2021-2022学年浙教版八年级数学下册《2-2一元二次方程的解法》同步课后作业（Word版 附答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《2-2一元二次方程的解法》同步课后作业（附答案）
1．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）和它的两个实数根为x1、x2，下列说法：①若a、c异号，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根；②若b2＞5ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根；③若b＝a+c，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根；④若a＝1，b＝2，c＝3，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝3．其中正确的结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（　　）
A．15 B．16 C．15或17 D．16或17
3．下列说法：①若一元二次方程x2+bx+a＝0有一个根是a（a≠0），则代数式a+b的值是﹣1；②若b2＞6ac，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若b＝a+2c，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且mn≠1，则的值为﹣6．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A．2021 B．2019 C．﹣2021 D．4042
5．下列配方正确的是（　　）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6 B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2 D．x2﹣
6．将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A． B．3（x+1）2+1 C．3（x+1）2﹣1 D．
7．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc．例如＝8×5﹣3×9＝13，则方程＝﹣9的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
8．若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1
10．若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
11．问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（　　）
A．4y2+y﹣15＝0 B．4y2+y+15＝0 C．15y2+y﹣4＝0 D．15y2﹣y﹣4＝0
12．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
14．若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．﹣1 D．﹣1
15．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
16．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0
17．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（　　）
A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝6，x2＝﹣6
C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝3，x2＝﹣3
18．若x2﹣6x+8＝（x﹣m）2+n，则m+n的值为 　 　．
19．如果关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是 　 　．
20．方程x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0的根是 　 　．
21．一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则菱形的面积为 　 　．
22．已知方程（x+1）（x+a）＝0有一个根是x＝3，则a＝　 　．
23．用适当方法解下列方程．
（1）2x2﹣1＝4x（配方法）；
（2）3x2﹣4x﹣1＝0；
（3）（x+2）2﹣8（x+2）+16＝0．
24．公式法解一元二次方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0．
（1）若k＝﹣6，求此方程的解；
（2）若该方程无实数根，求k的取值范围．
26．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．
参考答案
1．解：Δ＝b2﹣4ac，
当a、c异号时，ac＜0，所以Δ＞0，所以此时方程ax2+bx+c＝0一定有实数根，所以①正确；
当b2＞5ac时，则△＞ac，若a、c异号，此时方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，若ac同号，则Δ＞0，此时方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根，所以②正确；
若b＝a+c时，Δ＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两实数根，所以③正确；
若a＝1，b＝2，c＝3，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根，所以④错误．
故选：C．
2．解：当3为底边长时，则a＝b，a+b＝8，
∴a＝b＝4．
∵4，4，3能围成三角形，
∴﹣1+m＝4×4，
解得：m＝17；
当3为腰长时，a、b中有一个为3，则另一个为5，
∵5，3，3能围成三角形，
∴﹣1+m＝5×3，
解得：m＝16；
∴m的值为17或16，
故选：D．
3．解：①若一元二次方程x2+bx+a＝0有一个根是a（a≠0），则a2+b×a+a＝0
整理得出：a（a+b+1）＝0，
则代数式a+b＝﹣1，故此说法正确；
②∴b2＞6ac，
∴b2＞4ac，即b2﹣4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，故此说法正确；
③若b＝a+2c，那么Δ＝b2﹣4ac＝（a+2c）2﹣4ac＝a2+4c2，
∵当a≠0，
∴Δ＞0，故此说法正确；
④∵两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且mn≠1，
∴m，可看作方程x2+3x﹣9＝0的两实数根，
∴m+＝﹣3，＝﹣9．
∴＝m++＝﹣3﹣9＝﹣12．故此说法错误；
故正确的有3个，
故选：C．
4．解：∵α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021，且α+β＝﹣2，
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2021﹣2＝2019．
故选：B．
5．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；
B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；
C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；
D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；
故选：C．
6．解：3x2+6x+2
＝3（x2+2x+1﹣1）+2
＝3（x+1）2﹣3+2
＝3（x+1）2﹣1，
故选：C．
7．解：∵，
∴x2﹣6x＝﹣9，即x2﹣6x+9＝0，
∵△＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
8．解：解不等式组得，
而此不等式组的解集是x≤﹣2，
∴a+1＞﹣2，
∴a＞﹣3，
∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝9﹣4a＞0且a≠0，
∴a＜且a≠0，
∴﹣3＜a＜且a≠0，
∴符合条件的整数a为﹣2、﹣1、1、2共4个．
故选：B．
9．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．
整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．
解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
10．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
11．解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，
所以x＝﹣y，
将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝0，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝0，
化简，得：4y2+y﹣15＝0，
故选：A．
12．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
13．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
14．解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣1≤m＜．
故选：C．
15．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
16．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
17．解：∵y＝x3，
∴y′＝3x2，
∵y′＝18，
∴3x2＝18，
则x2＝6，
∴x1＝，x2＝﹣，
故选：A．
18．解：∵x2﹣6x+8＝（x﹣m）2+n，
∴x2﹣6x+8＝x2+m2﹣2mx+n．
∴x2﹣6x+8＝x2﹣2mx+m2+n．
∴﹣6＝﹣2m，m2+n＝8．
∴m＝3，n＝﹣1．
∴m+n＝3+（﹣1）＝2．
故答案为：2．
19．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣4a≥0且a≠0，
解得a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
20．解：x（x﹣3）＝5（x﹣3），
x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5．
故答案为：3或5．
21．解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24，
故答案为：24．
22．解：∵方程（x+1）（x+a）＝0有一个根是x＝3，
∴4（3+a）＝0，
解之：a＝﹣3．
23．解：（1）2x2﹣1＝4x，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（3）（x+2）2﹣8（x+2）+16＝0，
（x+2﹣4）2＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x1＝x2＝2．
24．解：这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝b2﹣4ac＝16+8＝24＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
25．解：（1）由题意得：x2﹣2x﹣6+2＝0，
x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝，
x＝1，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0无解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）＜0，
解得：k＞﹣1．
26．（1）证明：，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（2）解：当x＝﹣1时，有，即，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴，即，
∴，
∴a2+b2＝c2＝8，
又∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab，
∴ab＝4，
∴．