2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习
一、单选题
1．（2021九上·平原月考）一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴
，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故答案为：B．
【分析】先求出再求出，最后计算求解即可。
2．（2021九上·鄞州月考）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，
∴
∵点I是 的内心，
∴
即
∠BIC 107.5°
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解.
3．（2021·长安模拟）如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（ ）
A． 平分
B．
C．点 是 的内心
D．点 到点 ， ， 的距离相等
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故答案为：C．
【分析】先求出CD平分∠ACB，再根据AG平分∠CAB求解即可。
4．（2021·云岩模拟）利用尺规作一个任意三角形的内心 ，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据内心定义，利用尺规作三角形三个内角的角平分线，
即选项B符合题意，选项A、C、D均不符合题意，
故答案为：B.
【分析】三角形的内心是三角形内角平分线的交点，据此判断即可.
5．（2021·荆门模拟）如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥BO于点H.
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB=90° ∠A＝90° 120°，
则∠COH＝60°，∠OCH＝30°
∵CO＝4，
∴OH=2
∴CH＝2 ，BO＝2，
∴△OBC的面积为 2 ，
故答案为：B.
【分析】过点C作CH⊥BO于点H，利用三角形的内心定义可求出∠BOC的度数；利用勾股定理求出CH，BO的长；再利用三角形的面积公式求出△OBC的面积.
6．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
7．（2021·海沧模拟）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
由勾股定理得： ， ，
点O在AB、AC、BC的垂直平分线上，
点O是△ABC的外心，
，
点O既不是△ACD的外心，也不是△ACD的重心，
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，用勾股定理可求得OA=OB=OC、OD的值，由计算结果可知点O在AB、AC、BC的垂直平分线上，即点O是三角形ABC的外心，再根据OA=OC≠OD可知点O既不是三角形ACD的外心，也不是三角形ACD的重心.
8．（2021九下·武汉月考）如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
9．（2021·新华模拟）如图，在 中， ．小丽按照下列方法作图：
①作 的角平分线 ，交 于点D；
②作 的垂直平分线，交 于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是 的外心 B．点E是 的内心
C．点E在 的平分线上 D．点E到 边的距离相等
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵在 中， ，
∴ 的角平分线 也是底边BC的垂直平分线，
∵ 的垂直平分线，交 于点E，
∴点E是 的外心，
故答案为：A．
【分析】根据三角形外心的定义判断即可。
10．（2021九上·新抚期末）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，
连接OE，OD，OF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE=OD=OF，
∴O是△ABC的三角的平分线的交点，
故答案为：D.
【分析】画出图形，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，连接OE，OD，OF，利用切线的性质可证得OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE=OD=OF，再利用角平分线的判定可得答案.
二、填空题
11．（2021九上·永年月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
【答案】4 cm
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设AF=acm，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，
∵BD+CD=BC=14cm，
∴（9-a）+（13-a）=14，
解得：a=4，
即AF=4cm．
故答案为4cm.
【分析】先求出AF=AE，CE=CD，BF=BD，再求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，最后计算求解即可。
12．（2021·顺德模拟）如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积 （结果保留 ）．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设 与 交于点F， 的内心为O，连接 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵O为 的内心，
∴ ．
∴ ．
∴ 的内切圆面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据 ，得出 为 的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得 ，进而得出 为等边三角形；利用 ，得出 为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形 的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
13．（2021·黄冈模拟）如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
【分析】连接OB，OA，过O 作OD⊥AB ，根据垂径定理可得AD的长，根据余弦的定义、特殊角三角函数值及圆周角定理求出∠P的度数，连接IA、IB ， 根据三角形的内心的性质得 ， ，由三角形内角和定理求出，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O' ，连接O'A，O'B ，则∠AO'B=120° ，根据等腰三角形的性质得∠O'AB=∠O'BA=30°，连接O'D，可得O'D⊥AB，利用解直角三角形求出AO'的长，利用弧长公式计算即可.
14．（2021·石家庄月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝ ＝2 ，
∴点A到圆上的最近距离为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
15．（2021八下·达州期中）已知△ABC 的三边之和为m，S△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设△ABC的内心为O，
∴OE=OF=OG，
设内心到各边的距离均为r，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=（AB+BC+AC）r，
∴，
∴r= ，
故答案为： .
【分析】根据题意作图，由三角形内心的性质可知OE=OF=OG，设内心到各边的距离均为r，根据等积法列等式即可求出结果.
16．（2021九下·南溪月考）如图，边长为 的等边△ABC的内切圆的半径为 .
【答案】1
【知识点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD=AB=，
∵OA平分∠BAC，
∴∠DAO=30°，
，
故答案为：1.
【分析】连接OD，OA，根据等边三角形的性质，结合内切圆的性质求出AD和∠DAO，然后在Rt△ADO中利用三角函数求出OD即可得出结果.
三、综合题
17．（2021九上·临江期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
18．（2021·武汉模拟）如图，开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.
（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.
（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求 得值.
（3）已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于 （直接写出结果）.
②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.
【答案】（1）解：由 ， ，
解得 ，
∴ ， .
∵直线 经过点A，
∴ ， ，
∴直线 的解析式为 .
由 ，
解得： ， ，
∴ ；
（2）解：过D作Y轴的平行线 交 于E、交X轴于点F，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为 ，
∴ .
∵ 轴且点E在直线 上，
∴ .
∵ 的内心恰在x轴上，
∴x轴平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①
②解：当 ， 过点Р做直线 轴，作 垂足分别为M、N， ∵ ， 为等腰直角三角形， ∴ 也为等腰三角形， ∴ ， . ， ， ， ， ∴ ， . 设 ， 由 得 ， 由 得 ， 注意到 由上两式可解得 ， ， ∴ .
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）①∵△ADB为直角三角形，
，
.
，
，
即 ，
解得 ，
∵抛物线开口向上，
∴ ；
故答案为：；
【分析】（1）令y=0可得点A、B坐标，代入直线解析式可得直线AC解析式，联立直线和抛物线，可得点C坐标；
（2） 过D作Y轴的平行线 交 于E、交X轴于点F， 根据三角形内心和等腰三角形性质可得结果；
（3）①由等腰三角形和直角三角形的性质可得a2的值，根据抛物线开口向上可得结果；②过点Р做直线 轴，作AM⊥l，CN⊥l，， 垂足分别为M、N， 由相似三角形性质可得CPM，AN=AM，
设 ，联立方程即可求解.
19．（2020九上·金寨期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ，且 ．
（1）将 绕点 顺时针旋转90°后得到 （其中 三点旋转后的对应点分别是 ），画出 ．
（2）设 的内切圆的半径为 ， 的外接圆的半径为 ，则 ．
【答案】（1）解： 如图所示，
（2）
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2） 的内切圆的半径为 ，
，
的外接圆的半径为
【分析】（1）根据旋转的性质做出点A、B、C的对应点，依次连接即可；
（2）结合图形，EG为外接圆的直径，用勾股定理求出EG，则可求R，根据三角形内切圆的性质和切线长定理可求出r，进而求得答案。
20．（2020九上·金乡期末）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ ，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴②，
任务：
（1）观察发现： ， (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
【答案】（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 ， ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ ，
∴
∴ ；
（4）
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为R﹣d；
(4)由(3)知： ，
把R=5，r=2代入得： ，
∵d>0，
∴ ，
故答案为 .
【分析】（1）观察得出等式，再变形即可；
（2）只要证明 ∠BID=∠DBI， 由三角形的内心性质即可得出结论；
（3）由式子 ①和式子② ，并利用任务（1）、（2）的结论，对等式适当变形即可；
（4）利用（3）中的距离，直接将数值代入计算即可。
21．（2021九上·大冶期末）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的半径.
【答案】（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
为等腰三角形
∴ .
（3） ，
垂直平分BC
在 中
设半径为 ，则
在 中，
解得
⊙O的半径为：5.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则 ，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用三角形内心的性质，等腰三角形的判定和性质，同圆或等圆中等角对等弦，即可得到结论；
（3）根据垂径定理可知 垂直平分BC，在 利用勾股定理求出DH长，设半径为 ，在 中利用勾股定理即可求解
22．（2021九上·鄞州月考）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；
（3）在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB， tan∠ABC= ，AC=12，求FG的长；
（4）如图3，四边形ABCD内接于圆O，AB=BC， BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F，连结FC，设tan∠BAF=x， ，求y与x之间的函数关系式.
【答案】（1）解：如图，作AH∥DC.
∵AD∥BC，AH∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AH=CD，AD=HC.
∵AB=AD=CD，BC=2AD，
∴AB=AH=BH，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠B=60°.
（2）证明：连接CD，如图所示：
∵ABCD为○O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC，
∴OD⊥AC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是等邻边互补四边形.
（3）解：如图，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，
∵E为AC的中点，AC=12，
∴AE=EC=6，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOE=∠COE，GA=GC.
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOE=∠ABC，
∴tan∠AOE=tan∠ABC==，
∴OE=，OA=，
∴CD=2OA=，DE=，
∴，
∴GA=10.
∵，
∴∠ACB=∠BCG.
∵∠AGF=∠CGF，
∴点F为△AGC的内心，
∴FM=FN=FE，设FM=FN=FE=a，则S△ACG=(AC+AG+GC)·a=·AC·EG，
∴a=3，
∴EF=3，
∴GF=EG-EF=5.
（4）解：连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.
∵BD是直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OA=OB，
∴∠BAF=∠ABD=∠CBD，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.
∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，
∴BD⊥AC，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠CBD=α.
∵AM∥FN，
∴.
设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n.
∵m2+n2=r2，tan∠ABK=tanα=x=，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）作AH∥DC，易证四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质以及BC=2AD，可推出
AB=AH=BH，然后利用等边三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接CD，由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，由等腰三角形三线合一的性质可得DA=DC，据此证明即可；
（3）连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，通过锐角三角函数的概念以及勾股定理可求出OE、OA、CD、DE、AD、GA的值，证明点F为△AGC的内心，得到FM=FN=FE，然后结合三角形面积公式计算即可；
（4）连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.，根据AM∥FN以及平行线分线段成比例可得到，设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n，然后由勾股定理以及三角函数的概念可推出，据此解答即可.
23．（2020九上·泰兴期中）已知直线y= 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.
（1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；
（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？
（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.
【答案】（1）解：把x=0代入y= 得y=0，∴点B坐标为（0，3），∴OB=3，
把y=0代入y= 得 ，解得x=4，∴点A坐标为（4，0），∴OA=4，
在Rt△OAB中，AB= .
设点P、Q运动时间为t，则AP=5t，AQ=4t
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PQ⊥AB；
（2）解：①当P在y轴右侧时， ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PA＝ ，
即5t＝ ，
∴t＝ ；
②当P在y轴左侧时， ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PA＝ ，
∴5t＝ ，
∴t＝ .
综上所述，t＝ 或 时，四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半；
（3）解：如图，设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AQ＝4+ ，
即： ，
∴ .
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将x=0与y=0分别代入一次函数的解析式求出点A点B坐标，可得OA、OB的长，用含t的式子表示AP、AQ，易证 △APQ∽△ABO ，得 ；
（2）讨论点P在y轴左侧和右侧，根据相似三角形面积之比为相似比的平方可得关于t的方程，求解即可；
（3） 设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r， 由 可得r，根据 AQ＝4+ 可得t的值.
24．（2020九上·南京月考）在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵ ，
∴ ，解得 ，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ；
故答案为：2，12；
【分析】（1）设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，根据三角形内切圆的性质利用面积法求出内切圆半径m的值，再根据切线长定理求出n的值；
（2）①由（1）可知 ， ，从而得到 ；②由切线长定理得 ，再根据锐角三角函数求得 ，得到n和三角形ABC的周长的关系，结合 ，可以得到三角形ABC的面积与m、n的关系.
25．（2020·石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．
（1）填空：AC＝ ；∠F＝ ．
（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．
（3）△EAF面积的最小值是 ．
（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围 ．
【答案】（1）2 ；30°
（2）当BD＝DE时，
∵AD⊥BC于D，
∴AB＝AE，
∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中， ，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）
（4） ．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝ ，
∴AC＝AB tanB＝2tan60°＝2 ；
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠EAF＝∠B＝60°，
∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：2 ，30°；（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝ ，
∴EF＝AE tan∠EAF＝AE tan60°＝ AE，
∴S△EAF＝ AE EF＝ AE× AE＝ AE2，
当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝ ，
∴AE＝AB sinB＝2sin60°＝2× ＝ ，
S△EAF＝ AE2＝ ×3＝ ，
∴△EAF面积的最小值是 ，
故答案为： ；（4）设△EAF的内心为N，
∵ ∠AEF=45°， ∠B=30°，E为BC上的一点，不与B、C重合，
∴EN与AC一定有交点，
如图：当△EAF内心恰好落在AC上时，连接EN，
∵N是△EAF的内心，
∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，
∴∠EAC＝ ∠AEF＝ ×60°＝30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2 ，
∴当△EAF的内心在△ABC的外部时， ．
故答案为： ．
【分析】（1）利用∠B的正切值可求出AC的长；根据直角三角形两锐角互余的关系即可求出∠F的度数；（2）根据垂直平分线的性质可得AB=AE，利用ASA即可证明△ABC≌△EAF；（3）由∠EAF=60°，∠AEF=90°可得EF＝ AE，进而可得AE⊥BC时△EAF面积最小，利用∠B的正弦可求出AE的值，进而可求出△EAF的面积；（4）如图，当△EAF的内心在AC边上时，设内心为N，根据内心的定义可知∠EAC=30°，可求出∠BAE=60°，可证明△BAE是等边三角形，可求出AE=AB=2，由（1）可知AC=2 ，即可得出AE的取值范围．
26．（2020·北京模拟）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI =R -2Rr.
下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴ ，∴IA×ID=IM×IN①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴ ，∴②，
由（2）知： ，
∴
又∵ ，
∴2Rr=（R+d）（R-d），
∴R -d =2Rr
∴d =R -2Rr
任务：
（1）观察发现：IM=R+d，IN= （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）
（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离 cm．
【答案】（1）
（2）解：
∵点I是△ABC的内心
∴
∵
∴
∴
（3）
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵IM=R+d
∴ ；（3）由（2）知
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ．
【分析】（1）根据线段的差求解即可；（2）根据点I是△ABC的内心，推出 ，进而根据外角性质以及圆周角定理得到 ，即可得证 ；（3）利用（1）和（2）的结论可得 ，进而得出 ，再代入求值即可．
27．（2019·襄阳）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）若 ， ，求优弧 的长.
【答案】（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是圆 的切线
（2）解：连接 、 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴优弧 的长＝
【知识点】垂径定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点，可证∠BAD=∠CAD，由此可证弧BD=弧CD，利用垂径定理可证得OD⊥BC，再结合已知条件可证得OD⊥DG，利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形内心的定义，可证得∠ABE=∠CBE，再根据三角形外角的性质及角的和差，可证得∠DEB=∠DBE，利用等角对等边易证DB=DE，再利用垂径定理求出BH的长，利用解直角三角形求出∠BDH的度数，从而可证得△OBD是等边三角形，就可求出∠BOC的度数，然后利用弧长公式进行计算。
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习
一、单选题
1．（2021九上·平原月考）一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·鄞州月考）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
3．（2021·长安模拟）如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（ ）
A． 平分
B．
C．点 是 的内心
D．点 到点 ， ， 的距离相等
4．（2021·云岩模拟）利用尺规作一个任意三角形的内心 ，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·荆门模拟）如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
6．（2021·武汉模拟）如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（ ）
A．7 B． C． D．
7．（2021·海沧模拟）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
8．（2021九下·武汉月考）如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·新华模拟）如图，在 中， ．小丽按照下列方法作图：
①作 的角平分线 ，交 于点D；
②作 的垂直平分线，交 于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是 的外心 B．点E是 的内心
C．点E在 的平分线上 D．点E到 边的距离相等
10．（2021九上·新抚期末）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
二、填空题
11．（2021九上·永年月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
12．（2021·顺德模拟）如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积 （结果保留 ）．
13．（2021·黄冈模拟）如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
14．（2021·石家庄月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
15．（2021八下·达州期中）已知△ABC 的三边之和为m，S△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为 .
16．（2021九下·南溪月考）如图，边长为 的等边△ABC的内切圆的半径为 .
三、综合题
17．（2021九上·临江期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
18．（2021·武汉模拟）如图，开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.
（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.
（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求 得值.
（3）已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于 （直接写出结果）.
②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.
19．（2020九上·金寨期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ，且 ．
（1）将 绕点 顺时针旋转90°后得到 （其中 三点旋转后的对应点分别是 ），画出 ．
（2）设 的内切圆的半径为 ， 的外接圆的半径为 ，则 ．
20．（2020九上·金乡期末）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ ，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴②，
任务：
（1）观察发现： ， (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
21．（2021九上·大冶期末）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的半径.
22．（2021九上·鄞州月考）有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数；
（2）如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；
（3）在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB， tan∠ABC= ，AC=12，求FG的长；
（4）如图3，四边形ABCD内接于圆O，AB=BC， BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F，连结FC，设tan∠BAF=x， ，求y与x之间的函数关系式.
23．（2020九上·泰兴期中）已知直线y= 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.
（1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；
（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？
（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.
24．（2020九上·南京月考）在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
25．（2020·石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．
（1）填空：AC＝ ；∠F＝ ．
（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．
（3）△EAF面积的最小值是 ．
（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围 ．
26．（2020·北京模拟）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI =R -2Rr.
下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴ ，∴IA×ID=IM×IN①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴ ，∴②，
由（2）知： ，
∴
又∵ ，
∴2Rr=（R+d）（R-d），
∴R -d =2Rr
∴d =R -2Rr
任务：
（1）观察发现：IM=R+d，IN= （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）
（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离 cm．
27．（2019·襄阳）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）若 ， ，求优弧 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴
，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故答案为：B．
【分析】先求出再求出，最后计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A＝35°，
∴
∵点I是 的内心，
∴
即
∠BIC 107.5°
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=145°，根据内心的概念可得∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，据此可得∠IBC+∠ICB的度数，然后利用内角和定理进行求解.
3．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由作法得CD平分∠ACB，
∵AG平分∠CAB，
∴E点为△ABC的内心
故答案为：C．
【分析】先求出CD平分∠ACB，再根据AG平分∠CAB求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据内心定义，利用尺规作三角形三个内角的角平分线，
即选项B符合题意，选项A、C、D均不符合题意，
故答案为：B.
【分析】三角形的内心是三角形内角平分线的交点，据此判断即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥BO于点H.
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB=90° ∠A＝90° 120°，
则∠COH＝60°，∠OCH＝30°
∵CO＝4，
∴OH=2
∴CH＝2 ，BO＝2，
∴△OBC的面积为 2 ，
故答案为：B.
【分析】过点C作CH⊥BO于点H，利用三角形的内心定义可求出∠BOC的度数；利用勾股定理求出CH，BO的长；再利用三角形的面积公式求出△OBC的面积.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 周长为20，内切圆半径为 ，
∴ ，
∴
∴
中，
∴
∵在 周长为20，
∴
∴
解得
∵ 是 的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵ °
∴
∴
∵OE⊥BC
∴ ，
∴
故答案为：D.
【分析】过C作CD⊥AB于D， 的外接圆圆心为O，F是 优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设 ，根据三角形内心定义可得 可得bc=40，根据勾股定理可得 ，根据 是 的内心可得BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理可得OB的长度.
7．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
由勾股定理得： ， ，
点O在AB、AC、BC的垂直平分线上，
点O是△ABC的外心，
，
点O既不是△ACD的外心，也不是△ACD的重心，
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，用勾股定理可求得OA=OB=OC、OD的值，由计算结果可知点O在AB、AC、BC的垂直平分线上，即点O是三角形ABC的外心，再根据OA=OC≠OD可知点O既不是三角形ACD的外心，也不是三角形ACD的重心.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接 ，得出 ，由 ，可求出，从而得出结论.
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵在 中， ，
∴ 的角平分线 也是底边BC的垂直平分线，
∵ 的垂直平分线，交 于点E，
∴点E是 的外心，
故答案为：A．
【分析】根据三角形外心的定义判断即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，
连接OE，OD，OF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE=OD=OF，
∴O是△ABC的三角的平分线的交点，
故答案为：D.
【分析】画出图形，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，连接OE，OD，OF，利用切线的性质可证得OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE=OD=OF，再利用角平分线的判定可得答案.
11．【答案】4 cm
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设AF=acm，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，
∵BD+CD=BC=14cm，
∴（9-a）+（13-a）=14，
解得：a=4，
即AF=4cm．
故答案为4cm.
【分析】先求出AF=AE，CE=CD，BF=BD，再求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，最后计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设 与 交于点F， 的内心为O，连接 ．
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵O为 的内心，
∴ ．
∴ ．
∴ 的内切圆面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据 ，得出 为 的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得 ，进而得出 为等边三角形；利用 ，得出 为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形 的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
【分析】连接OB，OA，过O 作OD⊥AB ，根据垂径定理可得AD的长，根据余弦的定义、特殊角三角函数值及圆周角定理求出∠P的度数，连接IA、IB ， 根据三角形的内心的性质得 ， ，由三角形内角和定理求出，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O' ，连接O'A，O'B ，则∠AO'B=120° ，根据等腰三角形的性质得∠O'AB=∠O'BA=30°，连接O'D，可得O'D⊥AB，利用解直角三角形求出AO'的长，利用弧长公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，IH＝2，
∴IA＝ ＝2 ，
∴点A到圆上的最近距离为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设△ABC的内心为O，
∴OE=OF=OG，
设内心到各边的距离均为r，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=（AB+BC+AC）r，
∴，
∴r= ，
故答案为： .
【分析】根据题意作图，由三角形内心的性质可知OE=OF=OG，设内心到各边的距离均为r，根据等积法列等式即可求出结果.
16．【答案】1
【知识点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD=AB=，
∵OA平分∠BAC，
∴∠DAO=30°，
，
故答案为：1.
【分析】连接OD，OA，根据等边三角形的性质，结合内切圆的性质求出AD和∠DAO，然后在Rt△ADO中利用三角函数求出OD即可得出结果.
17．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
18．【答案】（1）解：由 ， ，
解得 ，
∴ ， .
∵直线 经过点A，
∴ ， ，
∴直线 的解析式为 .
由 ，
解得： ， ，
∴ ；
（2）解：过D作Y轴的平行线 交 于E、交X轴于点F，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为 ，
∴ .
∵ 轴且点E在直线 上，
∴ .
∵ 的内心恰在x轴上，
∴x轴平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①
②解：当 ， 过点Р做直线 轴，作 垂足分别为M、N， ∵ ， 为等腰直角三角形， ∴ 也为等腰三角形， ∴ ， . ， ， ， ， ∴ ， . 设 ， 由 得 ， 由 得 ， 注意到 由上两式可解得 ， ， ∴ .
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）①∵△ADB为直角三角形，
，
.
，
，
即 ，
解得 ，
∵抛物线开口向上，
∴ ；
故答案为：；
【分析】（1）令y=0可得点A、B坐标，代入直线解析式可得直线AC解析式，联立直线和抛物线，可得点C坐标；
（2） 过D作Y轴的平行线 交 于E、交X轴于点F， 根据三角形内心和等腰三角形性质可得结果；
（3）①由等腰三角形和直角三角形的性质可得a2的值，根据抛物线开口向上可得结果；②过点Р做直线 轴，作AM⊥l，CN⊥l，， 垂足分别为M、N， 由相似三角形性质可得CPM，AN=AM，
设 ，联立方程即可求解.
19．【答案】（1）解： 如图所示，
（2）
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2） 的内切圆的半径为 ，
，
的外接圆的半径为
【分析】（1）根据旋转的性质做出点A、B、C的对应点，依次连接即可；
（2）结合图形，EG为外接圆的直径，用勾股定理求出EG，则可求R，根据三角形内切圆的性质和切线长定理可求出r，进而求得答案。
20．【答案】（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 ， ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ ，
∴
∴ ；
（4）
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为R﹣d；
(4)由(3)知： ，
把R=5，r=2代入得： ，
∵d>0，
∴ ，
故答案为 .
【分析】（1）观察得出等式，再变形即可；
（2）只要证明 ∠BID=∠DBI， 由三角形的内心性质即可得出结论；
（3）由式子 ①和式子② ，并利用任务（1）、（2）的结论，对等式适当变形即可；
（4）利用（3）中的距离，直接将数值代入计算即可。
21．【答案】（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
为等腰三角形
∴ .
（3） ，
垂直平分BC
在 中
设半径为 ，则
在 中，
解得
⊙O的半径为：5.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则 ，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用三角形内心的性质，等腰三角形的判定和性质，同圆或等圆中等角对等弦，即可得到结论；
（3）根据垂径定理可知 垂直平分BC，在 利用勾股定理求出DH长，设半径为 ，在 中利用勾股定理即可求解
22．【答案】（1）解：如图，作AH∥DC.
∵AD∥BC，AH∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AH=CD，AD=HC.
∵AB=AD=CD，BC=2AD，
∴AB=AH=BH，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠B=60°.
（2）证明：连接CD，如图所示：
∵ABCD为○O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC，
∴OD⊥AC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是等邻边互补四边形.
（3）解：如图，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，
∵E为AC的中点，AC=12，
∴AE=EC=6，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOE=∠COE，GA=GC.
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOE=∠ABC，
∴tan∠AOE=tan∠ABC==，
∴OE=，OA=，
∴CD=2OA=，DE=，
∴，
∴GA=10.
∵，
∴∠ACB=∠BCG.
∵∠AGF=∠CGF，
∴点F为△AGC的内心，
∴FM=FN=FE，设FM=FN=FE=a，则S△ACG=(AC+AG+GC)·a=·AC·EG，
∴a=3，
∴EF=3，
∴GF=EG-EF=5.
（4）解：连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.
∵BD是直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OA=OB，
∴∠BAF=∠ABD=∠CBD，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.
∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，
∴BD⊥AC，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠CBD=α.
∵AM∥FN，
∴.
设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n.
∵m2+n2=r2，tan∠ABK=tanα=x=，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）作AH∥DC，易证四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质以及BC=2AD，可推出
AB=AH=BH，然后利用等边三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接CD，由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，由等腰三角形三线合一的性质可得DA=DC，据此证明即可；
（3）连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，通过锐角三角函数的概念以及勾股定理可求出OE、OA、CD、DE、AD、GA的值，证明点F为△AGC的内心，得到FM=FN=FE，然后结合三角形面积公式计算即可；
（4）连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.，根据AM∥FN以及平行线分线段成比例可得到，设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n，然后由勾股定理以及三角函数的概念可推出，据此解答即可.
23．【答案】（1）解：把x=0代入y= 得y=0，∴点B坐标为（0，3），∴OB=3，
把y=0代入y= 得 ，解得x=4，∴点A坐标为（4，0），∴OA=4，
在Rt△OAB中，AB= .
设点P、Q运动时间为t，则AP=5t，AQ=4t
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PQ⊥AB；
（2）解：①当P在y轴右侧时， ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PA＝ ，
即5t＝ ，
∴t＝ ；
②当P在y轴左侧时， ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PA＝ ，
∴5t＝ ，
∴t＝ .
综上所述，t＝ 或 时，四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半；
（3）解：如图，设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AQ＝4+ ，
即： ，
∴ .
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将x=0与y=0分别代入一次函数的解析式求出点A点B坐标，可得OA、OB的长，用含t的式子表示AP、AQ，易证 △APQ∽△ABO ，得 ；
（2）讨论点P在y轴左侧和右侧，根据相似三角形面积之比为相似比的平方可得关于t的方程，求解即可；
（3） 设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r， 由 可得r，根据 AQ＝4+ 可得t的值.
24．【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵ ，
∴ ，解得 ，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ；
故答案为：2，12；
【分析】（1）设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，根据三角形内切圆的性质利用面积法求出内切圆半径m的值，再根据切线长定理求出n的值；
（2）①由（1）可知 ， ，从而得到 ；②由切线长定理得 ，再根据锐角三角函数求得 ，得到n和三角形ABC的周长的关系，结合 ，可以得到三角形ABC的面积与m、n的关系.
25．【答案】（1）2 ；30°
（2）当BD＝DE时，
∵AD⊥BC于D，
∴AB＝AE，
∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中， ，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）
（4） ．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝ ，
∴AC＝AB tanB＝2tan60°＝2 ；
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠EAF＝∠B＝60°，
∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：2 ，30°；（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝ ，
∴EF＝AE tan∠EAF＝AE tan60°＝ AE，
∴S△EAF＝ AE EF＝ AE× AE＝ AE2，
当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝ ，
∴AE＝AB sinB＝2sin60°＝2× ＝ ，
S△EAF＝ AE2＝ ×3＝ ，
∴△EAF面积的最小值是 ，
故答案为： ；（4）设△EAF的内心为N，
∵ ∠AEF=45°， ∠B=30°，E为BC上的一点，不与B、C重合，
∴EN与AC一定有交点，
如图：当△EAF内心恰好落在AC上时，连接EN，
∵N是△EAF的内心，
∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，
∴∠EAC＝ ∠AEF＝ ×60°＝30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2 ，
∴当△EAF的内心在△ABC的外部时， ．
故答案为： ．
【分析】（1）利用∠B的正切值可求出AC的长；根据直角三角形两锐角互余的关系即可求出∠F的度数；（2）根据垂直平分线的性质可得AB=AE，利用ASA即可证明△ABC≌△EAF；（3）由∠EAF=60°，∠AEF=90°可得EF＝ AE，进而可得AE⊥BC时△EAF面积最小，利用∠B的正弦可求出AE的值，进而可求出△EAF的面积；（4）如图，当△EAF的内心在AC边上时，设内心为N，根据内心的定义可知∠EAC=30°，可求出∠BAE=60°，可证明△BAE是等边三角形，可求出AE=AB=2，由（1）可知AC=2 ，即可得出AE的取值范围．
26．【答案】（1）
（2）解：
∵点I是△ABC的内心
∴
∵
∴
∴
（3）
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵IM=R+d
∴ ；（3）由（2）知
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ．
【分析】（1）根据线段的差求解即可；（2）根据点I是△ABC的内心，推出 ，进而根据外角性质以及圆周角定理得到 ，即可得证 ；（3）利用（1）和（2）的结论可得 ，进而得出 ，再代入求值即可．
27．【答案】（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是圆 的切线
（2）解：连接 、 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴优弧 的长＝
【知识点】垂径定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点，可证∠BAD=∠CAD，由此可证弧BD=弧CD，利用垂径定理可证得OD⊥BC，再结合已知条件可证得OD⊥DG，利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形内心的定义，可证得∠ABE=∠CBE，再根据三角形外角的性质及角的和差，可证得∠DEB=∠DBE，利用等角对等边易证DB=DE，再利用垂径定理求出BH的长，利用解直角三角形求出∠BDH的度数，从而可证得△OBD是等边三角形，就可求出∠BOC的度数，然后利用弧长公式进行计算。
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