2021-2022学年浙教版八年级数学下册2.2一元二次方程的解法同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《2-2一元二次方程的解法》同步练习题（附答案）
1．用配方法解方程2x2+4x﹣3＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝4 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝ D．（x+1）2＝
2．若x2＝﹣x，则（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0
3．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
4．若实数a，b满足（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2的值为（　　）
A．8 B．8或﹣2 C．﹣2 D．28
5．已知代数式x2﹣4x+7，则（　　）
A．有最小值7 B．有最大值3
C．有最小值3 D．无最大值和最小值
6．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，则M、N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围
7．已知关于x的一元一次方程3x﹣6＝0与一元二次方程x2+bx+c＝0有一个公共解，若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣（3x﹣6）＝0有两个相等的实数解，则b+c的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
9．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
10．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是　 　．
11．已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为 　 　．
12．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　 　．
13．已知（x+）（x+﹣1）＝2，则x+＝　 　．
14．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　．
15．按指定的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2+4x+1＝0（配方法）；
（2）（公式法）．
16．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．
17．解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（x﹣2）．
18．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
19．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1＝0
（1）求证：无论x取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两根为x1、x2，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
22．阅读理解：
在教材中，我们有学习到a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：x2+1　 　2x；﹣9　 　x2﹣6x．
【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式a2﹣2ab+2b2和a﹣的大小关系，并请说明理由．
参考答案
1．解：2x2+4x﹣3＝0，
2x2+4x＝3，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
故选：C．
2．解：x2＝﹣x，
x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
所以A、B、C错误，
故选：D．
3．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
4．解：设a2+b2为x（x≥0），可得：（x﹣3）2＝25，
解得：x1＝8，x2＝﹣2（不合题意舍去），
所以a2+b2的值为8，
故选：A．
5．解：x2﹣4x+7
＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+3≥3，
∴代数式x2﹣4x+7有最小值3，
故选：C．
6．解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，
∴M﹣N
＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a﹣）+1，
＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1
＝4a2﹣8a+4
＝4（a﹣1）2
∵（a﹣1）2≥0，
∴M﹣N≥0，则M≥N．
故选：A．
7．解：解方程3x﹣6＝0得x＝2，
∵关于x的一元一次方程3x﹣6＝0与一元二次方程x2+bx+c＝0有一个公共解，
∴x＝2为方程x2+bx+c＝0的解，
∴4+2b+c＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣（3x﹣6）＝0有两个相等的实数解，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4（c+6）＝0，
把c＝﹣2b﹣4代入得（b﹣3）2﹣4（﹣2b﹣4+6）＝0，解得b＝﹣1，
当b＝﹣1时，c＝2﹣4＝﹣2，
∴b+c＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：B．
8．解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
9．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥且k≠1，
故选：B．
10．解：解方程x2﹣11x+30＝0得：x＝5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5＝10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10＝22，
故答案为：22．
11．解：∵m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
则m2+2n+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代数式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．
故答案为：﹣12．
12．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
13．解：设x+＝a，
∵（x+）（x+﹣1）＝2，
∴a（a﹣1）＝2，
解得，a1＝2，a2＝﹣1，
∴x+＝2或x+＝﹣1（舍去），
故答案为：2．
14．解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
15．解：（1）∵2x2+4x＝﹣1，
∴x2+2x＝﹣，
则x2+2x+1＝1﹣，即（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
∴x＝﹣1±，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2，
∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，
则x＝＝，即x1＝，x2＝．
16．解：（1）（x﹣1）2＝4，
开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2，
方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
17．解：（1）∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
则x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）∵（x﹣2）2＝（2x﹣1）（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（﹣x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或﹣x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1．
18．解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．
19．解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
20．解：（1）∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得a＝，
将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，
即（x﹣1）（2x+3）＝0，
解得x＝1或x＝﹣，
∴该方程的另一个根﹣．
21．（1）证明：x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1＝0，
Δ＝[﹣（k﹣1）]2﹣4（﹣k﹣1）＝k2+2k+5＝（k+1）2+4＞0，
所以无论x取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：不存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，
理由是：假设存在，
根据根与系数的关系得：x1+x2＝k﹣1，x1 x2＝﹣k﹣1，
x12+x22＝2，
由方程的两根的平方和为2得：（x1+x2）2﹣2x1 x2＝2，
（k﹣1）2﹣2（﹣k﹣1）＝2，
解得：k2+1＝0，
不论k为何值，k2永远不能为﹣1，
所以不存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2．
22．解：【初步尝试】∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x，
∵﹣9﹣（x2﹣6x）＝﹣（x2﹣6x+9）＝﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣9≤x2﹣6x，
故答案为：≥，≤；
【知识应用】5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；理由如下：
∵5x2+2xy+10y2﹣（2x﹣y）2＝5x2+2xy+10y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2+6xy+9y2＝（x+3y）2≥0，
∴5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；
【拓展提升】a2﹣2ab+2b2≥a﹣；理由如下：
∵a2﹣2ab+2b2﹣（a﹣）＝a2﹣2ab+2b2+a2﹣a+＝（a﹣2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a2﹣2ab+2b2≥a﹣．