第二章 有理数的运算（解析板）
6、有理数的乘方
知识点梳理
有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
同步练习
一．选择题（共14小题）
1．关于﹣（﹣a）2的相反数，有下列说法：①等于a2；②等于（﹣a）2；③值可能为0；④值一定是正数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相反数；有理数的乘方．
【分析】依据相反数和平方的概念及性质进行判断．
【解答】解：①∵﹣（﹣a）2＝﹣a2，∴它的相反数是a2．显然是正确的．
②∵（﹣a）2＝a2，∴也是正确的．
③当a＝0时，a2＝0，∴原式的值可能为0，也是正确的．
④是错误的，没有考虑0．
故有3个是正确的．
故选：C．
【点评】注意0既不是正数也不是负数，0的相反数是0．
2．比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同
B．它们底数相同，但指数不相同
C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．虽然它们底数不同，但运算结果相同
【考点】有理数的乘方．
【分析】（﹣4）3表示三个﹣4的乘积，﹣43表示3个4乘积的相反数，计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：比较（﹣4）3＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣64，﹣43＝﹣4×4×4＝﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同，
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
3．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42 B．49 C．76 D．77
【考点】有理数的乘方．
【分析】有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．
【解答】解：依题意有，刀鞘数为76．
故选：C．
【点评】考查了有理数的乘方，关键是根据题意正确列出算式，是基础题型．
4．计算﹣42的结果等于（ ）
A．﹣8 B．﹣16 C．16 D．8
【考点】有理数的乘方．
【分析】乘方就是求几个相同因数积的运算，﹣42＝﹣（4×4）＝﹣16．
【解答】解：﹣42＝﹣16
故选：B．
【点评】本题考查有理数乘方的法则．正数的任何次方都是正数；负数的奇次方为负，负数的偶次方为正；0的正整数次幂为0．
5．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．﹣22和（﹣2）2 B．﹣和（﹣）2
C．（﹣2）2和22 D．﹣（﹣）2和﹣
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的运算方法，求出每组中的两个算式的值各是多少，判断出各组数中，数值相等的是哪个即可．
【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，
∴选项A不符合题意；
∵﹣＝﹣，（﹣）2＝，﹣≠（﹣）2，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣2）2＝4，22＝4，（﹣2）2＝22，
∴选项C符合题意；
∵﹣（﹣）2＝﹣，﹣＝﹣，﹣（﹣）2≠﹣，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握．
6．一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ）
A．0，1 B．1 C．﹣1 D．0，±1
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据﹣1的奇次幂是负数，偶次幂是正数；1的任何次幂都是其本身解答．
【解答】解：立方等于本身的数是﹣1、1、0，
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，即负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
7．﹣12020＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案．
【解答】解：﹣12020＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算的法则是解本题的关键．
8．下列各式中，不相等的是（ ）
A．（﹣3）2和﹣32 B．（﹣3）2和32 C．（﹣2）3和﹣23 D．|﹣2|3和|﹣23|
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂的知识点进行解答，即可判断．
【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，故（﹣3）2≠﹣32；
B、（﹣3）2＝9，32＝9，故（﹣3）2＝32；
C、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，则（﹣2）3＝﹣23；
D、|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8，则|﹣2|3＝|﹣23|．
故选：A．
【点评】此题确定底数是关键，要特别注意﹣32和（﹣3）2的区别．
9．计算（﹣2）11+（﹣2）10的值是（ ）
A．﹣2 B．（﹣2）21 C．0 D．﹣210
【考点】有理数的乘方．
【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算．
【解答】解：原式＝（﹣2）10×（﹣2+1）
＝（﹣2）10×（﹣1）
＝﹣210．
故选：D．
【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本题运用乘法的分配律计算．
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
10．下列说法正确的个数为（ ）
（1）0是绝对值最小的有理数；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；
（3）0除以任何数都等于0；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】数轴；相反数；绝对值；有理数的除法；有理数的乘方．
【分析】利用乘方的意义，乘法法则，倒数的性质计算，判断即可．
【解答】解：（1）0是绝对值最小的有理数，这个说法正确；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数，这个说法错误，例如﹣1乘以3得到﹣3；
（3）0除以任何数都等于0，这个说法错误，例如0除以0没有意义；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数，这个说法错误，例如﹣1和6是数轴上原点两侧的数，但不是互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数，这个说法错误，例如﹣1的平方是正数，但是﹣1的立方也是﹣1，是负数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数，这个说法错误，例如﹣2和2互为相反数，它们的平方就不互为相反数．
则说法正确的个数为1个．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．计算﹣32的结果是（ ）
A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【解答】解：﹣32＝﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．﹣22和（﹣2）2 B．23和32
C．﹣33和（﹣3）3 D．（﹣3×2）2和﹣32×22
【考点】有理数的乘法；有理数的乘方．
【分析】原式各项计算得到结果，比较即可．
【解答】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等；
B、23＝8，32＝9，不相等；
C、﹣33＝（﹣3）3＝﹣27，相等；
D、（﹣3×2）2＝36，﹣32×22＝﹣36，不相等，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A． B． C． D．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解答】解：∵第一次剪去绳子的，还剩m；
第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，
……
∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
14．若a＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，c＝﹣（2×3）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【考点】有理数的乘方．
【分析】分别计算出各数，再根据有理数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：∵a＝﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，b＝（﹣2×3）2＝36，c＝﹣（2×3）2＝﹣36，
又∵36＞﹣18＞﹣36，
∴b＞a＞c．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的乘方及有理数比较大小的法则，比较简单．
二．填空题（共18小题）
15．若x、y互为倒数，则（﹣xy）2018＝ 1 ．
【考点】倒数；有理数的乘方．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得xy＝1，根据﹣1的偶次幂，可得（﹣xy）2018．
【解答】解：∵x、y互为倒数，
∴（﹣xy）2018＝（﹣1）2018＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了倒数，注意﹣1的2018次幂是正数．
16．若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则（m+n）2＝ 49或1 ．
【考点】绝对值；有理数的乘方．
【分析】根据已知条件，结合绝对值的性质得到m，n的值，再根据乘方的意义进行计算．
【解答】解：∵|m﹣n|＝n﹣m，∴m﹣n≤0，即m≤n．
又|m|＝4，|n|＝3，
∴m＝﹣4，n＝3或m＝﹣4，n＝﹣3．
∴当m＝﹣4，n＝3时，（m+n）2＝（﹣1）2＝1；
当m＝﹣4，n＝﹣3时，（m+n）2＝（﹣7）2＝49．
故答案为：49或1
【点评】绝对值具有非负性，绝对值是正数的数有两个，且互为相反数．
17．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多 29 条．
【考点】有理数的乘方．
【分析】由题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条，据此可得．
【解答】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1＝2条，
对折3次比对折2次折痕多7﹣3＝4＝22条，
对折4次比对折3次折痕多15﹣7＝8＝23条，
……
∴对折10次比对折9次折痕多29条，
故答案为：29．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是根据题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条．
18．平方等于16的数有 ±4 ．
【考点】有理数的乘方．
【分析】分别求出4、﹣4和（±4）2的平方，根据结果选择即可．
【解答】解：∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴（±4）2＝16，
故答案是：±4．
【点评】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好．
19．计算（﹣2）100×的结果是 2 ．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方，即可解答．
【解答】解：原式＝×（﹣2）
＝（﹣1）99×（﹣2）
＝﹣1×（﹣2）
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．
20．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折5次可以得到 31 条折痕．
【考点】有理数的乘方．
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．
当n＝5时，25﹣1＝31，
故答案为：31．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
21．给定两组数，A组为：1，2，…，100；B组为：12，22，…，1002．对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数”．那么，A组中这样的关联数有 73 个．
【考点】有理数的乘方．
【分析】设y＝b2，x+y＝a2，1≤b＜a≤100，则x＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）≤100，利用（a+b）与（a﹣b）奇偶性相同，且a+b≥（a﹣b）+2，分类讨论即可．
【解答】解：设y＝b2，x+y＝a2，1≤b＜a≤100
则x＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）≤100
∵（a+b）与（a﹣b）奇偶性相同，且a+b≥（a﹣b）+2，以下分情况讨论：
（1）若a﹣b＝1，则3≤a+b≤99为奇数，a+b可取3，5，7，…99共49个；
（2）若a﹣b＝2，则4≤a+b≤50为偶数，a+b可取4，6，8，…50共24 个；
其它情况下所得的x值，可归为以上情形．
∴x共有：49+24＝73个．
故答案为：73
【点评】本题是以新定义形式出现的数论问题，利用因式分解，再结合奇偶性及分类思想是解题的关键．
22．22018×42019×（﹣0.125）2017＝ ﹣32 ．
【考点】有理数的乘法；有理数的乘方．
【分析】将各幂指数统一为2017，逆用积的乘方公式可简便计算．
【解答】解：22018×42019×（﹣0.125）2017
＝2×22017×42×42017×（﹣0.125）2017
＝ 32×[2×4×（﹣0.125）]2017
＝32×（﹣1）
＝﹣32
故答案为：﹣32．
【点评】本题考查有理数的乘方，熟练运用同底数幂的乘法公式和积的乘方公式是解答关键．
23．一个有理数的平方等于它的立方，这个有理数是 1或0 ．
【考点】有理数；有理数的乘方．
【分析】利用平方根，立方根定义求出所求即可．
【解答】解：∵一个有理数的平方等于它的立方，
∴这个有理数是1或0，
故答案为：1或0
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及有理数，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
24．一个数的立方等于它本身，这个数是 0或±1 ．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据﹣1的奇次幂是负数，偶次幂是正数；1的任何次幂都是其本身解答．
【解答】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，即负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
25．计算（﹣3）2018 （﹣1）2019的结果为 ﹣32018 ．
【考点】有理数的乘方．
【分析】原式变形后，逆用积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（﹣3）2018 （﹣1）2018 （﹣1）＝[（﹣3）×（﹣1）]2018×（﹣1）＝﹣32018，
故答案为：﹣32018
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．将一张长方形的纸对折，如图，可得到一条折痕（图中虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得7条折痕，连续对折5次后，可以得到 31 条折痕．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据题意归纳总结得到连续对折n次后，可以得到2n﹣1条折痕，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：25﹣1＝32﹣1＝31，
则连续对折5次后，可以得到31条折痕，
故答案为：31
【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清折痕的规律是解本题的关键．
27．已知，某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是 33 个，第n小时后细胞存活个数是 2n+1 个．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据题意可以写出前几个小时分裂的个数，从而可以总结出变化规律，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
第一个小时：2×2﹣1＝3，
第二个小时：3×2﹣1＝5，
第三个小时：5×2﹣1＝9，
第四个小时：9×2﹣1＝17，
第五个小时：17×2﹣1＝33，
…
第n个小时：2n+1，
故答案为：33，2n+1．
【点评】本题考查有理数的乘方、数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的数字变化规律．
28．5的相反数是 ﹣5 ，平方等于49的数是 ±7 ．
【考点】相反数；有理数的乘方．
【分析】根据相反数的定义，平方根的性质求值即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
∵（±7）2＝49，
∴平方等于49的数是±7．
故答案为：﹣5，±7
【点评】本题考查了相反数的意义、平方根的性质．题目比较容易，掌握相反数的意义和平方根的性质是解决本题的关键．
29．平方和绝对值都是它本身的相反数的数是 0和﹣1 ．
【考点】相反数；绝对值；有理数的乘方．
【分析】直接利用绝对值以及平方的意义分析得出符合题意的数字为0、﹣1．
【解答】解：平方与绝对值都是它本身的相反数的数是：0和﹣1．
故答案为：0和﹣1．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及绝对值等知识，正确得出符合题意的数字是解题关键．
30．看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 230 个孙悟空．．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【解答】解：由题意得，变了30次共有230个孙悟空．
故答案为：230．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，理解乘方的意义是解题的关键．
31．平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是 2或﹣10 ．
【考点】有理数的乘方．
【分析】分别利用平方根的定义和立方根的定义进行求解即可．
【解答】解：∵36＝（±6）2，
∴平方等于36的数是±6；
∵（﹣4）3＝﹣64，
∴立方等于﹣64的数是﹣4，
∴平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是6+（﹣4）＝2或﹣6+（﹣4）＝﹣10．
故答案为：2或﹣10
【点评】本题考查了平方根和立方根．解题的关键是掌握立方根的定义、算术平方根的定义．
32．一米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，……，如此截下去，第 6 次截去后剩下的小棒长米．
【考点】有理数的乘方．
【分析】由截一次剩下米，第二次剩下（）2米，第三次剩下（）3米，可知第n次剩下（）n米．
【解答】解：根据题意，得截一次剩下米．第二次剩下（）2米．
第三次剩下（）3米，第四次剩下（）4米．
∴若第n次截去后剩下的小棒的长度为m，则n等于6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了有理数的乘方，此题的关键是联系生活实际，从中找出规律．
三．解答题（共9小题）
33．若a2＝25，|b|＝5，求a+b的值．
【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的乘方．
【分析】依据有理数乘方和绝对值的性质求得a、b的值，然后代入求解即可．
【解答】解：∵a2＝25，|b|＝5，
∴a＝±5 b＝±5，
当a＝5时，b＝5，
∴a+b＝10；
当a＝5时，b＝﹣5．
∴a+b＝0；
当a＝﹣5时，b＝5，
∴a+b＝0；
当a＝﹣5时，b＝﹣5．
∴a+b＝﹣10；
∴a+b的值是﹣10或0或10．
【点评】本题主要考查的是有理数乘方、绝对值的性质、有理数的加法法则，熟练掌握相关性质是解题的关键．
34．已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，求x+y的值．
【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的乘方．
【分析】根据绝对值的性质与有理数的乘方求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵|x+1|＝4，（y+2）2＝4，
∴x+1＝4，或x+1＝﹣4，y+2＝2或y+2＝﹣2，
解得x＝3或x＝﹣5，y＝0或y＝﹣4，
∴x＝3，y＝0时，x+y＝3+0＝3；
x＝3，y＝﹣4时，x+y＝3﹣4＝﹣1；
x＝﹣5，y＝0时，x+y＝﹣5+0＝﹣5；
x＝﹣5，y＝﹣4时，x+y＝﹣5﹣4＝﹣9．
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，有理数的加法运算法则，需要注意分四种情况讨论求解．
35．阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
①a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝ a7 ；
②归纳、概括：am an＝ am+n ；
③如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝ 36 ．
【考点】有理数的乘法；有理数的乘方．
【分析】①直接利用已知计算得出答案；
②利用①中所求进而得出答案；
③利用②中所求，将原式变形进而得出答案．
【解答】解：①a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝a7；
②归纳、概括：am an＝am+n；
③如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝xm xn＝4×9＝36．
故答案为：a7，am+n，36．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出运算规律是解题关键．
36．拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示：
这样，
（1）第4次捏合后可拉出 16 根细面条；
（2）第 8 次捏合后可拉出256根细面条．
【考点】有理数的乘方．
【分析】（1）根据有理数的乘方，第4次捏合后为2的4次方；
（2）第n次捏合后为2的n次方，然后根据2的指数次幂求解即可．
【解答】解：（1）由图可知，第1次捏合为2根，
第2次捏合可拉出4根，
第3次捏合可拉出8根，
第4次捏合可拉出24根，即16根；
（2）第n次捏合可拉出2n根，
2n＝256，
解得n＝8．
故答案为：16，8．
【点评】本题考查了有理数的乘方，比较简单，理解2的指数次幂是解题的关键．
37．一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有六个同学A、B、C、D、E、F分别藏在六张大纸牌的后面，如图，A、B、C、D、E、F所持的纸牌的前面分别写有六个算式：66；63+63；（63）3；（2×62）×（3×63）；（22×32）3；（64）3÷62．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．如果现在由同学A来找他的朋友，他可以找谁呢？说说你的看法．
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方的性质以及同底数幂相除，底数不变指数相减对B、C、D、E、F分别进行计算即可得解．
【解答】解：B：63+63＝2×63；
C：（63）3＝69；
D：（2×62）×（3×63）＝6×102+3＝66；
E：（22×32）3＝[（2×3）2]3＝66；
F：（64）3÷62＝64×3﹣2＝610；
所以，A应找到D、E．
【点评】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方，积的乘方的性质，同底数幂的除法的性质，熟记各性质并理清指数的变化是解题的关键．
38．有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米？
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的意义，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米，
答：第六次后，还剩1平方米．
【点评】考查有理数的乘方的意义和计算方法，正确的列出算式是前提．
39．已知|x|＝2，|y|＝4，若x＜y，求xy的值．
【考点】绝对值；有理数的乘方．
【分析】根据绝对值的意义和性质可知x、y的值，代入即可求出xy的值．
【解答】解：因为|x|＝2，|y|＝4，
所以x＝±2，y＝±4，又x＜y，
所以当x＝2，y＝4时，xy＝16；
当x＝﹣2，y＝4时，xy＝16．
所以xy的值是16．
【点评】此题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的意义，绝对值具有非负性，绝对值是正数的数有两个，且互为相反数．
40．如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝ 1 ，g（32）＝ 5 ．
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．
根据运算性质填空：＝ 4 ，（a为正数）．
若g（7）＝2.807，则g（14）＝ 3.807 ，g（）＝ 0.807 ．
（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）
x 3 6 9 27
g（x） 1﹣4a+2b 1﹣2a+b 2a﹣b 3a﹣2b 4a﹣2b 6a﹣3b
【考点】有理数的乘方．
【分析】（1）g（32）＝g（25）＝5；g（32）＝g（25）＝5；
（2）＝＝＝4，g（14）＝g（2×7）＝g（2）+g（7），g（）＝g（7）﹣g（4）；
（3）g（）＝g（3）﹣4，g（）＝1﹣g（3），g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），g（9）＝2g（3），g（27）＝3g（3），当g（3）正确时，有且仅有两个是错误；
【解答】解：（1）g（2）＝g（21）＝1，
g（32）＝g（25）＝5；
故答案为1，5；
（2）＝＝＝4，
g（14）＝g（2×7）＝g（2）+g（7），
∵g（7）＝2.807，g（2）＝1，
∴g（14）＝3.807；
g（）＝g（7）﹣g（4），
g（4）＝g（22）＝2，
∴g（）＝g（7）﹣g（4）＝2.807﹣2＝0.807；
故答案为4，3.807，0.807；
（3）g（）＝g（3）﹣4，
g（）＝1﹣g（3），
g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），
g（9）＝2g（3），
g（27）＝3g（3），
从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，
∴g（）和g（6）错误，
∴g（）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；
【点评】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．
41．把下列各数填在相应的集合内：
﹣1，﹣20%，，42，0，，﹣32，0.89
负整数集合：{ ﹣1，﹣32 …}；
正分数集合：{ ，0.89 …}
非负整数集合：{ 42，0 …}；
【考点】有理数；绝对值；有理数的乘方．
【分析】将所给数按要求分类为：负整数有：﹣1，﹣32；正分数有：42，，0.89；非负整数有：42，0．
【解答】解：负整数有：﹣1，﹣32；
正分数有：，0.89；
非负整数有：42，0；
故答案为：﹣1，﹣32；，0.89；42，0；
【点评】本题考查有理数的定义；熟练掌握有理数的分类，能够准确辨别所给数的类别是解题的关键第二章 有理数的运算（原卷板）
6、有理数的乘方
知识点梳理
有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
同步练习
一．选择题（共14小题）
1．关于﹣（﹣a）2的相反数，有下列说法：①等于a2；②等于（﹣a）2；③值可能为0；④值一定是正数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同
B．它们底数相同，但指数不相同
C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．虽然它们底数不同，但运算结果相同
3．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42 B．49 C．76 D．77
4．计算﹣42的结果等于（ ）
A．﹣8 B．﹣16 C．16 D．8
5．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．﹣22和（﹣2）2 B．﹣和（﹣）2
C．（﹣2）2和22 D．﹣（﹣）2和﹣
6．一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ）
A．0，1 B．1 C．﹣1 D．0，±1
7．﹣12020＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
8．下列各式中，不相等的是（ ）
A．（﹣3）2和﹣32 B．（﹣3）2和32 C．（﹣2）3和﹣23 D．|﹣2|3和|﹣23|
9．计算（﹣2）11+（﹣2）10的值是（ ）
A．﹣2 B．（﹣2）21 C．0 D．﹣210
10．下列说法正确的个数为（ ）
（1）0是绝对值最小的有理数；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；
（3）0除以任何数都等于0；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．计算﹣32的结果是（ ）
A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣6
12．下列各组数中，数值相等的是（ ）
A．﹣22和（﹣2）2 B．23和32
C．﹣33和（﹣3）3 D．（﹣3×2）2和﹣32×22
13．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A． B． C． D．
14．若a＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，c＝﹣（2×3）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
二．填空题（共18小题）
15．若x、y互为倒数，则（﹣xy）2018＝ ．
16．若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则（m+n）2＝ ．
17．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多 条．
18．平方等于16的数有 ．
19．计算（﹣2）100×的结果是 ．
20．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折5次可以得到 条折痕．
21．给定两组数，A组为：1，2，…，100；B组为：12，22，…，1002．对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数”．那么，A组中这样的关联数有 个．
22．22018×42019×（﹣0.125）2017＝ ．
23．一个有理数的平方等于它的立方，这个有理数是 ．
24．一个数的立方等于它本身，这个数是 ．
25．计算（﹣3）2018 （﹣1）2019的结果为 ．
26．将一张长方形的纸对折，如图，可得到一条折痕（图中虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得7条折痕，连续对折5次后，可以得到 条折痕．
27．已知，某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是 个，第n小时后细胞存活个数是 个．
28．5的相反数是 ，平方等于49的数是 ．
29．平方和绝对值都是它本身的相反数的数是 ．
30．看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空．．
31．平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是 ．
32．一米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，……，如此截下去，第 次截去后剩下的小棒长米．
三．解答题（共9小题）
33．若a2＝25，|b|＝5，求a+b的值．
34．已知|x+1|＝4，（y+2）2＝4，求x+y的值．
35．阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
①a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝ ；
②归纳、概括：am an＝ ；
③如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝ ．
36．拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示：
这样，
（1）第4次捏合后可拉出 根细面条；
（2）第 次捏合后可拉出256根细面条．
37．一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有六个同学A、B、C、D、E、F分别藏在六张大纸牌的后面，如图，A、B、C、D、E、F所持的纸牌的前面分别写有六个算式：66；63+63；（63）3；（2×62）×（3×63）；（22×32）3；（64）3÷62．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．如果现在由同学A来找他的朋友，他可以找谁呢？说说你的看法．
38．有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米？
39．已知|x|＝2，|y|＝4，若x＜y，求xy的值．
40．如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝ ，g（32）＝ ．
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．
根据运算性质填空：＝ ，（a为正数）．
若g（7）＝2.807，则g（14）＝ ，g（）＝ ．
（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）
x 3 6 9 27
g（x） 1﹣4a+2b 1﹣2a+b 2a﹣b 3a﹣2b 4a﹣2b 6a﹣3b
41．把下列各数填在相应的集合内：
﹣1，﹣20%，，42，0，，﹣32，0.89
负整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
