2.2　第3课时　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 同步练习（含答案）

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第3课时　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
知识点1　用配方法解二次项系数不为1的一元
二次方程
1.把方程3x2-6x-27=0的二次项系数化为1,可得方程 (　　)
A.x2-2x-9=0 B.x2-6x+27=0
C.x2-2x-27=0 D.x2-6x-9=0
2.方程2x2-4x-3=0配方后写成(x+m)2=b的形式应为 (　　)
A.(x-2)2=7 B.(x-1)2=
C.(x-1)2=5 D.(x-2)2=
3.用配方法解方程2y2-5y+2=0.
方程两边同除以2,并将常数项移项,得
　　　　　　　　.
方程两边同加上　　　　,得
y2-y+　　　　=-1+　　　　,
即　　　　　=　　　　,
解得y1=　　　　,y2=　　　　.
4.(教材例6变式)用配方法解下列一元二次方程:
(1)4x2+12x+9=0; 　(2)3x2+6x-1=0;
(3)2x2-3x-3=0.
知识点2　配方法的运用
5.填空:(1)3x2+12x+　　　=3(x+　　　　)2;
(2)x2-5x+　　　　=(x-　　　　)2.
6.若二次三项式4x2+ax+1可化为(2x-b)2的形式,则ab=　　　　.
7.先仔细阅读下列材料,再尝试解决问题.
求多项式2x2+12x-4的最小值时,我们可以这样处理:
解:原式=2(x2+6x-2)=2(x2+6x+9-9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22.
因为无论x取何值,都有(x+3)2的值为非负数,所以(x+3)2的最小值为0,此时x=-3.当x=-3时,2(x+3)2-22=-22,故原多项式的最小值是-22.
解决问题:
(1)请根据上面的解题思路,求多项式x2+4x+5的最小值,并写出此时x的值;
(2)请根据上面的解题思路,求多项式-3x2-6x+12的最大值,并写出此时x的值.
8.用配方法证明对于任何实数x,二次三项式x2-2x+5-的值恒大于零.
9.因为(x-1)2≥0,所以x2-2x+1≥0,即x2+1≥2x,由此可得出结论:若x为实数,则x2+1≥2x.运用这个结论求代数式的最大值为 (　　)
A.0 B. C.1 D.
10.若(5x+6y)2+2(5x+6y)-4=0,则5x+6y的值为　　　　.
11.若P=a-2,Q=a2+3a(a为实数),则P,Q的大小关系为P　　　　Q(填“>”“<”或“=”).
12.用配方法解下列一元二次方程:
(1)x(2x+1)=5x+70;
(2)0.4y2+0.8y-1=0;
(3)x(2x-4)=5-6x.
13.(教材例7变式)若9x2-(k+2)x+4是一个关于x的完全平方式,求常数k的值.
14.若x2+y2+4x-6y+13=0,求2x+3y的值.
15.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,x-22+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)按照上面的例子,写出x2-4x+9的三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(写出两种不同形式的配方);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
详解详析
1.A
2.B　[解析] 方程2x2-4x-3=0,
变形,得x2-2x=,
配方,得x2-2x+1=,即(x-1)2=.故选B.
3.y2-y=-1　　　　　　2　
4.解:(1)(2x+3)2=0,解得x1=x2=-.
(2)二次项系数化为1,得x2+2x-=0.
移项,得x2+2x=.
方程两边同时加上1,得
x2+2x+1=+1,
即(x+1)2=,
开方,得x+1=±,
解得x1=-1,x2=--1.
(3)2x2-3x-3=0,
二次项系数化为1,得x2-x-=0,
移项,得x2-x=,
方程两边同时加上2,得
x2-x+2=2+,
即=,
开方,得x-=±,
解得x1=,x2=.
5.(1)12　2　(2)　5
6.-4
7.解:(1)x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.
因为无论x取何值,都有(x+2)2的值为非负数,所以(x+2)2的最小值为0,此时x=-2.
当x=-2时,多项式x2+4x+5的最小值是1.
(2)-3x2-6x+12=-3(x2+2x-4)=-3(x2+2x+1-1-4)=-3[(x+1)2-5]=-3(x+1)2+15.
因为无论x取何值,都有-3(x+1)2的值为非正数,所以-3(x+1)2的最大值为0,此时x=-1.
当x=-1时,多项式-3x2-6x+12的最大值是15.
8.证明:x2-2x+5-=+3-.
∵≥0,3->0,
∴x2-2x+5-的值恒大于零.
9.B　[解析] ∵x2+1≥2x,要求代数式的最大值,∴x必须大于0,∴≤,即≤,∴的最大值为.
故选B.
10.-1±
11.<　[解析] ∵P=a-2,Q=a2+3a(a为实数),
∴Q-P=a2+3a-a+2
=a2+2a+2
=(a+1)2+1.
∵(a+1)2≥0,∴(a+1)2+1≥1,∴Q-P≥1,∴Q>P,即P12.解:(1)x(2x+1)=5x+70.
去括号,得2x2+x=5x+70.
移项、合并同类项,得2x2-4x=70.
两边同时除以2,得x2-2x=35.
配方,得x2-2x+1=35+1,即(x-1)2=36.
解得x1=7,x2=-5.
(2)0.4y2+0.8y-1=0,
0.4y2+0.8y=1,
y2+2y=2.5,
y2+2y+1=2.5+1,
(y+1)2=,
y+1=±,
y=-1±,
即y1=-1+,y2=-1-.
(3)x(2x-4)=5-6x,
整理,得2x2+2x=5,
x2+x=,
x2+x+=+,
=,
x+=±,
即x1=,x2=.
13.解:∵9x2-(k+2)x+4是一个完全平方式,
∴9x2-(k+2)x+4=(3x+2)2或9x2-(k+2)x+4=(3x-2)2,
∴-(k+2)=12或-(k+2)=-12,
∴k=-14或k=10.
14.解:由题意得(x+2)2+(y-3)2=0,
∴x=-2,y=3,
∴2x+3y=-4+9=5.
15.解:(1)x2-4x+9的三种不同形式的配方分别为x2-4x+9=(x-2)2+5;
x2-4x+9=(x-3)2+2x;
x2-4x+9=x-32+x2.
(2)答案不唯一,如a2+ab+b2=(a+b)2-ab;
a2+ab+b2=a+b2+b2.
(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,
∴a2-ab+b2+(b2-4b+4)+c2-2c+1=0,
∴a-b2+(b-2)2+(c-1)2=0,
∴a-b=0,b-2=0,c-1=0,
∴a=1,b=2,c=1,则a+b+c=4.
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