG⊥PC于点G，
∵OB∥PC，
∴∠COB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝3 ，
∴OB＝3，
∵BG⊥PC，
∴四边形OBGC是正方形，
∴OB＝CG＝BG＝3，
∵tanP＝ ，
∴ ，
∴PG＝4，
∴由勾股定理可知：PB＝5，
∵PF＝PC＝7，
∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP＝90°，由等腰三角形的性质可得∠E＝∠OCE，推出∠CFP＝∠FCP，即可得出结论；
（2）过点B作BG⊥PC于点G，由题意证出四边形OBGC是正方形，得出OB＝CG＝BG＝3，即可求出BP、PG的长，即可求出FB的值。
20．（2020·烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　 　厘米，女性应采用　 　厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
【答案】（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
21．（2020九下·镇江月考）
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
　 　 　
　 　 　
　 　 　
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐　 　， 的值逐渐　 　， 的值逐渐　 　．
（3）　 　， 　 　 ；
（4）　 　；
（5）　 　；
（6）若 ，则锐角 　 　．
【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【知识点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
22．（2019·江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1）
（1）如图2， ， ．
①填空： 　 　°；
②求投影探头的端点 到桌面 的距离　 　．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】（1）160；解：过点 作 于点 ，如图2， 则 ， 投影探头的端点 到桌面 的距离为：
（2）解：过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作 于点 ，如图3，
则 ， ， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：（1）①过点 作 ，如图1，则 ，
，
，
，
，
故答案为：160；
【分析】（1） ① 根据平行线的性质解答即可。
② 解直角三角形求出AF，计算即可。
（2）根据题意在直角三角形中利用三角函数，解三角形即可。
23．（2019·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
（1）任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是　 　m.
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
（3）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
【答案】（1）5.5
（2）解：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，∴ ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，∴CE= ，
∵CD=CE-DE，
∴ ，
∴ ，
∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7m
（3）解：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【知识点】矩形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：
任务一： =5.5(m)，
故答案为：5.5；
【分析】（1）根据平均值的定义求解即可
（2）根据矩形的性质，得AB=CD，EH=AC。在直角三角形中， EG=x m ，利用三角函数，求出EC，ED。由 CD=CE-DE ，求解x。即可求出学校旗杆GH的高度。
（3）开放性答案。
24．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
25．（2019·达州）如图1，已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当 时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N， 和 的面积分别为 ，求 的最大值．
【答案】（1）解：由题意把点 代入 ，
得， ，
解得 ，
∴此抛物线解析式为： ，顶点C的坐标为
（2）解：∵抛物线顶点 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则 ，
在 中， ，
，
∴当 时，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
，
，
，
，
，
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线 的对称点D'的坐标为 ，
∴点D的坐标为 或
（3）解：设 ，
将 代入 ，
得， ，
解得， ，
当 时， ，
如图2，
，
由二次函数的性质知，当 时， 有最大值 ，
和 的面积分别为m、n，
的最大值为 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的特点，将AB两点代入，待定系数法求解二次函数解析式。然后将其转化为顶点式，即可写出顶点坐标。
（2）当D在X轴左侧时， 设抛物线对称轴与x轴交于点H ，即可写出顶点坐标C与H的坐标。在直角三角形中利用正切函数值，以及相似三角形的判定与性质，对应边成比例。即而求出AO、AD的值，从而求出点D的坐标。根据对称轴对称的性质特点，求出D点在对称轴右侧的坐标。
（3）点P同时在这两个函数图象上，根据二次函数表达式故设点，然后设 一次函数表达式，将PA两点代进去，待定系数法求解。即而求出一次函数与y轴交点N。已知 和 的面积 ，将其面积表达式写出来。S△BMP=S△BPA-S四边BMNOS△AON；S△EMN=S△EBO-S四边形BMNO。m-n即两个三角形面积之差，转化为二次函数求最值问题。
26．（2019·徐汇模拟）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝ ，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
【答案】（1）设∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD， ∵cosα＝ ， ∴sinα＝ ， 过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC sinα＝6＝DF，BH＝2，
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB＝ ，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10 5a，
解得：a＝2或 （舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝ ；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC CE＝CD2，
即：y＝ x2﹣ x+10（0＜x≤10）…①，
（3）①当DF＝DC时， ∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10＝ x2﹣ x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝ ，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x＝ ；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在； 故：AD的长为6和 ．
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；同角三角函数的关系；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 过点A作AH⊥BC交于点H ， 已知cos∠ACB＝ ，同角三角函数转换，得sin∠ACB=.可求出 AH＝AC sinα＝6 。所以HC=8，BH=2.△EFC，设 FC＝4a ，则 EF＝3a，EC＝5a 。根据对应两角相等的两三角形相似判定定理得 △ADC∽△DCE。然后对应边成比例=，又CD2＝DF2+FC2，所以可求FC的长度，即而求出HF的长度， AD＝HF 。
（2） 求y关于x的函数解析式 ，已知AD为x，要想y和x有关联，从两方都有关系的CD入手。 过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H ，将DH用含有x等式表达，利用勾股定理写出一个方程， 由（1）得：AC CE＝CD2 ，写出另一个方程式，综合求解得 y＝ x2﹣ x+10， （0＜x≤10） .
（3） 当△DFC是等腰三角形 ，又分为几种情况。 当DF＝DC ，首先判定 △DFC∽△CFE ，根据对应边成比例， DF＝DC ，推出 FC＝EC ，所以 x+y＝10 ，得x=6；当 FC＝DC ，得 DE＝AE ，知道 cos∠ACB＝ ，∠ACB=∠DAE，进行三角函数运算可得关于x的一个方程，求解即得x，即AD的长度；当 FC＝FD ， 则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立 。所以AD的值有两种情况。
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