2021-2022学年浙教版数学九下第一章单元检测卷
一、单选题
1．（2021九上·青浦期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·松江期末）已知在RtABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
3．（2021九上·嘉定期末）在中，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·吴兴期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·嘉定期末）在中，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·杭州月考）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·会宁期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
8．（2021九上·鄞州月考）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sin A的取值范围是（ ）
A．0C． 9．（2021九上·海曙期末）如图是一段索道的示意图. 若 米， ， 则洗车从 点到 点上升的高度 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
10．（2021九上·杨浦期末）在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．先用计算器求：cos20°≈ ，cos40°≈ ，cos60°≈ ，cos80°≈ ，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来： ．归纳：余弦值，角大值 ．
12．（2021九上·海曙期末）如图， 将直径 的半圆 ， 绕端点 逆时针旋转， 当圆弧与直径交点 满足 时， 的值为 .
13．（2021八上·开化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交 AB，AC于点E，D，若 AD=8，则AB的长为 .
14．（2021九上·龙凤期末）比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．
15．（2021九上·运城期末）如图，在中，，，点是上一点，点是延长线上一点，已知，，则的长为 ．
16．（2021九上·嘉定期末）如图，飞机在目标的正上方处，飞行员测得地面目标的俯角，如果地面目标、之间的距离为千米，那么飞机离地面的高度等于 千米．（结果保留根号）
三、解答题
17．（2021九上·杨浦期末）如图，为了测量建筑物的高度，先从与建筑物的底部点水平相距100米的点处出发，沿斜坡行走至坡顶处，斜坡的坡度，坡顶到的距离米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为，点在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物的高度（结果精确到1米）．（参考数据：）
18．（2021九上·松江期末）某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．
19．（2021九上·青浦期末）如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（ACBD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
20．（2021九上·吴兴期末）如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为15cm，高为20cm.
（1）如图①，小明通过按压点A打开杯盖AD注入热水（点D，D’为对应点）.
若∠DAD’=120°，求点D的运动路径长.
（2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈53°时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点A距离桌面的距离.（参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
21．（2021九上·吴兴期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=6，sinC＝ ．
（1）求弦AD的长．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．求DF的长．
22．（2021九上·合肥期末）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．
（1）求仰角的正弦值；
（2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）
23．（2021九上·杨浦期末）如图，已知在中，，垂足为点，点是边的中点．
（1）求边的长；
（2）求的正弦值．
24．（2021九上·哈尔滨月考）如图1，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 于点 ，点 的横坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，点 在第二象限，直线 上一点，连接 ，过点 作 的垂线 ，在 上截取线段 ， ，点 在第一象限，过点 作 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系式（不要求写自变量 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，点 为 中点，连接 并延长 交 轴于点 ，连接 、 ，当 时，求点 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴=，
故答案为：A．
【分析】根据 Rt△ABC中，∠C=90°， 计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝，
∴b＝ccosA，
故答案为：D．
【分析】先求出cosA＝， 再求解即可。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D．
∵，，
∴BD＝AB cosB＝10×＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数先求出BD=4，再计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC==3，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理先求出BC=3，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=2，
∴AB=，
A.，符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，设AS交圆于点E，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，
而∠AEB是△SEB的一个外角，所以∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区.
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°.
又因正弦函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小
所有只有cos∠ASB＞cos50°最符合题意.
故答案为：D.
【分析】设AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知∠AEB=∠C=50°，根据三角形外角的性质可得∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区，进而根据三角函数的增减性判断即可.
7．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，故A选项正确；
B、cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，故B选项错误；
C、tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，故C选项错误；
D、根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小，根据锐角三角函数值的变化规律判断即可.
8．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵sinC=，令AH=4x，则AC=5x，HC==3x，
∴sin∠HAC==.
∵∠HAC<∠BAC<90°，
∴故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由题意令AH=4x，则AC=5x，由勾股定理可表示出HC，然后求出sin∠HAC的值，最后结合正弦函数的增减性判断即可.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中
∴BC=1000sinα.
故答案为：A.
【分析】将图形补充完整，在Rt△ABC中，利用直角三角形可求出BC的长.
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
cosα＝，
故AB＝．
故答案为：D
【分析】先求出∠A＝α，AC＝1，再利用锐角三角函数求解即可。
11．【答案】0.9397；0.7660；0.5；0.1736；cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°；小
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：利用计算器可算出：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°=0.5，cos80°≈0.1736，
∴cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°
∴在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．
故答案是0.9397，0.7660，0.5，0.1736，小．
【分析】先利用计算器算出几个锐角的余弦函数值，通过观察即可发现在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接HB′，
∵ 将直径 的半圆 ， 绕端点 逆时针旋转，
∴AB′=AB=6，∠AHB′=90°，
∵AH+BH=6，BH：AH=1：2，
∴BH=2，AH=4
∴；
在Rt△AHB′中
.
故答案为：.
【分析】连接HB′，利用旋转的性质，可证得AB′=AB=6，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠AHB′=90°；再利用BH：AH=1：2，可求出AH的长，利用勾股定理求出B′H的长；然后他锐角三角函数的定义可求出tan∠B′AB的值.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：BD=AD=8，
∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=4，
∴AB=2BC=.
故答案为：.
【分析】由作图可知MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质求出BD长和∠BDC=60°，然后利用三角函数求出BC，再利用含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
14．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，
∴tan50°＞1，
又sin80°＜1，
∴sin80°＜tan50°；
故答案为：＜．
【分析】根据三角函数的增减性求解即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过C作交射线AM于点E，并过C作，垂足为F，
∵，，，
∴，
设，
由勾股定理可知：，即，
解得：（舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∴.
故答案为：.
【分析】过C作交射线AM于点E，并过C作，先利用∠CAM的正切和勾股定理求出CM、AM的长，再利用∠B的正切求出DN、AN的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】∵地面目标的俯角，
∴∠ACB=30°，
∴tan30°=，
∴AB=BC tan30°=6=，
故答案为：．
【分析】先求出∠ACB=30°，再求出tan30°=，最后计算求解即可。
17．【答案】解：斜坡的坡度（或坡比）为，
，
米，
米，
米，
（米，
（米．
答：建筑物的高度为68米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先求出CE=60，再利用锐角三角函数求解即可。
18．【答案】解：过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，
则四边形HGEB为矩形，
∴HG＝BE＝1.5米，∠HBE＝∠FHB=90°，
∵∠BEA＝90°，
∴∠BFH+∠FBH＝∠FBH+∠HBA=∠HBA+∠ABE＝∠A+∠ABE=90°，
∴∠BFH＝∠HBA＝∠A，
∴BE：AE=BH：FH＝1：2.4，
由勾股定理得：BF2＝BH2+FH2，即0.652＝BH2+（2.4BH）2，
解得：BH＝0.25，
∴FH＝0.25×2.4＝0.6（米），
∴FG＝FH+HG＝2.1（米），
答：点F到地面的距离为2.1米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BFH＝∠HBA＝∠A， 再求出 BH＝0.25， 最后计算求解即可。
19．【答案】解：过点C作CH⊥BD，垂足为点H，
由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），
在Rt△DHC中，∵，
∴，
在Rt△HCB中，∵，
∴，
∴BD=HD+HB10.2+4.6=14.8（米）．
答：教学楼BD的高度约为14.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数求出DH的值，再计算求解即可。
20．【答案】（1）解：弧
（2）解：如图，过点D作DG⊥CG，过点A作AF⊥DG
由题意可知，∠FAD=∠GDC=∠BCH=53°
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴
【知识点】弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意可知点D的运动路径是以点A为圆心，15为半径，圆心角为150°的扇形的弧长，然后利用弧长公式进行计算，可求出结果.
（2）过点D作DG⊥CG，过点A作AF⊥DG ，由题意可知水面与桌面平行，可证得∠FAD=∠GDC=∠BCH=53°，利用解直角三角形分别求出FD，DG的长；由此可得到点A到桌面的最高距离就是FG的长，然后求出FG的长.
21．【答案】（1）解：连接BD，
∴∠C=∠B，
∴sinB=
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴sinB ，
∴AD=2
（2）解：∵AB为直径，DE⊥AB，
∴DF=2DE，
连接DO，设OE为x，
则32-x2=22-(3-x)2，x= ，
由勾股定理得，DE= ，故DF=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠C，可得到sinB的值；再利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，然后利用解直角三角形求出AD的长.
（2）利用垂径定理可证得DF=2DE，连接DO，设OE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OE的长，即可求出AE的长；再利用勾股定理求出DE的长，由此可求出DF的长.
22．【答案】（1）解：如图，过点作于，过点作于，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即．
答：仰角的正弦值为.
（2）解：在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴．
答：，两点之间的距离约为．
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作辅助线 过点作于，过点作于， 得出四边形为矩形， 求出AF， 在中， 求出仰角的正弦值；
（2）利用勾股定理在中求出EF的值，再在 中 利用tan∠ACD求出CD即可。
23．【答案】（1）解：∵
∴和均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）解：过点作于点F，如图，
∵，
∴//
∴
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中，∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 ，再利用勾股定理和锐角三角函数求解即可。
24．【答案】（1）解：将x= 代入 中，得 ，
∴C（ ），
设直线OC的解析式为y=kx，将点C坐标代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：∵点 在第二象限，直线 上一点，点 的横坐标为 ，
∴点 的坐标为（ ），
如图，过点M作MR⊥y轴于R，过点N作NS⊥y轴于S，则 ，
∴
∵AM⊥AN，
∴
∴
∴
又∵AM=AN，
∴△AMR≌△NAS，
∴AS=MR=-t，SN=AR= ，
∴点N的坐标为（ ，5+t），
∵ 轴，
∴线段 的长为 =5+t；
（3）解：∵AH⊥AB，直线AB的解析式为 ，
∴AH的解析式为y=-x+5，
∴点H的坐标为（ ），
∵点B的坐标为（-5，0），
∴直线BH的中点K的坐标为（ ），
∴直线MK的解析式为 ，
∴D（ ），
∵H( )，G（ ），N（ ，5+t），
∴ ， ， ，
∴ ，
过点N作NP⊥DH于P，则 ，
∴△HPN∽△HGD，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴PD=3PN，
∴ ，
解得t=-5，或t=-3，
∴M( )(不合题意，舍去)或M（-3，4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将x= 代入解析式中，得出C的坐标，设直线OC的解析式为y=kx，将点C坐标代入，得k的值，即可得出直线 的解析式；
（2）点 在第二象限，直线 上一点，点 的横坐标为 ，得出点 的坐标，过点M作MR⊥y轴于R，过点N作NS⊥y轴于S，则 ，求证出△AMR≌△NAS，得出AS、SN的值，得出点N的坐标，由 轴，得出线段 的长为 =5+t；
（3）由AH⊥AB，直线AB的解析式为 ，得出AH的解析式为y=-x+5，由此得出点H的坐标，由点B的坐标得出直线BH的中点K的坐标，由此得出直线MK的解析式，由此 得出点D的坐标，由H、G、N的坐标得出DG、HG、HN的值，证出△HPN∽△HGD，得出 ，PD=3PN，由此得出t的值，从而得出点M的坐标，取符合题意的值即可。
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下第一章单元检测卷
一、单选题
1．（2021九上·青浦期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴=，
故答案为：A．
【分析】根据 Rt△ABC中，∠C=90°， 计算求解即可。
2．（2021九上·松江期末）已知在RtABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝，
∴b＝ccosA，
故答案为：D．
【分析】先求出cosA＝， 再求解即可。
3．（2021九上·嘉定期末）在中，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D．
∵，，
∴BD＝AB cosB＝10×＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数先求出BD=4，再计算求解即可。
4．（2021九上·吴兴期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC==3，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理先求出BC=3，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出答案.
5．（2021九上·嘉定期末）在中，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=2，
∴AB=，
A.，符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义逐项判断即可。
6．（2021九上·杭州月考）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，设AS交圆于点E，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，
而∠AEB是△SEB的一个外角，所以∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区.
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°.
又因正弦函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小
所有只有cos∠ASB＞cos50°最符合题意.
故答案为：D.
【分析】设AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知∠AEB=∠C=50°，根据三角形外角的性质可得∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区，进而根据三角函数的增减性判断即可.
7．（2021九上·会宁期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：A、sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，故A选项正确；
B、cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，故B选项错误；
C、tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，故C选项错误；
D、根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小，根据锐角三角函数值的变化规律判断即可.
8．（2021九上·鄞州月考）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sin A的取值范围是（ ）
A．0C． 【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵sinC=，令AH=4x，则AC=5x，HC==3x，
∴sin∠HAC==.
∵∠HAC<∠BAC<90°，
∴故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由题意令AH=4x，则AC=5x，由勾股定理可表示出HC，然后求出sin∠HAC的值，最后结合正弦函数的增减性判断即可.
9．（2021九上·海曙期末）如图是一段索道的示意图. 若 米， ， 则洗车从 点到 点上升的高度 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△ABC中
∴BC=1000sinα.
故答案为：A.
【分析】将图形补充完整，在Rt△ABC中，利用直角三角形可求出BC的长.
10．（2021九上·杨浦期末）在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
cosα＝，
故AB＝．
故答案为：D
【分析】先求出∠A＝α，AC＝1，再利用锐角三角函数求解即可。
二、填空题
11．先用计算器求：cos20°≈ ，cos40°≈ ，cos60°≈ ，cos80°≈ ，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来： ．归纳：余弦值，角大值 ．
【答案】0.9397；0.7660；0.5；0.1736；cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°；小
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：利用计算器可算出：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°=0.5，cos80°≈0.1736，
∴cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°
∴在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．
故答案是0.9397，0.7660，0.5，0.1736，小．
【分析】先利用计算器算出几个锐角的余弦函数值，通过观察即可发现在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．
12．（2021九上·海曙期末）如图， 将直径 的半圆 ， 绕端点 逆时针旋转， 当圆弧与直径交点 满足 时， 的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接HB′，
∵ 将直径 的半圆 ， 绕端点 逆时针旋转，
∴AB′=AB=6，∠AHB′=90°，
∵AH+BH=6，BH：AH=1：2，
∴BH=2，AH=4
∴；
在Rt△AHB′中
.
故答案为：.
【分析】连接HB′，利用旋转的性质，可证得AB′=AB=6，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠AHB′=90°；再利用BH：AH=1：2，可求出AH的长，利用勾股定理求出B′H的长；然后他锐角三角函数的定义可求出tan∠B′AB的值.
13．（2021八上·开化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交 AB，AC于点E，D，若 AD=8，则AB的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：BD=AD=8，
∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=4，
∴AB=2BC=.
故答案为：.
【分析】由作图可知MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质求出BD长和∠BDC=60°，然后利用三角函数求出BC，再利用含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
14．（2021九上·龙凤期末）比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，
∴tan50°＞1，
又sin80°＜1，
∴sin80°＜tan50°；
故答案为：＜．
【分析】根据三角函数的增减性求解即可。
15．（2021九上·运城期末）如图，在中，，，点是上一点，点是延长线上一点，已知，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过C作交射线AM于点E，并过C作，垂足为F，
∵，，，
∴，
设，
由勾股定理可知：，即，
解得：（舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∴.
故答案为：.
【分析】过C作交射线AM于点E，并过C作，先利用∠CAM的正切和勾股定理求出CM、AM的长，再利用∠B的正切求出DN、AN的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
16．（2021九上·嘉定期末）如图，飞机在目标的正上方处，飞行员测得地面目标的俯角，如果地面目标、之间的距离为千米，那么飞机离地面的高度等于 千米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】∵地面目标的俯角，
∴∠ACB=30°，
∴tan30°=，
∴AB=BC tan30°=6=，
故答案为：．
【分析】先求出∠ACB=30°，再求出tan30°=，最后计算求解即可。
三、解答题
17．（2021九上·杨浦期末）如图，为了测量建筑物的高度，先从与建筑物的底部点水平相距100米的点处出发，沿斜坡行走至坡顶处，斜坡的坡度，坡顶到的距离米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为，点在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物的高度（结果精确到1米）．（参考数据：）
【答案】解：斜坡的坡度（或坡比）为，
，
米，
米，
米，
（米，
（米．
答：建筑物的高度为68米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先求出CE=60，再利用锐角三角函数求解即可。
18．（2021九上·松江期末）某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．
【答案】解：过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，
则四边形HGEB为矩形，
∴HG＝BE＝1.5米，∠HBE＝∠FHB=90°，
∵∠BEA＝90°，
∴∠BFH+∠FBH＝∠FBH+∠HBA=∠HBA+∠ABE＝∠A+∠ABE=90°，
∴∠BFH＝∠HBA＝∠A，
∴BE：AE=BH：FH＝1：2.4，
由勾股定理得：BF2＝BH2+FH2，即0.652＝BH2+（2.4BH）2，
解得：BH＝0.25，
∴FH＝0.25×2.4＝0.6（米），
∴FG＝FH+HG＝2.1（米），
答：点F到地面的距离为2.1米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BFH＝∠HBA＝∠A， 再求出 BH＝0.25， 最后计算求解即可。
19．（2021九上·青浦期末）如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（ACBD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
【答案】解：过点C作CH⊥BD，垂足为点H，
由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），
在Rt△DHC中，∵，
∴，
在Rt△HCB中，∵，
∴，
∴BD=HD+HB10.2+4.6=14.8（米）．
答：教学楼BD的高度约为14.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数求出DH的值，再计算求解即可。
20．（2021九上·吴兴期末）如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为15cm，高为20cm.
（1）如图①，小明通过按压点A打开杯盖AD注入热水（点D，D’为对应点）.
若∠DAD’=120°，求点D的运动路径长.
（2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈53°时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点A距离桌面的距离.（参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【答案】（1）解：弧
（2）解：如图，过点D作DG⊥CG，过点A作AF⊥DG
由题意可知，∠FAD=∠GDC=∠BCH=53°
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴
【知识点】弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意可知点D的运动路径是以点A为圆心，15为半径，圆心角为150°的扇形的弧长，然后利用弧长公式进行计算，可求出结果.
（2）过点D作DG⊥CG，过点A作AF⊥DG ，由题意可知水面与桌面平行，可证得∠FAD=∠GDC=∠BCH=53°，利用解直角三角形分别求出FD，DG的长；由此可得到点A到桌面的最高距离就是FG的长，然后求出FG的长.
21．（2021九上·吴兴期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=6，sinC＝ ．
（1）求弦AD的长．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．求DF的长．
【答案】（1）解：连接BD，
∴∠C=∠B，
∴sinB=
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴sinB ，
∴AD=2
（2）解：∵AB为直径，DE⊥AB，
∴DF=2DE，
连接DO，设OE为x，
则32-x2=22-(3-x)2，x= ，
由勾股定理得，DE= ，故DF=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠C，可得到sinB的值；再利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，然后利用解直角三角形求出AD的长.
（2）利用垂径定理可证得DF=2DE，连接DO，设OE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OE的长，即可求出AE的长；再利用勾股定理求出DE的长，由此可求出DF的长.
22．（2021九上·合肥期末）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．
（1）求仰角的正弦值；
（2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）
【答案】（1）解：如图，过点作于，过点作于，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即．
答：仰角的正弦值为.
（2）解：在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴．
答：，两点之间的距离约为．
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作辅助线 过点作于，过点作于， 得出四边形为矩形， 求出AF， 在中， 求出仰角的正弦值；
（2）利用勾股定理在中求出EF的值，再在 中 利用tan∠ACD求出CD即可。
23．（2021九上·杨浦期末）如图，已知在中，，垂足为点，点是边的中点．
（1）求边的长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）解：∵
∴和均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）解：过点作于点F，如图，
∵，
∴//
∴
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中，∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 ，再利用勾股定理和锐角三角函数求解即可。
24．（2021九上·哈尔滨月考）如图1，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 交 于点 ，点 的横坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，点 在第二象限，直线 上一点，连接 ，过点 作 的垂线 ，在 上截取线段 ， ，点 在第一象限，过点 作 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 与 之间的函数关系式（不要求写自变量 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，点 为 中点，连接 并延长 交 轴于点 ，连接 、 ，当 时，求点 的坐标．
【答案】（1）解：将x= 代入 中，得 ，
∴C（ ），
设直线OC的解析式为y=kx，将点C坐标代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：∵点 在第二象限，直线 上一点，点 的横坐标为 ，
∴点 的坐标为（ ），
如图，过点M作MR⊥y轴于R，过点N作NS⊥y轴于S，则 ，
∴
∵AM⊥AN，
∴
∴
∴
又∵AM=AN，
∴△AMR≌△NAS，
∴AS=MR=-t，SN=AR= ，
∴点N的坐标为（ ，5+t），
∵ 轴，
∴线段 的长为 =5+t；
（3）解：∵AH⊥AB，直线AB的解析式为 ，
∴AH的解析式为y=-x+5，
∴点H的坐标为（ ），
∵点B的坐标为（-5，0），
∴直线BH的中点K的坐标为（ ），
∴直线MK的解析式为 ，
∴D（ ），
∵H( )，G（ ），N（ ，5+t），
∴ ， ， ，
∴ ，
过点N作NP⊥DH于P，则 ，
∴△HPN∽△HGD，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴PD=3PN，
∴ ，
解得t=-5，或t=-3，
∴M( )(不合题意，舍去)或M（-3，4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将x= 代入解析式中，得出C的坐标，设直线OC的解析式为y=kx，将点C坐标代入，得k的值，即可得出直线 的解析式；
（2）点 在第二象限，直线 上一点，点 的横坐标为 ，得出点 的坐标，过点M作MR⊥y轴于R，过点N作NS⊥y轴于S，则 ，求证出△AMR≌△NAS，得出AS、SN的值，得出点N的坐标，由 轴，得出线段 的长为 =5+t；
（3）由AH⊥AB，直线AB的解析式为 ，得出AH的解析式为y=-x+5，由此得出点H的坐标，由点B的坐标得出直线BH的中点K的坐标，由此得出直线MK的解析式，由此 得出点D的坐标，由H、G、N的坐标得出DG、HG、HN的值，证出△HPN∽△HGD，得出 ，PD=3PN，由此得出t的值，从而得出点M的坐标，取符合题意的值即可。
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