2021-2022学年浙教版数学九下1.3 解直角三角形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
2．（2021九上·皇姑期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据可得∠A=30°，再利用三角形的内角和可得∠B=60°，最后根据余弦的定义可得。
3．（2021九上·皇姑期末）如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：m）为（ ）
A．6.6 B．11.6 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知米，．
∵，
∴在中，米．
∴米．
故答案为：D．
【分析】先利用锐角三角函数求出，再根据线段的和差可得。
4．（2021九上·农安期末）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O=AO=5，
∴sinα=，
∴A′C=5sinα，
故答案为：C．
【分析】先求出A′O=AO=5，再利用锐角三角函数求解即可。
5．（2021九上·二道期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
6．（2021九上·东平月考）如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，，
由题意知，，，四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即：树AB的高度是30m，
故答案为：B．
【分析】先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021九上·东平月考）如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵是的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用锐角三角函数求出，最后计算求解即可。
8．（2021九上·东平月考）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40 =5cos40 .
故答案为：B.
【分析】根据梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，求解即可。
9．（2021九上·永年月考）如图，中， ，点D在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故答案为：C．
【分析】先求出AB=5，再求出cos∠DBC=cosA=，最后计算求解即可。
10．（2021九上·东昌府期中）如图， 中， ， ， ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，这样继续作下去，线段 （ 为正整数）等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】 ， ， ；
， ， ；
， ， ；
， ， ；
根据规律可知， .
【分析】大大小小的三角形全部是30°、60°、90°的特殊三角形，因为AC=1，所以再30°角的余弦中总是存在一个关系，据此即可得出答案。
二、填空题
11．（2021九上·铁西期末）如图，在中，是边上的高，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×ACAC3，
∴AD3，
在Rt△ADB中，BD，
∴BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【分析】利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
12．（2021九上·东平月考）如图，在中，已知，，，则 ．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D点．
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
∵AB2=AD2+BD2，AB=，
∴AD=BD=3，
又∵∠C=30°，
∴AC=2AD=6
【分析】先求出∠BAD=∠B=45°，再求出AD=BD=3，最后计算求解即可。
13．（2021九上·休宁月考）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R，其内接正十二边形的周长为C．若R＝，则C＝ ，≈ （结果精确到0.01，参考数据：≈2.449，≈1.414）．
【答案】24；3.11
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，
作与点H
正十二边形的周长
故答案为：24；3.11
【分析】根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，，作与点H，再求出，再根据勾股定理求出，再根据正十二边形的性质求解即可。
14．（2021九上·新化期末）如图，小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他每向前走60m，他的高度就升高36m，则这个斜坡的坡度等于 .
【答案】1：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他每向前走60m，他的高度就升高36m，
=48（m），
∴这个斜坡的坡度等于36：48=1：.
故答案为：1：.
【分析】首先根据勾股定理求出水平距离，据此可得坡度.
15．（2021九上·长春月考）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了5米，那么物体离地面的高度为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作BC⊥地面于点C，
设BC＝x米，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，
∴AC＝2x米，
由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，即（2x）2＋x2＝52，
解得，x＝ (负值舍去)，即BC＝ 米，
故答案为： ．
【分析】想求出AC＝2x米，再求出（2x）2＋x2＝52，最后求解即可。
16．（2021九上·宁波月考）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
【答案】8.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，
∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈
解得：CD= ≈8.6.
故答案为：8.6米.
【分析】由题意知：∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，根据∠DBC的正切函数可得BC，根据∠A的正切函数就可求出CD.
三、综合题
17．（2021九上·皇姑期末）如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．
（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；
（2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，
∴BC＝AB sin45°＝4×＝2（m），
答：伸展臂BC的长为2米；
（2）解：如图：
由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，
在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，
∴AD＝AB cos30°＝4×＝2（m），
∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，
∴∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝45°，
在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m，
∴CD＝BC cos45°＝2×＝2（m），
∴AC＝CD＋AD＝2＋2，
∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2＋2）米的土石．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数列出算式BC＝AB sin45°求解即可；
（2）过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，先利用锐角三角函数求出AD的长和CD的长，最后利用AC＝CD＋AD计算即可。
18．（2021九上·绿园期末）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A的仰角为32.6°．
信息二：在处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得米，点D、、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：，，．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在中， （填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），∴ （填0.54、0.84或0.64）．
设米，则 （用含x的代数式表示）米， （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息，求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 （精确到0.1）米．
【答案】（1）；0.64；；x
（2）解：由题意得，，
解得：；
（3）36.8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ACE中，，
∴；
设AE=x米，则CE=x=，
在Rt△AC'E中，∠AC'E=45°，
AE= C'E=x，
故答案为：，0.64，，x．
（3）故AB=AE+BE=+1.2≈36.8(米)．
故答案为：36.8．
【分析】（1）先求出，再求出CE=x=，最后作答即可；
（2）先求出 ， 再解方程即可；
（3）求出AB=AE+BE=+1.2≈36.8(米)即可作答。
19．（2021九上·东平月考）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东 方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行 km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东 方向，然后他由B地沿北偏东 方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
【答案】（1）解：依题意知： ， ，
过点B作 于D点，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵，
∴
过点P作 于E
∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先求出AD=BD=4，再求出PD的值，最后计算求解即可；
（2）先求出∠PBE=60°，再求出CE=8，最后求解即可。
20．（2021九上·永年月考）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，A点到B点的距离．（参考数据：，，）
（1）求盲区中的长度；
（2）点M在上，，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
【答案】（1）解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB sin45°（m），
∴DF=AC=1（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tanE=
∴DE≈（m），
答：盲区中DE的长度为2.5m；
（2）解：如图所示：过点M作NM⊥ED，交于N， 则
∵ED=2.5m，MD=1.8m，
∴EM=0.7m， FD=AC=1m，
则△EMN∽△EDF，
即
解得：MN=0.28，
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ACDF是平行四边形， 再求出 DF=AC， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质列方程计算求解即可。
21．（2021九上·佛山月考）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
【答案】（1）解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，
∴BE=EC，
∴AC=2AE
设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，
∴海里，
∴海里，
∴，
解得：x＝100，
∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°
过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，
∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y，
∴，
∵海里
∴y＋y＝200，
解得：，
∴海里；
（2）解：由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BCE=∠EBC=45°， 再求出 ∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75° ，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）求出 即可作答。
22．（2021九上·淮北月考）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物底部之间的水平距离BD；
（2）求建筑物CD的高度；（精确到1m，参考数据：sin 69°≈0.93、cos69°≈0.36、tan 69°≈2.70、≈1.73）
【答案】（1）解：，∠EAD69°
建筑物底部之间的水平距离BD约30米；
（2）解：如图，作，
则四边形是矩形
，
建筑物CD的高度约63米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADB=∠EAD=69°，再利用锐角三角函数的定义可得，再求出BD即可；
（2）作，再证明四边形是矩形，再根据，求出AF的长，最后利用计算即可。
23．（2021九上·淮北月考）淮北市为缓解“停车难”问题．建造地下停车库，如图已知，，C在BD上，．根据规定，停车库坡道入口上方要张贴限高标准值，以告知驾驶员能否安全驶入．小明认为CD的长就是限高值，而小亮认为应该以CE的长作为限高值．（参考数据：，，，结果精确到）
（1）请你判断小明和小亮谁说的对？
（2）计算出正确的限高值．
【答案】（1）解：小亮说的对；
（2）解：作于E，
在中，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴正确的限高值为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（2）作于E，先求出，再利用线段的和差可得，再利用锐角三角函数求解即可。
24．（2021九上·炎陵期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°，
（1）求证：BD2=BA·BE；
（2）若AB=6，BE=8，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2=BA·BE；
（2）解：∵由（1）可知，BD2=BE·BA，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴CD=4.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△BAD∽△BDE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式BD：BE=BA：BD，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）由（1）中的乘积式可求得BD的值，用勾股定理求得AD的值，结合正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可求得∠ABD的度数，则可得∠ABC的度数，然后由锐角三角函数tan∠ABC=求得AC的值，于是由线段的构成CD=AC-AD可求解.
25．（2021九上·长春月考）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求∠APB的度数．
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）解：如图所示：作 交 的延长线于点 ，根据题意可得：
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 海里，则 海里， 海里，
∵在 中， ，
即 ，
解得： ．
∴海监船继续向正东方向航行安全．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）求出∠APB=15°，即可作答；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
26．（2021九上·舟山月考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1）
（1）如图2， ， ．
①填空： ▲ °；
②求投影探头的端点 到桌面 的距离．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】（1）解：①160°
② 如图，过A作AF⊥BC于F，
则AF=ABsin∠ABE=30sin70°≈28.2（cm），
∴ 投影探头的端点 到桌面 的距离为：AF+OA-CD=28.2+6.8-8=27（cm） .
（2）解：如图，过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，
则∠MBA=70°，AF= 28.2cm，DH=6cm，BC= 30cm，CD= 8cm，
∴CM= AF+ AO- DH- CD= 28.2+6.8-6- 8= 21(cm)，
sin∠MBC===0.6，
∴∠MBC= 36.8° ，
∴∠ABC=∠ABM-∠MBC=33.2°.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：(1) ①如图，过点A作AG//BC，则∠BAG=∠ABC= 70°，
∴∠BAO=∠BAG+∠GAO=90°+70°=160°.
故答案为：160°.
【分析】(1) ①过点A作AG∥BC，根据平行线的性质求∠BAO即可；
②过点A作AF⊥BC于点F，根据锐角三角函数的定义求出AF，则可根据线段间的和差关系计算即可；
(2)过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，先根据线段的和差关系求出CM长，再根据锐角三角函数的定义求出∠MBC，则可根据角的和差关系即可解答.
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下1.3 解直角三角形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2021九上·皇姑期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·皇姑期末）如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：m）为（ ）
A．6.6 B．11.6 C． D．
4．（2021九上·农安期末）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（2021九上·二道期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
6．（2021九上·东平月考）如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
7．（2021九上·东平月考）如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2021九上·东平月考）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·永年月考）如图，中， ，点D在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·东昌府期中）如图， 中， ， ， ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，这样继续作下去，线段 （ 为正整数）等于（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·铁西期末）如图，在中，是边上的高，，，，则的长为 ．
12．（2021九上·东平月考）如图，在中，已知，，，则 ．
13．（2021九上·休宁月考）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R，其内接正十二边形的周长为C．若R＝，则C＝ ，≈ （结果精确到0.01，参考数据：≈2.449，≈1.414）．
14．（2021九上·新化期末）如图，小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他每向前走60m，他的高度就升高36m，则这个斜坡的坡度等于 .
15．（2021九上·长春月考）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了5米，那么物体离地面的高度为 ．
16．（2021九上·宁波月考）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ ，tan53°≈ ）
三、综合题
17．（2021九上·皇姑期末）如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．
（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；
（2）若（1）中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）
18．（2021九上·绿园期末）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A的仰角为32.6°．
信息二：在处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得米，点D、、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：，，．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在中， （填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），∴ （填0.54、0.84或0.64）．
设米，则 （用含x的代数式表示）米， （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息，求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 （精确到0.1）米．
19．（2021九上·东平月考）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东 方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行 km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东 方向，然后他由B地沿北偏东 方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
20．（2021九上·永年月考）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，A点到B点的距离．（参考数据：，，）
（1）求盲区中的长度；
（2）点M在上，，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
21．（2021九上·佛山月考）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
22．（2021九上·淮北月考）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物底部之间的水平距离BD；
（2）求建筑物CD的高度；（精确到1m，参考数据：sin 69°≈0.93、cos69°≈0.36、tan 69°≈2.70、≈1.73）
23．（2021九上·淮北月考）淮北市为缓解“停车难”问题．建造地下停车库，如图已知，，C在BD上，．根据规定，停车库坡道入口上方要张贴限高标准值，以告知驾驶员能否安全驶入．小明认为CD的长就是限高值，而小亮认为应该以CE的长作为限高值．（参考数据：，，，结果精确到）
（1）请你判断小明和小亮谁说的对？
（2）计算出正确的限高值．
24．（2021九上·炎陵期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE=∠BAD=90°，
（1）求证：BD2=BA·BE；
（2）若AB=6，BE=8，求CD的长.
25．（2021九上·长春月考）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求∠APB的度数．
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
26．（2021九上·舟山月考）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1）
（1）如图2， ， ．
①填空： ▲ °；
②求投影探头的端点 到桌面 的距离．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据可得∠A=30°，再利用三角形的内角和可得∠B=60°，最后根据余弦的定义可得。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知米，．
∵，
∴在中，米．
∴米．
故答案为：D．
【分析】先利用锐角三角函数求出，再根据线段的和差可得。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O=AO=5，
∴sinα=，
∴A′C=5sinα，
故答案为：C．
【分析】先求出A′O=AO=5，再利用锐角三角函数求解即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，，
由题意知，，，四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即：树AB的高度是30m，
故答案为：B．
【分析】先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵是的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用锐角三角函数求出，最后计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40 =5cos40 .
故答案为：B.
【分析】根据梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，求解即可。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故答案为：C．
【分析】先求出AB=5，再求出cos∠DBC=cosA=，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】 ， ， ；
， ， ；
， ， ；
， ， ；
根据规律可知， .
【分析】大大小小的三角形全部是30°、60°、90°的特殊三角形，因为AC=1，所以再30°角的余弦中总是存在一个关系，据此即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×ACAC3，
∴AD3，
在Rt△ADB中，BD，
∴BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【分析】利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
12．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D点．
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
∵AB2=AD2+BD2，AB=，
∴AD=BD=3，
又∵∠C=30°，
∴AC=2AD=6
【分析】先求出∠BAD=∠B=45°，再求出AD=BD=3，最后计算求解即可。
13．【答案】24；3.11
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，
作与点H
正十二边形的周长
故答案为：24；3.11
【分析】根据圆内接正十二边形每边所对的圆心角为，作出，则，，作与点H，再求出，再根据勾股定理求出，再根据正十二边形的性质求解即可。
14．【答案】1：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他每向前走60m，他的高度就升高36m，
=48（m），
∴这个斜坡的坡度等于36：48=1：.
故答案为：1：.
【分析】首先根据勾股定理求出水平距离，据此可得坡度.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作BC⊥地面于点C，
设BC＝x米，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，
∴AC＝2x米，
由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，即（2x）2＋x2＝52，
解得，x＝ (负值舍去)，即BC＝ 米，
故答案为： ．
【分析】想求出AC＝2x米，再求出（2x）2＋x2＝52，最后求解即可。
16．【答案】8.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，
在Rt△CBD中，tan∠DBC= ，
∴BC= ≈ ，
在Rt△CAD中，tan∠A= ，即 =tan37°≈
解得：CD= ≈8.6.
故答案为：8.6米.
【分析】由题意知：∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，根据∠DBC的正切函数可得BC，根据∠A的正切函数就可求出CD.
17．【答案】（1）解：如图：
由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，
∴BC＝AB sin45°＝4×＝2（m），
答：伸展臂BC的长为2米；
（2）解：如图：
由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，
在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，
∴AD＝AB cos30°＝4×＝2（m），
∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，
∴∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝45°，
在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m，
∴CD＝BC cos45°＝2×＝2（m），
∴AC＝CD＋AD＝2＋2，
∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2＋2）米的土石．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数列出算式BC＝AB sin45°求解即可；
（2）过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，先利用锐角三角函数求出AD的长和CD的长，最后利用AC＝CD＋AD计算即可。
18．【答案】（1）；0.64；；x
（2）解：由题意得，，
解得：；
（3）36.8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ACE中，，
∴；
设AE=x米，则CE=x=，
在Rt△AC'E中，∠AC'E=45°，
AE= C'E=x，
故答案为：，0.64，，x．
（3）故AB=AE+BE=+1.2≈36.8(米)．
故答案为：36.8．
【分析】（1）先求出，再求出CE=x=，最后作答即可；
（2）先求出 ， 再解方程即可；
（3）求出AB=AE+BE=+1.2≈36.8(米)即可作答。
19．【答案】（1）解：依题意知： ， ，
过点B作 于D点，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵，
∴
过点P作 于E
∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先求出AD=BD=4，再求出PD的值，最后计算求解即可；
（2）先求出∠PBE=60°，再求出CE=8，最后求解即可。
20．【答案】（1）解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB sin45°（m），
∴DF=AC=1（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tanE=
∴DE≈（m），
答：盲区中DE的长度为2.5m；
（2）解：如图所示：过点M作NM⊥ED，交于N， 则
∵ED=2.5m，MD=1.8m，
∴EM=0.7m， FD=AC=1m，
则△EMN∽△EDF，
即
解得：MN=0.28，
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ACDF是平行四边形， 再求出 DF=AC， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质列方程计算求解即可。
21．【答案】（1）解：如图，过点C作CE⊥AB于E，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，
∴BE=EC，
∴AC=2AE
设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，
∴海里，
∴海里，
∴，
解得：x＝100，
∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°
过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，
∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y，
∴，
∵海里
∴y＋y＝200，
解得：，
∴海里；
（2）解：由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BCE=∠EBC=45°， 再求出 ∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75° ，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）求出 即可作答。
22．【答案】（1）解：，∠EAD69°
建筑物底部之间的水平距离BD约30米；
（2）解：如图，作，
则四边形是矩形
，
建筑物CD的高度约63米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADB=∠EAD=69°，再利用锐角三角函数的定义可得，再求出BD即可；
（2）作，再证明四边形是矩形，再根据，求出AF的长，最后利用计算即可。
23．【答案】（1）解：小亮说的对；
（2）解：作于E，
在中，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴正确的限高值为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解即可；
（2）作于E，先求出，再利用线段的和差可得，再利用锐角三角函数求解即可。
24．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠EBD，
又∵∠BDE=∠BAD=90°，
∴△BAD∽△BDE ，
∴BD：BE=BA：BD ，
即BD2=BA·BE；
（2）解：∵由（1）可知，BD2=BE·BA，且AB=6，BE=8 ，
∴BD=4，
∴AD2=BD2-AB2=12 即AD= ，
∵sin∠ABD==，
∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，
∴∠ABC=60° ，
∴CA=BA×tan60°=6 ，
∴CD=4.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△BAD∽△BDE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式BD：BE=BA：BD，再把比例式化为乘积式即可求解；
（2）由（1）中的乘积式可求得BD的值，用勾股定理求得AD的值，结合正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可求得∠ABD的度数，则可得∠ABC的度数，然后由锐角三角函数tan∠ABC=求得AC的值，于是由线段的构成CD=AC-AD可求解.
25．【答案】（1）解：如图所示：作 交 的延长线于点 ，根据题意可得：
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 海里，则 海里， 海里，
∵在 中， ，
即 ，
解得： ．
∴海监船继续向正东方向航行安全．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）求出∠APB=15°，即可作答；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
26．【答案】（1）解：①160°
② 如图，过A作AF⊥BC于F，
则AF=ABsin∠ABE=30sin70°≈28.2（cm），
∴ 投影探头的端点 到桌面 的距离为：AF+OA-CD=28.2+6.8-8=27（cm） .
（2）解：如图，过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，
则∠MBA=70°，AF= 28.2cm，DH=6cm，BC= 30cm，CD= 8cm，
∴CM= AF+ AO- DH- CD= 28.2+6.8-6- 8= 21(cm)，
sin∠MBC===0.6，
∴∠MBC= 36.8° ，
∴∠ABC=∠ABM-∠MBC=33.2°.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：(1) ①如图，过点A作AG//BC，则∠BAG=∠ABC= 70°，
∴∠BAO=∠BAG+∠GAO=90°+70°=160°.
故答案为：160°.
【分析】(1) ①过点A作AG∥BC，根据平行线的性质求∠BAO即可；
②过点A作AF⊥BC于点F，根据锐角三角函数的定义求出AF，则可根据线段间的和差关系计算即可；
(2)过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，先根据线段的和差关系求出CM长，再根据锐角三角函数的定义求出∠MBC，则可根据角的和差关系即可解答.
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