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2021-2022学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·八年级期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A、未知数的最高次数是1，故本选项不符合题意；
B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、不是整式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．(本题3分)（2021·浙江·余姚市梨洲中学八年级期中）把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2＋5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
把一元二次方程去括号、移项、合并同类项得到一般式即可．
【详解】
解：y2＋2（y﹣1）＝3y，
去括号得，y2＋2y﹣2＝3y，
移项得，y2＋2y﹣2-3y＝0，
合并同类项得，y2-y﹣2＝0，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用等式的性质和整式的运算法则进行计算．
3．(本题3分)（2020·浙江丽水·八年级期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
【详解】
，
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平移的性质，进而表示出长与宽进而得出答案．
【详解】
解：设人行通道的宽度为x米，根据题意可得：
（18-3x）（6-2x）=60，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出是解题关键．
5．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出m+n=1，mn=-2018，根据一元二次方程解的定义得出，，求出，，代入求出即可．
【详解】
解：∵m，n是方程的两个根，
∴m+n=1，mn=-2018，，，
∴，，
∴
=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程解的定义，能根据题意求出m+n=1，mn=-2018，，是解此题的关键．
6．(本题3分)（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0，则下列关于该方程的根的判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．
【详解】
解：x2+bx﹣4＝0，
Δ=b2-4×1×（-4）=b2+16，
∵不论b为何值，b2≥0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
7．(本题3分)（2021·浙江余姚·八年级期末）已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．方程一定有实数根 B．当取某些值时，方程没有实数根
C．方程一定有两个实数根 D．方程一定有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
根据定义的公式化简x※（mx）=-1，分m=0和m两种情况讨论，分别得到方程x+1=0和mx2+（m+1）x+1=0，解方程或利用根的判别式求解即可判断．
【详解】
解：∵a※b=ab+a+b，
∴x※（mx）=x mx+x+mx=mx2+（m+1）x=-1，
由mx2+（m+1）x=-1得
mx2+（m+1）x+1=0，
当m时，
Δ=b2-4ac=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，
∴方程有两个实数根．
当m时，方程为x+1=0，
x=-1，
∴方程有实数根为-1，
综上，方程一定有实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别情况，关键是从定义出发得出一元二次方程进行根的判断．
8．(本题3分)（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
设该有盖纸盒的高为，根据题意，计算得纸盒盖面积，再通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【详解】
设该有盖纸盒的高为
根据题意，得纸盒盖面积为：
∵纸盒盖面积为
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴该有盖纸盒的高为1cm
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
9．(本题3分)（2020·浙江浙江·八年级期末）一个三角形的两边为方程的两根，第三边长为4，则k的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据方程有两个实数根求出k的取值范围，再根据韦达定理求出x1＋x2及x1x2的值，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】
解：∵三角形的两边长是方程2x2﹣kx＋8＝0的两个根，
∴△≥0，
即Δ＝（﹣k）2﹣4×2×8≥0，
解得：k≥8或k≤﹣8，
设方程的两根为x1，x2，
又∵第三边长为4，
∴x1＋x2＝＝＞4，x1x2＝＝4，|x1﹣x2|＜4，
∴k＞8，（x1﹣x2） ＜16，
即：（x1＋x2） －4x1x2＜16，
∴（） －4×4＜16，
解得：＜k＜，
∴k的取值范围为8＜k＜，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、三角形三边关系以及完全平方公式的变形，熟知一元二次方程的解与根的判别式的关系是解答此题的关键．
10．(本题3分)（2020·浙江浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于，的方程组，利用②①可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，进而可得出的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论．
【详解】
解：设矩形的长为，宽为，
依题意，得：，
②①，得：，
③．
将③代入②，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去），
．
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若关于x的方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m＝___．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】
解：依题意可得m-2≠0，m2-2=2
解得m=-2
故答案为：-2．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．(本题3分)（2018·浙江苍南·八年级期末）方程x2＝2x的解是_______．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【详解】
解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
13．(本题3分)（2021·浙江杭州·八年级期中）如果关于的方程（为常数）有一个根是3，则另外一个根是________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据已知条件“方程x2-x+k=0的一个根是3”，一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=求该方程的另一个根．
【详解】
解：根据题意得x1+x2==1，
令x1=3，
则3+x2=1，
解得：x2=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系可以求出方程的另一个根是解题关键．
14．(本题3分)（2021·浙江诸暨·八年级期中）前段时间，李克强总理就高血压，糖尿病的用药50%纳入报销的视频在各大网站频频报道，现有某治高血压药原来售价100元每瓶，为促进医疗改革连续两次降价后售价为81元每瓶，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．
【答案】10%
【解析】
【分析】
设每次下降的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得：100（1 x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）若关于的方程的根是正整数，则整数的值可以是_______．
【答案】7或0或1
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系，得出方程的根，再进行分析得出整数解．
【详解】
解：当时，方程为显然符合题意，
当时，，
，
，
∴，
，．
可知方程必有一根为1，则另一根为，是正整数，
是7的正约数，即或1，
，0，1，
故答案为：7或0或1．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，题目比较新颖．
16．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程，下列命题中正确的有______（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
【答案】①④
【解析】
【分析】
①根据a+b+c=0，可以得到b=-a-c，然后代入b2-4ac，看最后的结果，再和小题中的结论对比，即可解答本题；②根据根与系数的关系，可以得到a和c的关系，从而可以判断3a+2c的值是否等于0；③根据b=0和根的判别式，可以判断方程ax2+bx+c=0的根的情况；④根据方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，可以得到根的判别式大于0，然后即可判断方程ax2+bx+c=0的根的判别式的正负，从而可以解答本题．
【详解】
解：①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=（a-c）2≥0，故①正确；
②∵方程两根为-1和3，
∴-1+3=，（-1）×3=，
∴b=-2a，c=-3a，
∴3a+2c=3a-6a=-3a≠0，故②错误；
③∵b=0，
∴△=b2-4ac=-4ac，
因为题目中a、c的值不确定，故-4ac的值不确定，不能判定该方程根的情况，故③错误；
④∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=-4ac＞0，
∵方程ax2+bx+c=0，
∴△=b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用、命题与定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的命题是否成立．
17．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【解析】
【分析】
根据原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围
【详解】
解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2020·浙江杭州·模拟预测）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x1=-1，x2=5；（2）x1=，x2=4
【解析】
【分析】
（1）先化简方程得到，然后利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
∴x1=-1，x2=5；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴3x+2=0或x-4=0，
∴x1=，x2=4．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
19．(本题8分)（2021·浙江下城·八年级期末）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【答案】（1）a＝﹣1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）把x=2代入已知方程，易得a的值；
（2）根据判别式的意义得到Δ=＞0，然后解不等式即可．
【详解】
（1）解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0，
得到22+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）∵Δ＝a2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【点睛】
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
20．(本题8分)（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期中）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【答案】（1）这个车棚的长为10米，宽为8米．（2）小路的宽度是1米．
【解析】
【分析】
（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，依据题意列方程求解即可；
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，依据题意列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x ＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，
依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54，
整理得：m2﹣14m+13＝0，
解得：m1＝1，m2＝13．
当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意；
当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去．
答：小路的宽度是1米．
【点睛】
此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键．
21．(本题8分)（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．
【详解】
解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．
22．(本题9分)（2021·浙江浙江·八年级期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：
（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）从方程中得出a，b，c的值，利用勾股定理验证即可得出结论；
（2）计算△并变形可得：△，可得结论；
（3）当时，有，即，由，得，推出，，由，可得，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）在中，
a=3，b=4，c=5，满足，
∴a，b，c是直角三角形的三边长，
∴是勾系一元二次方程；
（2）证明；，
△
，
，
△，
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）是“勾系一元二次方程” 的一个根，
，即，
四边形的周长是，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】
本题是新定义：“勾系一元二次方程”的理解和运用，主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型．
23．(本题10分)（2019·浙江·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）A（3，3）， B（6，0）；（2）m=t（0＜t＜3）；（3）P（2，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）先利用因式分解法解方程可得到OB=6，OC=5，则B点坐标为（6，0），作AM⊥x轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=OB=3，于是可写出B点坐标；
（2）作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，﹣3），再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t，t），所以QR=t﹣（t），从而得到m关于t的函数关系式．
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6，直线BC的解析式为，然后分类讨论：当0＜t＜3时，利用t=3.5可求出t得到P点坐标；
当3≤t＜4时，则Q（t，﹣t+6），R（t，t），于是得到﹣t+6﹣（t）=3.5，解得t=10，不满足t的范围舍去；当4≤t＜6时，则Q（t，﹣t+6），R（t，），所以﹣t+6﹣（）=3.5，然后解方程求出t得到P点坐标．
【详解】
（1）∵方程的解为=5，=6，
∴OB=6，OC=5，
∴B点坐标为（6，0），
作AM⊥x轴于M，如图，
∵∠OAB=90°且OA=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OM=BM=AM=OB=3，
∴A点坐标为（3，3）；
（2）作CN⊥x轴于N，如图，
∵t=4时，直线l恰好过点C，
∴ON=4，在Rt△OCN中，CN===3，
∴C点坐标为（4，﹣3），
设直线OC的解析式为y=kx，把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=，
∴直线OC的解析式为，设直线OA的解析式为y=ax，
把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵P（t，0）（0＜t＜3），
∴Q（t，t），R（t，t），
∴QR=t﹣（t）=t，即m=t（0＜t＜3）；
（3）设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，3），B（6，0）代入得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，
同理可得直线BC的解析式为；
当0＜t＜3时，m=t，
若m=3.5，则t=3.5，
解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；
当3≤t＜4时，Q（t，﹣t+6），R（t，t），
∴m=﹣t+6﹣（t）=t+6，
若m=3.5，则t+6=3.5，
解得t=10（不合题意舍去）；
当4≤t＜6时，Q（t，﹣t+6），R（t，），
∴m=﹣t+6﹣（）=t+15，
若m=3.5，则t+15=3.5，解得t=，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（，0）．
【点睛】
此题考查的是一次函数、解一元二次方程和等腰三角形的性质，解决此题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，利用坐标求距离及分类讨论的数学思想.
试卷第1页，共3页
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2021-2022学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·八年级期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题3分)（2021·浙江·余姚市梨洲中学八年级期中）把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2＋5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
3．(本题3分)（2020·浙江丽水·八年级期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）A． B．C． D．
4．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
6．(本题3分)（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0，则下列关于该方程的根的判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
7．(本题3分)（2021·浙江余姚·八年级期末）已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．方程一定有实数根 B．当取某些值时，方程没有实数根
C．方程一定有两个实数根 D．方程一定有两个不相等的实数根
8．(本题3分)（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
9．(本题3分)（2020·浙江浙江·八年级期末）一个三角形的两边为方程的两根，第三边长为4，则k的范围是（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)（2020·浙江浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若关于x的方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m＝___．
12．(本题3分)（2018·浙江苍南·八年级期末）方程x2＝2x的解是_______．
【答案】x1＝0，x2＝2
13．(本题3分)（2021·浙江杭州·八年级期中）如果关于的方程（为常数）有一个根是3，则另外一个根是________．
14．(本题3分)（2021·浙江诸暨·八年级期中）前段时间，李克强总理就高血压，糖尿病的用药50%纳入报销的视频在各大网站频频报道，现有某治高血压药原来售价100元每瓶，为促进医疗改革连续两次降价后售价为81元每瓶，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．
15．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）若关于的方程的根是正整数，则整数的值可以是_______．
16．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程，下列命题中正确的有______（填序号）．
①若，则；
②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
17．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2020·浙江杭州·模拟预测）解方程：
（1）
（2）
19．(本题8分)（2021·浙江下城·八年级期末）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
20．(本题8分)（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期中）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
21．(本题8分)（2021·浙江·杭州市公益中学八年级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
22．(本题9分)（2021·浙江浙江·八年级期末）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：
（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
23．(本题10分)（2019·浙江·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根（OB＞OC）．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线l恰好过点C．当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式．
（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标．
试卷第1页，共3页
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