6.2平面直角坐标系(2)（含答案解析）

6.2平面直角坐标系（2）
【要点预习】
建立直角坐标系
在建立直角坐标系表示给定的点或图形的位置时，一般选择适当的点作为 ，适当的距离为 ，这样有助于表示和解决有关问题.
【课前热身】
1. 在直角坐标系中，点A（1，3）位于…………………………………………………（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案：A
2. 过点A(2，-3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B，那么B的坐标为………………( )
A. (0，2) B. (2，0) C. (0，-3) D. (-3，0)
答案：C
3. 位于x轴上的点的坐标的特点是 .
答案：纵坐标为0
4.在平面直角坐标系中，若点P（x+2，x）在第四象限，则x的取值范围是 .
答案：-2【讲练互动】
【例1】如图是某个小岛的平面示意图，请你建立适当的平面直角坐标系，写出哨所1，哨所2，小广场，雷达，码头，营房的位置.
【分析】建立直角坐标系的关键是确定原点，x轴和y轴，确定单位长度.
【解】以小广场为直角坐标系原点，所在方格线的水平方向为x轴，方格线的竖直方向为y轴建立直角坐标系，并设图中每个小正方形的边长为1.
哨所1（0，3），哨所2（-4，0），小广场（0，0），雷达（4，0），码头（-1，-3），营房（1，-4）.
【绿色通道】随着建立的直角坐标系的位置不同，各位置的坐标也随之改变.
【变式训练】
1. 请你建立一个与例1不同的直角坐标系，并分别计算例1和本题中的哨所2与雷达间的距离，哨所1与哨所2间的距离，码头与营房间的距离，根据你的计算结果请写出一个结论.
【分析】根据各点的坐标和勾股定理进行计算.
【解】哨所2与雷达间的距离为8个单位长度；哨所1与哨所2的距离为=5个单位长度；码头与营房的距离为个单位长度.
结论：无论直角坐标系建在何处，小岛上任意两地间的距离都不变.
【例2】如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=6，BC=8.
(1) 建立以B为坐标原点、BC为x 轴的平面直角坐标系；
(2) 求A、C、D三点的坐标.
【分析】先根据题意建立直角坐标系，再过A作AE⊥BC于E，将点的坐标转化为几何问题.
【解】(1) 如右图建立直角坐标系；
(2) 过A作AE⊥BC于E.
∵∠B=60°，AB=6，∴∠BAE=30°，BE=AB=3，AE=.
∴A点坐标为(3，)或(3，).
∵BC=8，∴C点坐标为(8，0).
∵AD∥BC，且AD= BC=8，∴D点坐标为(11，)或(11，).
【黑色陷阱】几何中线段的长度必是正值，而转化为点的坐标时必须注意所在象限的符号.
【变式训练】
2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4. 建立以A为坐标原点、AB为x 轴的平面直角坐标系. 求B、C两点的坐标.
【分析】用勾股定理求出AB的长即可求得B点坐标；过C作CD⊥AB于D，分别求出AD和CD的长即可求得C点坐标.
【解】∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=，即B点的坐标为 (5，0).
过C作CD⊥AB于D，则S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=，
∴C点坐标为(，).
【例3】根据给出已知点的坐标求四边形ABCD的面积.
【分析】将不规则的四边形ABCD分割为几个特殊的三角形或四边形.
【解】作BD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E.
∵A(-2，8)，∴OE=2，AE=8.
∵B(-11，6)，∴OD=11，BD=6，DE=9.
∵C(14，0)，∴OC=14，CD=3.
∴S四边形ABCD=S△BCD+S梯形ABDE+S△OAE
=CD·BD+(BD+AE)·DE+OE·AE
=×3×6+×(6+8)×9+×2×8=80.
【绿色通道】在直角坐标系中求不规则图形的面积，常通过向x轴或y轴作一些特殊的三角形或四边形的面积来解.
【变式训练】
3. 如图，已知点A和点B的坐标分别为(1，3)和(1，-1)，在线段AB上求一点E，使OE把△AOB的面积分成1∶2两部分.
【分析】注意本题E点位置有两种可能.
【解】设AB交x轴于C点.
∵A(1，3)，B(1，-1)，∴AB=4.
∵△AOE与△BOE同高，∴S△AOE∶S△BOE=AE∶BE.
∵OE把△AOB的面积分成1∶2两部分，∴S△AOE∶S△BOE=1∶2或2∶1
当S△AOE∶S△BOE=1∶2时，AE∶BE =1∶2，
∴AE=AB=，EC=3-=，即E的坐标为(1，).
当S△AOE∶S△BOE=2∶1时，AE∶BE =2∶1，
∴AE=AB=，EC=3-=，即E的坐标为(1，).
∴E点的坐标为(1，)或(1，).
【同步测控】
基础自测
1.如图是坐标系的一部分，若M位于点(2，-2)上，N位于点(4，-2)上，则G 点坐标为……………………………………（ ）
A. (1，3) B. (1，1) C. (0，1) D. (-1，1)
解析：根据M和N点的坐标先确定直角坐标系，再判断G点的位置.
答案：C
2.如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，0)表示“帅”的位置，用(3，9)表示“将”的位置，那么“炮”的位置应表示为…………………………………………………………………（ ）
A. (8，7) B. (7，8) C. (8，9) D. (8，8)
解析：根据“帅”和“将”的位置可确定直角坐标系是以最底端的水平线为x轴，最左端的竖直线为y轴，再判断“炮”点的位置.
答案：A
3.在坐标平面内，若点P(x-2，x+1)在第二象限，则x的取值范围是（ ）
A. x>2 B. x<2 C. x>-1 D. –1解析：第二象限横坐标为负，纵坐标为正，于问题可转化为解不等式组.
答案：D
4. 已知正△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，0），则顶点C的坐标为…（ ）
A.（1，） B.（1，）
C.（1，）或（1，） D.（，）或（，）
解析：C点可能在第一象限，也可能在第四象限. 可通过作AB边上的高求得C点坐标.
答案：C
5. 已知点A (3a-4，4a+7)在第一、三象限的角平分线上，则a的值为 .
解析：第一、三象限角平分线上点的坐标的特征是：横坐标与纵坐标相等.
答案：-11
6.已知点P(x，y)位于第二象限，并且y≤x+4，x，y为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标： .
解析：第二象限的点的坐标的特征是：横坐标为负数，纵坐标为正数，又y≤x+4，于是由0< y≤x+4且x<0，解得-4答案：(-3，1)或(-2，1)或(-2，2)或(-1，1)或(-1，2)或(-1，3).
7. 如果P (m+3，2m+4)在y轴上，那么点P到原点的距离是 .
解析：y轴上点的坐标的特征是：横坐标为0，即m+3=0，∴m=-3，∴P(0，-2)，即P到原点的距离为2.
答案：2
8. 如图所示，C，D两点的横坐标分别为2，3，线段CD=1；B，D两点的横坐标分别为-2，3，线段BD=5；A，B两点的横坐标分别为-3，-2，线段AB=1.
 (1) 如果x轴上有两点M(x1，0)，N(x2，0)(x1(2) 如果y轴上有两点P(0，y1)，Q(0，y2)(y1分析：根据CD=3-2=1，BD=3-(-2)=5，AB=-2-(-3)=1，的规律便可求得MN与PQ的长.
解：(1)MN= x2-x1； (2)PQ= y2-y1.
9. 建立适当的平面直角坐标系，分别表示边长为4的正方形的顶点的坐标.
分析：建立不同的坐标系，可得不同的答案.
解：
如图1建立直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4).
同理若分别以B、C、D为直角坐标系原点，则又可求得相应的坐标.
又如图2建立直角坐标系，则A(-2，-2)，B(2，-2)，C(2，2)，D(-2，2)等等.
10. 已知|a-2|+(b-3)2=0，且A(a，0)，B(b，0)，C(0，ab)是平面直角坐标系内的三点，求△ABC的面积.
分析：根据非负数的性质先求得a，b的值，再根据A，B，C分别x轴或y轴上的特征，可知S△ABC=AB·OC.
解：由题意得a-2=0且b-3=0，即a=2，b=3.
∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)，即AB=1，OC=6.
∴S△ABC=AB·OC=3.
能力提升
11.将点A(4，0)绕着原点O顺时针方向旋转30°角到对应点A′ ，则点A′的坐标是…………………………………………………………………………………………（ ）
A. (，2) B. (4，-2)
C. (，-2) D. (2，-)
解析：根据题意可作如右图图象，作A′B ⊥x轴于B. 则O A′ =4，∠A′ OB=30°，于是A′B=2，OB=，再由A′ 在第四象限，于是可得A′的坐标.
答案：C
12. 已知点P在第二象限，有序数对(m，n)中的整数m，n满足m-n=-6，那么符合条件的点P共有……………………………………………………………………………………（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D.无数个
解析：由P在第二象限，得，而m-n=-6，故，解得0答案：A
13. 设三角形三个顶点的坐标分别为A(0，0)，B(3，0)，C(3，-3)，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 任意三角形
C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
解析：由题意，得AB=3，BC=3，AC2=18=AB2+BC2，故△ABC为等腰直角三角形.
答案：C
14.在平面直角坐标系中，若点P（x+2，x）在第四象限，则x的取值范围是 ．
解析：由P在第四象限，得，故可求得x的取值范围.
答案：-215. 在平面直角坐标系xoy中，已知A(3，-4)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个.
解析：当OA=OP时，P(0，5)或(0，-5)；当AO=AP时，P(0，-8)；当PA=PO时，P(0，).
答案：4
16.已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°A. (-1，-) B. (-1，) C.(，-1) D.(-，-1)
解析：如图，根据指令机器人从A点行动至B点，作BC⊥x轴于C，则∠BAC=90°-60°=30°，AB=2，于是BC=1，AC=，再根据B在第三象限，便得所在位置的坐标.
答案：D
创新应用
17. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A(-1，2)和B(1，2)点，已知宝藏在(4，3)点，请你确定直角坐标系并找出“宝藏”位置，说明你的方法，并画出示意图.
分析：由于A与B点的纵坐标相同，故作AB的中垂线即为y轴，而AB=2，故原点在以垂足为圆心、AB长为半径的圆弧与中垂线在AB以下的交点处，再根据建立的坐标系确定宝藏地点.
解：(1) 作AB的中垂线CD，垂足为E；
(2)以E为圆心，AB长为半径作圆弧与直线CD交于两点，设线段AB下方的交点为O；
(3)以O为原点，直线CD为y轴建立坐标系，且单位长度为线段BE的长；
(4)在所建立的直角坐标系找到(4，3)点，便可得宝藏的位置.