2021-2022学年浙教版数学九年级下册2.3三角形的内切圆 同步练习（word版 含答案）

2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习
一、单选题
1．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（　　）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
3．如图，在 中， 平分 ，使用尺规作射线 ，与 交于点 ，下列判断正确的是（　　）
A． 平分
B．
C．点 是 的内心
D．点 到点 ， ， 的距离相等
4．利用尺规作一个任意三角形的内心 ，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积是（　　）
A． B． C．2 D．4
6．如图，在 中， 其周长为20，⊙I是 的内切圆，其半径为 ，则 的外接圆半径为（　　）
A．7 B． C． D．
7．如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（　　）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
8．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， ．小丽按照下列方法作图：
①作 的角平分线 ，交 于点D；
②作 的垂直平分线，交 于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（　　）
A．点E是 的外心 B．点E是 的内心
C．点E在 的平分线上 D．点E到 边的距离相等
10．⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（　　）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
二、填空题
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为　 　．
12．如图，在四边形 中， ．若 ，则 的内切圆面积　 　（结果保留 ）．
13．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为　 　.
14．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于　 　．
15．已知△ABC 的三边之和为m，S△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为　 　.
16．如图，边长为 的等边△ABC的内切圆的半径为　 　.
三、综合题
17．如图，开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.
（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.
（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求 得值.
（3）已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于 （直接写出结果）.
②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ，且 ．
（1）将 绕点 顺时针旋转90°后得到 （其中 三点旋转后的对应点分别是 ），画出 ．
（2）设 的内切圆的半径为 ， 的外接圆的半径为 ，则 　 　．
19．阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ ，
∴ ①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴ ②，
任务：
（1）观察发现： ， 　 　(用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为　 　cm.
20．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的半径.
21．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数;
（2）如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证:四边形ABCD是等邻边互补四边形;
（3）在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB, tan∠ABC= ，AC=12,求FG的长;
（4）如图3,四边形ABCD内接于圆O，AB=BC, BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F,连结FC，设tan∠BAF=x， ，求y与x之间的函数关系式.
22．已知直线y= 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.
（1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；
（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？
（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.
23．在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m=　 　，n=　 　.
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．
（1）填空：AC＝　 　；∠F＝　 　．
（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．
（3）△EAF面积的最小值是　 　．
（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围　 　．
25．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI =R -2Rr.
下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴ ，∴IA×ID=IM×IN①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴ ，∴ ②，
由（2）知： ，
∴
又∵ ，
∴2Rr=（R+d）（R-d），
∴R -d =2Rr
∴d =R -2Rr
任务：
（1）观察发现：IM=R+d，IN=　 　（用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）
（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离　 　cm．
26．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）若 ， ，求优弧 的长.
答案
1．B
2．D
3．C
4．B
5．B
6．D
7．B
8．B
9．A
10．D
11．4 cm
12．
13．
14．
15．
16．1
17．（1）解：由 ， ，
解得 ，
∴ ， .
∵直线 经过点A，
∴ ， ，
∴直线 的解析式为 .
由 ，
解得： ， ，
∴ ；
（2）解：过D作Y轴的平行线 交 于E、交X轴于点F，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为 ，
∴ .
∵ 轴且点E在直线 上，
∴ .
∵ 的内心恰在x轴上，
∴x轴平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①
②解：当 ， 过点Р做直线 轴，作 垂足分别为M、N， ∵ ， 为等腰直角三角形， ∴ 也为等腰三角形， ∴ ， . ， ， ， ， ∴ ， . 设 ， 由 得 ， 由 得 ， 注意到 由上两式可解得 ， ， ∴ .
18．（1）解： 如图所示，
（2）
19．（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 ， ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ ，
∴
∴ ；
（4）
20．（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
为等腰三角形
∴ .
（3） ，
垂直平分BC
在 中
设半径为 ，则
在 中,
解得
⊙O的半径为：5.
21．（1）解：如图，作AH∥DC.
∵AD∥BC，AH∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AH=CD，AD=HC.
∵AB=AD=CD，BC=2AD，
∴AB=AH=BH，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠B=60°.
（2）证明：连接CD，如图所示：
∵ABCD为○O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC，
∴OD⊥AC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是等邻边互补四边形.
（3）解：如图，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，
∵E为AC的中点，AC=12，
∴AE=EC=6，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOE=∠COE，GA=GC.
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOE=∠ABC，
∴tan∠AOE=tan∠ABC==，
∴OE=，OA=,
∴CD=2OA=，DE=，
∴，
∴GA=10.
∵,
∴∠ACB=∠BCG.
∵∠AGF=∠CGF，
∴点F为△AGC的内心，
∴FM=FN=FE，设FM=FN=FE=a，则S△ACG=(AC+AG+GC)·a=·AC·EG，
∴a=3，
∴EF=3，
∴GF=EG-EF=5.
（4）解：连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.
∵BD是直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OA=OB，
∴∠BAF=∠ABD=∠CBD，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.
∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，
∴BD⊥AC，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠CBD=α.
∵AM∥FN，
∴.
设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n.
∵m2+n2=r2，tan∠ABK=tanα=x=，
∴，
∴，
∴，
∴.
22．（1）解：把x=0代入y= 得y=0，∴点B坐标为（0,3），∴OB=3，
把y=0代入y= 得 ，解得x=4，∴点A坐标为（4,0），∴OA=4，
在Rt△OAB中，AB= .
设点P、Q运动时间为t，则AP=5t，AQ=4t
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PQ⊥AB；
（2）解：①当P在y轴右侧时， ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PA＝ ，
即5t＝ ，
∴t＝ ；
②当P在y轴左侧时， ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ ，
∴PA＝ ，
∴5t＝ ，
∴t＝ .
综上所述，t＝ 或 时，四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半；
（3）解：如图，设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AQ＝4+ ，
即： ，
∴ .
23．（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
24．（1）2 ；30°
（2）当BD＝DE时，
∵AD⊥BC于D，
∴AB＝AE，
∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中， ，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）
（4） ．
25．（1）
（2）解：
∵点I是△ABC的内心
∴
∵
∴
∴
（3）
26．（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是圆 的切线
（2）解：连接 、 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴优弧 的长＝ 1 / 3