2021-2022学年浙教版数学九下2.2切线长定理同步练习
一、单选题
1．（2021·福建）如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5.
∴ = =
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用切线的性质及切线长定理得出∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，根据圆周角定理∠COP＝2∠CAO，从而得出∠COP＝∠CAD，在Rt△COP中，利用勾股定理求出OP， 利用 = = 即得结论.
2．（2021·泸县）如图， 的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与 相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，利用已知易证四边形ABGD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BG，AB=DG=8，利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10，可求出BC的长；利用AAS证明△HAO≌△BCO，利用全等三角形的对应边相等，求出AD，HD的长；然后利用勾股定理求出BD的长，由AD∥BC，可证得△DHF∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出BF的长.
3．（2021·武汉模拟）如图，从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点， 为 上的一点，连接 交 于点 ，若 ， ， ，则 的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ， ，
∵从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点，
∴ ， ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， （不合题意舍去），
∴ 的半径长是 ，
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=9，∠BPO=∠APO，∠OBC=90°，再利用平行线的性质可证得∠COP=∠OPA=∠OPB，利用等角对等边可求出PC的长，从而可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于OD的方程，解方程求出OD的长，可得到圆的半径.
4．（2021九上·秦淮期末）已知四边形ABCD，下列命题：①若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 ；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则 ，其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；确定圆的条件；切线的判定；切线长定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360 ，
∵ ，
∴∠B+∠D=180 ，
则四边形ABCD一定存在外接圆，
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结DC'，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC'B=180°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠DC'B=∠C，
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外，
类似地可证C不可能在圆内，
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆，
若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆是真命题，
②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，
∴A、B、C、D四点在同一圆上，
由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴ ；
若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 是真命题；
③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，设点O到向四边作垂线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
由题意知：OE=OF=OG=OH，
∴E、F、G、H四点在同一圆上，
由切线的判定定理知，
AB、BC、CD、DA是圆的切线，
由切线的性质知AE=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，
AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=（AE+DE）+（BG+CG）=AD+BC，
则 ，
若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则 是真命题.
故答案为：D.
【分析】①由 ，利用四边形的内角和得出∠B+∠D=180 ，可证四边形ABCD一定存在外接圆，据此判断即可；②由于四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，可得A、B、C、D四点在同一圆上，根据圆内接四边形对角互补即得，据此判断即可；③由四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，可证AB、BC、CD、DA是圆的切线，由切线的性质知AE=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，从而得出，据此判断即可.
5．（2020九上·安丘期末）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC=DT B．AD= DT C．BD=BO D．2OC=5AC
【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD．
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，A不符合题意；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD= CD= DT，B不符合题意；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，C不符合题意；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2 ，
∴ ，
2OC 5AC，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】如图，连接OD，想办法证明选项A、B、C正确即可解决问题。
6．（2021九上·大洼期末）如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且AB DC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】连结OF，
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、F、G，
又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长，
∴CG=CF，BE=BF，
∴①CG=CF，②BE=BF正确；
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90°，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，
∴∠EBO=∠FBO，∠FCO=∠GCO，
∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），
∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，
∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180°，
∴2∠FOB+2∠FOC=180°，
∴∠FOB+∠FOC=90°，
∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90°，
∴③∠BOC=90°正确；；
由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，
∵∠EOB+∠EBO=90°，∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，
△BEO∽△BOC∽△OGC，
∴④△BEO～△BOC～△OGC正确，
①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个，
故答案为：A.
【分析】连结OF，①②利用切线长定理即可判断正确性，③先推导∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90°，再证∠EBO=∠FBO，∠FCO=∠GCO，可证△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），可推出∠FOB+∠FOC=90°，即∠BOC=90°③正确；④由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，再证∠GOC=∠EBO=∠OBC，可得△BEO∽△BOC∽△OGC④正确.
7．（2020九上·河北期中）如图， 、 、 是 的切线，切点分别是 、 、 ， 分别交 、 于 、 两点，若 ，则 的度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接AO，BO，OE，
∵PA、PB是O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90 ，
∵ ，
∴ ，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质即可得到∠PAO=∠PBO=90°，继而由已知和四边形的内角和求出∠AOB的度数，根据切线长定理求出∠COD的度数即可。
8．（2020九下·金山月考）如图，∠MON=30°，p是∠MON的角平分线，PQ平行ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与 相交，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜12 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8 D．r＞4
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线长定理
【解析】【解答】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，
∵PQ∥ON，
∴PQ⊥PB，
∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴QA=PB=4，
∵∠MON=30°，
∴OQ=2QA=8，
∵OP平分∠MON，PQ∥ON，
∴∠QOP=∠PON=∠QPO，
∴PQ=OQ=8，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相外切时，r=8-4=4，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相内切时，r=8+4=12，
∴以Q为圆心半径为r的圆与 相交，4故答案为：A.
【分析】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，得到四边形ABPQ是矩形，QA=PB=4，根据∠MON=30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r，即可得到两圆相交时的半径r的取值范围.
9．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
10．（2020·江西模拟）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，
则OA＝OB＝r，∠APO＝∠BPO＝30°，∴APOAr．
∵∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S＝S四边形AOBP﹣S扇形AOB＝2 r ＝（ π）r2（r＞0）．
故答案为：C．
【分析】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，利用切线的性质得OA＝OB＝r，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝30°，则APOAr，再利用四边形内角和计算出∠AOB＝120°，接着利用扇形面积公式得到S＝（ π）r2（r＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．
二、填空题
11．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则圆O的半径为 。
【答案】2
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，设半径为r，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∵ ∠C=90°， OD=OE=OF，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CE=CF=r，
∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC=5，
∴BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2，
∴ 圆O的半径为2.
【分析】连接OD，OE，OF，设半径为r，证出四边形OFCE是正方形，得出CE=CF=r，再根据切线长定理得出BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，根据勾股定理得出AB=13，从而得出5-r+12-r=13，得出r的值，即可得出答案.
12．（2021·宁波模拟）如图，在 中， ，点 为边 上一动点，连结 .以 为圆心， 为半径作圆，交 于 ，过 作⊙O的切线，交 于点 .当⊙O与边 相切时， 的长为 .
【答案】
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当 与边 相切时，易证 且 .
设 ，则 .
易证 ，得 ，解得 .
【分析】由切线长定理可得DE=CE，设DE=CE=m，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACO，由相似三角形的对应边成比例可得比例式可求解.
13．（2021·老河口模拟）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
【答案】65°或115°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
14．（2021九下·江油开学考）如图，AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，OA＝2，∠ACB＝60°，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解： 连接OC，如图，
∵AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，
在Rt△OAC中，AC=OA=，
∴阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB=2×××2-=.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线长定理和切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，则∠AOB=120°，∠ACO=∠BCO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB进行计算.
15．（2020九上·沭阳期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离 .
【答案】13
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OB、OP，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，
∴AC=CE，ED=BD，PA=PB，
∵△PCD的周长为24，
∴PC+CE+ED+PD=24，
∴PA+PB=24，
∴PB=12，
∵PB是⊙O的切线，OB是⊙O半径，
∴OB⊥PB，
∴OP= = =13.
故答案为：13
【分析】如图，连接OB、OP，根据切线长定理可得AC=CE，ED=BD，PA=PB，根据△PCD的周长可求出PB的长，根据切线的性质可得OB⊥PB，利用勾股定理求出OP的长即可.
16．（2020九上·南京月考）如图，已知PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO=13，AO=5，则△PCD周长为 .
【答案】24
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接
是 的切线，点 是切点，
；
为圆的两条相交切线，
；
同理可得： .
的周长
的周长
的周长 ；
故答案为：24.
【分析】由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DE，CE＝EB，由于△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，所以△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，故可求得三角形的周长.
三、综合题
17．（2021·南开模拟）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】（1）解：∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA=MB．
∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（2）解：如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA．
又∵BD=MA，
∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，
∴四边形MADB是菱形．
∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB =AD ．
∴AB=AD=BD．
∴△ABD是等边三角形．
∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，结合切线长定义以及三角形的内角和定理，求出∠AMB的度数即可；
（2）根据垂径定理，由菱形、平行四边形的判定定理，结合菱形的性质，计算得到答案即可。
18．（2021·汉寿模拟）已知如图：AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点.
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵ 和 是它的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ 切 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（2）证明：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1） 由切线的性质可得，，从而得出AM∥BN，可得∠ADE+∠BCE
=180°，由DC与⊙O相切于点E，根据切线长定理可得，， 从而得出，根据三角形内角和可得即可得出结论；
（2）证明 ，可得，结合OA=OB=AB即得结论.
19．（2021·海安模拟）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线，∠C = 30°.
（1）求∠CBD的度数；
（2）过点 B 作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB=6， 依题意补全图形并求DE的长.
【答案】（1）解：连接OD，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∵∠C = 30°，
∴ ，
∵OD=OB，
∴ ，
∴
（2）解：由题意可得如图所示，
∵在Rt△ADB中， ，
∴ ，
∴ ，
∵BE、CD是圆的切线，
∴ ，
在Rt△BCD中， ，
∴ ，
∴△DEB是等边三角形，DE=DB= .
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OD，利用切线的性质得∠COD=90°，利用已知可求出∠DOC的度数，利用等边对等角可证得∠ODB=∠B，由此可求出∠CBD的度数；
（2）根据已知补全图形，利用解直角三角形可求出BD的长，利用切线长定理可证得EB=ED，利用等边三角形的判定定理可证得△DEB是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得DE=DB，即可求出ED的长.
20．（2021九下·江油开学考）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）OP与⊙O相交于点D，直线CD交PB于点E，若CE⊥PB，CE＝4，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OC,过点O作OT⊥PB于T
∵PA是⊙O的切线,
∵OC⊥PA，
∵OP平分∠APB，OT⊥PB.
∴OC=OT,
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵CE⊥PB,OT⊥PB
∴∠CEP=∠OTP=90°
∴CE//OT，
∴∠ODC=∠DOT,
∵PA,PB是00的切线,
∴PC=PT,
在△OPC与△OPT 中,
∴OOPC≌OOPT(SSS),
∴∠ POC=∠POT=∠ODC
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠COD=∠OCD=∠ODC=60°
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=OD,
∴∠OPC=90°-60°=30°
∵∠ODC=∠DCP+∠DPC,
∴∠DCP=∠DPC=30°,
∴DC=DP=OD,
∵DE//OT,
∴ET=EP，
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OC，过点O作OT⊥PB于T，利用角平分线的性质定理，证明OC=OT即可；
（2）根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CE//OT，由切线长定理可得PC=PT，然后证明△OPC≌△OPT，根据全等三角形的性质以及平行线的性质可推出∠POC=∠POT=∠ODC，得到CD=OC=OD，然后由外角的性质求出∠DCP=∠DPC=30°，得到DC=DP=OD，接下来求出CE、OC的值即可.
21．（2021九上·玄武期末）如图， 是 的切线，A为切点，点B、C、D在 上，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，则 的度数为 °.
【答案】（1）证明：连接 ， ，
∵ 是 的切线，A为切点
∴
在 和 中，
∵ ， ，
∴
∴
∴ ，且 过半径 的外端
∴ 是 的切线.
（2）220
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（2）连接
由（1）可知 ，
∴ ，
圆内接四边形 中
∴ .
故答案为：220.
【分析】（1）连接 ， ， ，利用切线的性质得出∠PAO=90°，根据SSS可证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2）连接 ，利用切线长定理可得PB=PA，从而得出，根据圆内接四边形对角互补，可得，从而求出.
22．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ，点 是 上的一点，且 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求弦 及 ， 的长.
【答案】（1）证明：连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= ∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= ＝ ＝2 .
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2 .
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠AOB的度数；再根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠OAP=90°，由 四边形的内角和为360°可求得∠OBP=90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）连接OP，由切线长定理可得PA=PB， 在Rt△OAP中， 用勾股定理可求得PA的长，再根据等边三角形的判定和性质可求解.
23．（2020九上·东城期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画 ．
（1）补全图形，判断直线 与 的位置关系，并证明；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）解：图形如图所示，结论AB与⊙D相切．
理由：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∴DE为⊙D的半径，
∴⊙D与AB相切；
（2）解：设DE=DC=r，BE=x．
∵AC⊥BC，DC为半径，
∴AC是⊙D的切线，
∵AB是⊙D的切线，
∴AC=AE=2CD=2r，
∵∠ACB=∠BED=90°，
则有 ，解得 ，
∴⊙D的半径为3．
【知识点】切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与相切，过点D作DE⊥AB于E，证明DE=DC即可；
（2）设DE=DC=r，BE=x，利用勾股定理构建方程组求解即可。
24．（2021九上·江都期末）如图，射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别与⊙O相切于点C、D.
（1）请写出两个正确结论；
（2）若PD=6，∠CPO=30°，求⊙O的半径.
【答案】（1）PC=PD，∠CPO=∠DPO
∵PC、PD分别与⊙O相切于点C、D，
∴PC=PD，∠CPO=∠DPO；
（2）连接OC，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC,
又∠CPO=30°，PC=PD=6，
∴OC=PC·tan∠CPO=6·tan30°= ，
即⊙O的半径为 .
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理及其推论即可解答；
（2）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥PC，再根据直角三角形的边角关系求解OC即可.
25．（2020九上·南京期中）如图， 是⊙O的切线，切点是 ，点 、 、 是 上的点， .
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，则 °.
【答案】（1）证明：如图，连接 ， ， .
∵ 是 的切线
∴
∵在 和 中， ， ， ，
∴ .
∴
∵点 在 上，
∴ 是 的切线
（2）76
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（2）如图，连接BA，
∵∠C＝92°，
∴∠BAD＝180° ∠C＝88°，
∵∠MAD＝40°，
∴∠PAB＝180° 40° 88°＝52°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝52°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝76°.
故答案为：76.
【分析】（1）连接OA、OB、OP，由切线的性质可得∠PAO=90°，证明△PBO≌△PAO，得到∠PBO=∠PAO=90°，据此证明；
（2）连接BA，由圆内接四边形的性质可得∠BAD的度数，由平角的概念求出∠PAB的度数，由切线长定理可得PA＝PB，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.
26．（2019九上·邹城期中）已知：如图， 分别切 于点 点．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）解：连接OA、OB和OE
∵点A和点B均为圆O的切点
∴∠PAO=∠PBO =90°
∴∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=140°
又CA和CE均为圆的切线
∴∠ACO=∠ECO，∠OAC=∠OEC=90°
∴∠AOC=∠EOC=
同理可得∠EOD= ∠EOB
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= =70°
（2）解：∵PA、PB和CD分别切圆O于点A、B和E点
∴CE=CA，DE=DB，PA=PB
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=20cm
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OA、OB和OE，根据圆的切线性质求出∠AOB的度数，再次利用圆的切线的性质求出∠AOC=∠EOC= 和∠EOD= ∠EOB，即可得出答案；（2）根据切线长定理得出CE=CA，DE=DB，PA=PB，再结合周长公式计算即可得出答案．
27．（2019九上·上饶期中）如图，A是△PBD的边BD上一点，以AB为直径的 切PD于点C，过D作DE PO交PO延长线于点E，且有∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是圆O的切线.
（2）若PB=6，DB=8，求 的半径.
【答案】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB为圆的半径
∴PB为圆O的切线;
（2）解：在R△PBD中,PB=6,DB=8，根据勾股定理得:PD= =10,
∵PD与PB都为圆的切线,
∴PC=PB=6
∴DC=PD-PC=10-6=4
在R△CDO中,设OC=T,则有
D0=8-r,
根据勾股定理得: (8-r)2=r2+42
解得:r=3,
则圆的半径为3
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】(1)由已知角相等,及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似,利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角,即可得证(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的长在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程求出方程的解得到r的值,即为圆的半径
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下2.2切线长定理同步练习
一、单选题
1．（2021·福建）如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·泸县）如图， 的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与 相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A． B． C． D．
3．（2021·武汉模拟）如图，从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点， 为 上的一点，连接 交 于点 ，若 ， ， ，则 的半径长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·秦淮期末）已知四边形ABCD，下列命题：①若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 ；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则 ，其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2020九上·安丘期末）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（ ）
A．DC=DT B．AD= DT C．BD=BO D．2OC=5AC
6．（2021九上·大洼期末）如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且AB DC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2020九上·河北期中）如图， 、 、 是 的切线，切点分别是 、 、 ， 分别交 、 于 、 两点，若 ，则 的度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
8．（2020九下·金山月考）如图，∠MON=30°，p是∠MON的角平分线，PQ平行ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与 相交，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜12 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8 D．r＞4
9．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
10．（2020·江西模拟）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12，则圆O的半径为 。
12．（2021·宁波模拟）如图，在 中， ，点 为边 上一动点，连结 .以 为圆心， 为半径作圆，交 于 ，过 作⊙O的切线，交 于点 .当⊙O与边 相切时， 的长为 .
13．（2021·老河口模拟）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
14．（2021九下·江油开学考）如图，AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，OA＝2，∠ACB＝60°，则阴影部分的面积为 .
15．（2020九上·沭阳期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离 .
16．（2020九上·南京月考）如图，已知PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO=13，AO=5，则△PCD周长为 .
三、综合题
17．（2021·南开模拟）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
18．（2021·汉寿模拟）已知如图：AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点.
（1）求证：
（2）求证：
19．（2021·海安模拟）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线，∠C = 30°.
（1）求∠CBD的度数；
（2）过点 B 作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB=6， 依题意补全图形并求DE的长.
20．（2021九下·江油开学考）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）OP与⊙O相交于点D，直线CD交PB于点E，若CE⊥PB，CE＝4，求⊙O的半径.
21．（2021九上·玄武期末）如图， 是 的切线，A为切点，点B、C、D在 上，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，则 的度数为 °.
22．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ，点 是 上的一点，且 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求弦 及 ， 的长.
23．（2020九上·东城期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画 ．
（1）补全图形，判断直线 与 的位置关系，并证明；
（2）若 ，求 的半径．
24．（2021九上·江都期末）如图，射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别与⊙O相切于点C、D.
（1）请写出两个正确结论；
（2）若PD=6，∠CPO=30°，求⊙O的半径.
25．（2020九上·南京期中）如图， 是⊙O的切线，切点是 ，点 、 、 是 上的点， .
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，则 °.
26．（2019九上·邹城期中）已知：如图， 分别切 于点 点．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的周长．
27．（2019九上·上饶期中）如图，A是△PBD的边BD上一点，以AB为直径的 切PD于点C，过D作DE PO交PO延长线于点E，且有∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是圆O的切线.
（2）若PB=6，DB=8，求 的半径.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5.
∴ = =
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用切线的性质及切线长定理得出∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，根据圆周角定理∠COP＝2∠CAO，从而得出∠COP＝∠CAD，在Rt△COP中，利用勾股定理求出OP， 利用 = = 即得结论.
2．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， .
故答案为：A.
【分析】 过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，利用已知易证四边形ABGD是矩形，利用矩形的性质可得到AD=BG，AB=DG=8，利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10，可求出BC的长；利用AAS证明△HAO≌△BCO，利用全等三角形的对应边相等，求出AD，HD的长；然后利用勾股定理求出BD的长，由AD∥BC，可证得△DHF∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出BF的长.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ， ，
∵从圆外一点 引圆的两条切线 ， ， ， 为切点，
∴ ， ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， （不合题意舍去），
∴ 的半径长是 ，
故答案为：D.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=9，∠BPO=∠APO，∠OBC=90°，再利用平行线的性质可证得∠COP=∠OPA=∠OPB，利用等角对等边可求出PC的长，从而可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于OD的方程，解方程求出OD的长，可得到圆的半径.
4．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；确定圆的条件；切线的判定；切线长定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360 ，
∵ ，
∴∠B+∠D=180 ，
则四边形ABCD一定存在外接圆，
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结DC'，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC'B=180°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠DC'B=∠C，
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外，
类似地可证C不可能在圆内，
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆，
若 ，则四边形ABCD一定存在外接圆是真命题，
②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，
∴A、B、C、D四点在同一圆上，
由圆内接四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴ ；
若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则 是真命题；
③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，设点O到向四边作垂线，OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
由题意知：OE=OF=OG=OH，
∴E、F、G、H四点在同一圆上，
由切线的判定定理知，
AB、BC、CD、DA是圆的切线，
由切线的性质知AE=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，
AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=（AE+DE）+（BG+CG）=AD+BC，
则 ，
若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则 是真命题.
故答案为：D.
【分析】①由 ，利用四边形的内角和得出∠B+∠D=180 ，可证四边形ABCD一定存在外接圆，据此判断即可；②由于四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，可得A、B、C、D四点在同一圆上，根据圆内接四边形对角互补即得，据此判断即可；③由四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，可证AB、BC、CD、DA是圆的切线，由切线的性质知AE=AF；BF=BG；CG=CH，DH=DE，从而得出，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD．
∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，A不符合题意；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD= CD= DT，B不符合题意；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，C不符合题意；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2 ，
∴ ，
2OC 5AC，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】如图，连接OD，想办法证明选项A、B、C正确即可解决问题。
6．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；切线长定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】连结OF，
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、F、G，
又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长，
∴CG=CF，BE=BF，
∴①CG=CF，②BE=BF正确；
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90°，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，
∴∠EBO=∠FBO，∠FCO=∠GCO，
∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），
∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，
∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180°，
∴2∠FOB+2∠FOC=180°，
∴∠FOB+∠FOC=90°，
∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90°，
∴③∠BOC=90°正确；；
由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，
∵∠EOB+∠EBO=90°，∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，
△BEO∽△BOC∽△OGC，
∴④△BEO～△BOC～△OGC正确，
①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个，
故答案为：A.
【分析】连结OF，①②利用切线长定理即可判断正确性，③先推导∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90°，再证∠EBO=∠FBO，∠FCO=∠GCO，可证△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），可推出∠FOB+∠FOC=90°，即∠BOC=90°③正确；④由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，再证∠GOC=∠EBO=∠OBC，可得△BEO∽△BOC∽△OGC④正确.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接AO，BO，OE，
∵PA、PB是O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90 ，
∵ ，
∴ ，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ECO，∠DBO=∠DEO，
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质即可得到∠PAO=∠PBO=90°，继而由已知和四边形的内角和求出∠AOB的度数，根据切线长定理求出∠COD的度数即可。
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；切线长定理
【解析】【解答】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，
∵PQ∥ON，
∴PQ⊥PB，
∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴QA=PB=4，
∵∠MON=30°，
∴OQ=2QA=8，
∵OP平分∠MON，PQ∥ON，
∴∠QOP=∠PON=∠QPO，
∴PQ=OQ=8，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相外切时，r=8-4=4，
当以Q为圆心半径为r的圆与 相内切时，r=8+4=12，
∴以Q为圆心半径为r的圆与 相交，4故答案为：A.
【分析】过点Q作QA⊥AN于A，过点P作PB⊥ON于B，得到四边形ABPQ是矩形，QA=PB=4，根据∠MON=30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r，即可得到两圆相交时的半径r的取值范围.
9．【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
10．【答案】C
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，
则OA＝OB＝r，∠APO＝∠BPO＝30°，∴APOAr．
∵∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S＝S四边形AOBP﹣S扇形AOB＝2 r ＝（ π）r2（r＞0）．
故答案为：C．
【分析】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，利用切线的性质得OA＝OB＝r，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝30°，则APOAr，再利用四边形内角和计算出∠AOB＝120°，接着利用扇形面积公式得到S＝（ π）r2（r＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．
11．【答案】2
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF，设半径为r，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∵ ∠C=90°， OD=OE=OF，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CE=CF=r，
∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC=5，
∴BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2，
∴ 圆O的半径为2.
【分析】连接OD，OE，OF，设半径为r，证出四边形OFCE是正方形，得出CE=CF=r，再根据切线长定理得出BF=BD=12-r，AD=AE=5-r，根据勾股定理得出AB=13，从而得出5-r+12-r=13，得出r的值，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当 与边 相切时，易证 且 .
设 ，则 .
易证 ，得 ，解得 .
【分析】由切线长定理可得DE=CE，设DE=CE=m，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACO，由相似三角形的对应边成比例可得比例式可求解.
13．【答案】65°或115°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解： 连接OC，如图，
∵AC与BC为⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，
在Rt△OAC中，AC=OA=，
∴阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB=2×××2-=.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线长定理和切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BC，OC平分∠ACB，则∠AOB=120°，∠ACO=∠BCO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OAC-S扇形AOB进行计算.
15．【答案】13
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OB、OP，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，
∴AC=CE，ED=BD，PA=PB，
∵△PCD的周长为24，
∴PC+CE+ED+PD=24，
∴PA+PB=24，
∴PB=12，
∵PB是⊙O的切线，OB是⊙O半径，
∴OB⊥PB，
∴OP= = =13.
故答案为：13
【分析】如图，连接OB、OP，根据切线长定理可得AC=CE，ED=BD，PA=PB，根据△PCD的周长可求出PB的长，根据切线的性质可得OB⊥PB，利用勾股定理求出OP的长即可.
16．【答案】24
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接
是 的切线，点 是切点，
；
为圆的两条相交切线，
；
同理可得： .
的周长
的周长
的周长 ；
故答案为：24.
【分析】由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DE，CE＝EB，由于△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，所以△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，故可求得三角形的周长.
17．【答案】（1）解：∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA=MB．
∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（2）解：如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA．
又∵BD=MA，
∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，
∴四边形MADB是菱形．
∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB =AD ．
∴AB=AD=BD．
∴△ABD是等边三角形．
∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，结合切线长定义以及三角形的内角和定理，求出∠AMB的度数即可；
（2）根据垂径定理，由菱形、平行四边形的判定定理，结合菱形的性质，计算得到答案即可。
18．【答案】（1）证明：∵ 和 是它的两条切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ 切 于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（2）证明：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1） 由切线的性质可得，，从而得出AM∥BN，可得∠ADE+∠BCE
=180°，由DC与⊙O相切于点E，根据切线长定理可得，， 从而得出，根据三角形内角和可得即可得出结论；
（2）证明 ，可得，结合OA=OB=AB即得结论.
19．【答案】（1）解：连接OD，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∵∠C = 30°，
∴ ，
∵OD=OB，
∴ ，
∴
（2）解：由题意可得如图所示，
∵在Rt△ADB中， ，
∴ ，
∴ ，
∵BE、CD是圆的切线，
∴ ，
在Rt△BCD中， ，
∴ ，
∴△DEB是等边三角形，DE=DB= .
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OD，利用切线的性质得∠COD=90°，利用已知可求出∠DOC的度数，利用等边对等角可证得∠ODB=∠B，由此可求出∠CBD的度数；
（2）根据已知补全图形，利用解直角三角形可求出BD的长，利用切线长定理可证得EB=ED，利用等边三角形的判定定理可证得△DEB是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得DE=DB，即可求出ED的长.
20．【答案】（1）证明：连接OC,过点O作OT⊥PB于T
∵PA是⊙O的切线,
∵OC⊥PA，
∵OP平分∠APB，OT⊥PB.
∴OC=OT,
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵CE⊥PB,OT⊥PB
∴∠CEP=∠OTP=90°
∴CE//OT，
∴∠ODC=∠DOT,
∵PA,PB是00的切线,
∴PC=PT,
在△OPC与△OPT 中,
∴OOPC≌OOPT(SSS),
∴∠ POC=∠POT=∠ODC
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠COD=∠OCD=∠ODC=60°
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=OD,
∴∠OPC=90°-60°=30°
∵∠ODC=∠DCP+∠DPC,
∴∠DCP=∠DPC=30°,
∴DC=DP=OD,
∵DE//OT,
∴ET=EP，
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OC，过点O作OT⊥PB于T，利用角平分线的性质定理，证明OC=OT即可；
（2）根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CE//OT，由切线长定理可得PC=PT，然后证明△OPC≌△OPT，根据全等三角形的性质以及平行线的性质可推出∠POC=∠POT=∠ODC，得到CD=OC=OD，然后由外角的性质求出∠DCP=∠DPC=30°，得到DC=DP=OD，接下来求出CE、OC的值即可.
21．【答案】（1）证明：连接 ， ，
∵ 是 的切线，A为切点
∴
在 和 中，
∵ ， ，
∴
∴
∴ ，且 过半径 的外端
∴ 是 的切线.
（2）220
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（2）连接
由（1）可知 ，
∴ ，
圆内接四边形 中
∴ .
故答案为：220.
【分析】（1）连接 ， ， ，利用切线的性质得出∠PAO=90°，根据SSS可证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2）连接 ，利用切线长定理可得PB=PA，从而得出，根据圆内接四边形对角互补，可得，从而求出.
22．【答案】（1）证明：连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= ∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= ＝ ＝2 .
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2 .
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠AOB的度数；再根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠OAP=90°，由 四边形的内角和为360°可求得∠OBP=90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）连接OP，由切线长定理可得PA=PB， 在Rt△OAP中， 用勾股定理可求得PA的长，再根据等边三角形的判定和性质可求解.
23．【答案】（1）解：图形如图所示，结论AB与⊙D相切．
理由：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∴DE为⊙D的半径，
∴⊙D与AB相切；
（2）解：设DE=DC=r，BE=x．
∵AC⊥BC，DC为半径，
∴AC是⊙D的切线，
∵AB是⊙D的切线，
∴AC=AE=2CD=2r，
∵∠ACB=∠BED=90°，
则有 ，解得 ，
∴⊙D的半径为3．
【知识点】切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与相切，过点D作DE⊥AB于E，证明DE=DC即可；
（2）设DE=DC=r，BE=x，利用勾股定理构建方程组求解即可。
24．【答案】（1）PC=PD，∠CPO=∠DPO
∵PC、PD分别与⊙O相切于点C、D，
∴PC=PD，∠CPO=∠DPO；
（2）连接OC，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC,
又∠CPO=30°，PC=PD=6，
∴OC=PC·tan∠CPO=6·tan30°= ，
即⊙O的半径为 .
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理及其推论即可解答；
（2）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥PC，再根据直角三角形的边角关系求解OC即可.
25．【答案】（1）证明：如图，连接 ， ， .
∵ 是 的切线
∴
∵在 和 中， ， ， ，
∴ .
∴
∵点 在 上，
∴ 是 的切线
（2）76
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（2）如图，连接BA，
∵∠C＝92°，
∴∠BAD＝180° ∠C＝88°，
∵∠MAD＝40°，
∴∠PAB＝180° 40° 88°＝52°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝52°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝76°.
故答案为：76.
【分析】（1）连接OA、OB、OP，由切线的性质可得∠PAO=90°，证明△PBO≌△PAO，得到∠PBO=∠PAO=90°，据此证明；
（2）连接BA，由圆内接四边形的性质可得∠BAD的度数，由平角的概念求出∠PAB的度数，由切线长定理可得PA＝PB，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.
26．【答案】（1）解：连接OA、OB和OE
∵点A和点B均为圆O的切点
∴∠PAO=∠PBO =90°
∴∠AOB=360°-∠P-∠PAO-∠PBO=140°
又CA和CE均为圆的切线
∴∠ACO=∠ECO，∠OAC=∠OEC=90°
∴∠AOC=∠EOC=
同理可得∠EOD= ∠EOB
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= =70°
（2）解：∵PA、PB和CD分别切圆O于点A、B和E点
∴CE=CA，DE=DB，PA=PB
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=20cm
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OA、OB和OE，根据圆的切线性质求出∠AOB的度数，再次利用圆的切线的性质求出∠AOC=∠EOC= 和∠EOD= ∠EOB，即可得出答案；（2）根据切线长定理得出CE=CA，DE=DB，PA=PB，再结合周长公式计算即可得出答案．
27．【答案】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB为圆的半径
∴PB为圆O的切线;
（2）解：在R△PBD中,PB=6,DB=8，根据勾股定理得:PD= =10,
∵PD与PB都为圆的切线,
∴PC=PB=6
∴DC=PD-PC=10-6=4
在R△CDO中,设OC=T,则有
D0=8-r,
根据勾股定理得: (8-r)2=r2+42
解得:r=3,
则圆的半径为3
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】(1)由已知角相等,及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似,利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角,即可得证(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的长在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程求出方程的解得到r的值,即为圆的半径
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