第二章 一元二次方程章末小结（含答案）

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第二章章末小结
类型之一　一元二次方程的相关概念
1.下列选项中的方程,是一元二次方程的是(　　)
A.(x-1)(x+2)=1 B.x2+=0 C.x+y=5 D.x3-2x+1=0
2.将一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为 (　　)
A.5,-4 B.5,4 C.5,1 D.5x2,-4x
3.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为　　　　.
类型之二　一元二次方程的解法
4.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)最适合的方法应该是 (　　)
A.开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
5.用配方法解下列方程时,配方有错误的是 (　　)
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.4t2-4t-5=0化为(2t-1)2=6
D.9y2+6y-2=0化为(3y+1)2=3
6.(2021临沂)方程x2-x=56的根是 (　　)
A.x1=7,x2=8 B.x1=7,x2=-8
C.x1=-7,x2=8 D.x1=-7,x2=-8
7.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是　　　　　　.
8.解下列方程:
(1)x2+2x=3; 　(2)(x+1)2=4x;
(3)x2-x-=0;　 (4)5x(3x+2)=6x+4.
类型之三　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
9.(2020湖州)已知关于x的一元二次方程x2+bx-1=0,则下列关于该方程的根的判断正确的是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数与实数b的取值有关
10.(2020遵义)已知x1,x2是方程x2-3x-2=0的两根,则+的值为 (　　)
A.5 B.10 C.11 D.13
11.(2021杭州富阳区二模)若关于x的一元二次方程x2+4x-3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k>- B.k<- C.k≥- D.k≤-
类型之四　一元二次方程的应用
12. (2020衡阳)如图2-X-1,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米,宽20米的长方形,为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为 (　　)
图2-X-1
A.35×20-35x-20x+2x2=600
B.35×20-35x-2×20x=600
C.(35-2x)(20-x)=600
D.(35-x)(20-2x)=600
13.(2021杭州上城区一模)某商店销售连衣裙,每条盈利40元,每天可以销售20条.商店决定降价销售,经调查发现,每条连衣裙每降价1元,商店每天可多销售2条连衣裙.若商店想要每天盈利1200元,则每条连衣裙应降价 (　　)
A.5元 B.10元 C.20元 D.10元或20元
14.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯.若一共碰杯55次,则参加酒会的人数为　　　　.
15.(2021宁波鄞州区期末)随着“共享经济”概念的迅速普及,共享汽车也进入了人们的视野,某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车,全天包车的租金定为每辆120元.据统计,三月份的全天包车数为25次,在租金不变的基础上,四、五月份的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数达到64次.
(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变,求全天包车数的月平均增长率;
(2)从六月份起,该公司决定降低租金,经调查发现,每辆车的租金每降低a元,全天包车数增加1.6a次,当每辆车的租金降价多少元时,公司将获利8800元
类型之五　数学活动
16.请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,
所以x=.
把x=代入已知方程,得+-1=0,
化简,得y2+2y-4=0,
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用上述材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数,则所求方程为　　　　　　　　　;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
详解详析
1.A　2.A
3.-1　[解析] ∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,
∴a2-1=0,a-1≠0,
则a=-1.
4.D　5.B　6.C
7.x+6=-4　
8.解:(1)x1=-3,x2=1.
(2)x1=x2=1.
(3)∵a=1,b=-,c=-,b2-4ac=2+1=3,
∴x=,
∴x1=,x2=.
(4)5x(3x+2)=6x+4,
5x(3x+2)=2(3x+2),
(5x-2)(3x+2)=0,
解得x1=,x2=-.
9.A
10.D　[解析] 本题考查一元二次方程根与系数的关系.
∵x1,x2是方程x2-3x-2=0的两根,
∴x1+x2=3,x1x2=-2,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=9+4=13.
故选D.
11.A
12.C
13.D　[解析] 设每条连衣裙降价x元,则每天售出(20+2x)条.
依题意,得(40-x)(20+2x)=1200,
整理,得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20.
故每条连衣裙应降价10元或20元.
故选D.
14.11
15.解:(1)设全天包车数的月平均增长率为x.
根据题意,得25(1+x)2=64,
解得x1=0.6=60%,x2=-2.6(不合题意,舍去).
答:全天包车数的月平均增长率为60%.
(2)根据题意,得(120-a)(64+1.6a)=8800,
化简,得a2-80a+700=0,
解得a1=10,a2=70.
答:当每辆车的租金降价10元或70元时,公司将获利8800元.
16.解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x,
所以x=-y.
把x=-y代入已知方程,得y2-y-2=0,
故所求方程为y2-y-2=0.
故答案为y2-y-2=0.
(2)设所求方程的根为y,则y=(x≠0),于是x=(y≠0).
把x=代入方程ax2+bx+c=0,
得a2+b·+c=0,
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不符合题意,∴c≠0,
故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).
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