2021-2022学年浙教版数学九下第三章 投影与三视图 单元检测卷
一、单选题
1．（2021九上·枣庄月考）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质可得：同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上。
2．（2021九上·深圳期末）深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．（2021七上·怀柔期末）在如图所示的几何体中，从不同方向看得到的平面图形中有长方形的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】①正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，符合要求；
②圆柱从左面和正面看都是长方形，从上边看是圆，符合要求；
③圆锥，从左边看是三角形，从正面看是三角形，从上面看是圆，不符合要求；
故答案为：C．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
4．（2021七上·科尔沁左翼中旗期末）下面四个立体图形中，从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为正方形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为三角形，符合题意；
D、主视图为长方形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
5．（2021·于洪模拟）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、三棱柱的主视图为 ，左视图为，俯视图为 ，故A不符合题意；
B、球体的主视图为，左视图为，俯视图为，故B不符合题意；
C、圆锥体的主视图为，左视图为，俯视图为，故C符合题意；
D、圆柱体的主视图为，左视图为 ，俯视图为，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三视图的概念分别画出三棱柱、球体、圆锥体、圆柱体的三视图，进而进行判断.
6．（2021七上·怀柔期末）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，
所以该几何体是三棱柱
故答案为：B．
【分析】根据三棱柱的特征求解即可。
7．（2021九上·通川期末）如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH.若量得米，米，则立柱CD的高为（ ）.
A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m
【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作BG平行线交FE于点H，过E点作BG平行线交CD于点M
∵BG//ME//DH
∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°
∴，MD=HE
∴
∴
∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5
故答案为：A.
【分析】过D作BG平行线交FE于H，过E作BG平行线交CD于M，由平行线的性质得∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°，证△BAC∽△MCE，由相似三角形性质求CM，再由CD=CM+DM进行计算.
8．（2021七上·南关期末）如图是由4个相同的小长方体组成的立体图形和它的主视图，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得：观察这个立体图形的正面如下：
则它的俯视图为
故答案为：C．
【分析】根据所给的几何体，结合主视图求解即可。
9．（2021七上·密云期末）如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意；
B、含有“田”字形，故本选项不符合题意；
C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；
D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
10．（2021七上·红桥期末）如图，图形不是下边哪个图形的展开图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：如图，由正方体的平面展开图可得：
为相对面，为相对面，为相对面，为相邻的两面，
而且面空白图形的顶点在面的空白图形的边上，
所以选项D的正方体中面空白图形的顶点没有在或面空白图形的边上，
故D不符合题意，
故答案为：D
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
二、填空题
11．（2021七上·临江期末） 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是正方体的平面展开图，若图中的“锦”表示正方体的右面，则“ ”表示正方体的左面
【答案】程
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：“锦”表示正方体的右面，则“程”表示正方体的左面.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得出答案.
12．（2021九上·惠来月考）观察右边立体图得到它的主视图、左视图和俯视图，请写在对应图的下边．
① ，② ，③ ．
【答案】俯视图；左视图；主视图
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】①是俯视图；②是左视图；③是主视图.
故答案为①是俯视图；②是左视图；③是主视图.
【分析】根据所给的立体图形求解即可。
13．（2021九上·江夏月考）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 m.
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC＝2m，
∵AB＝AC，
∴AB＝，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即该圆锥的底面圆的半径为m.
故答案为：.
【分析】根据∠BAC=90°可知BC为⊙O的直径，即BC＝2m，利用等腰直角三角形的性质可得AB的长，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长结合弧长公式以及圆的周长公式建立方程，求解即可.
14．（2021七上·沈北期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的平面图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为 ．
【答案】4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据左视图和俯视图，这个几何体的底层有3个小正方体，
第二层有1个小正方体，
所以有个小正方体，
故答案为：4．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
15．（2021·双流模拟）平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示.若 ， ，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图，∵OA=10cm，AA′=15cm，
∴OA′=25cm，
∴ ，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= .
故答案为： .
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.
16．（2021七上·渠县期中）用小立方块搭成的几何体；从正面看到的图形和从上面看到的图形如下图，问搭成这样的几何体最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块.
【答案】8；7
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据正面看与上面看的图形，得到俯视图中最左的一列都为3层，第2列都为2层，第3列为1层，得到最多共3＋2＋2＋1＝8个小正方体，最少需要3＋2＋1＋1＝7个小正方体；
故答案是：8，7.
【分析】根据正面看与上面看的图形，得到俯视图中最左的一列都为3层，第2列都为2层，第3列为1层，然后分别求出最多、最少即可.
三、解答题
17．（2021九上·铁西期末）小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．
【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，
∴CD=BE=3m，BC=DE=6m，
∵，
∴，
∴AB=AE+BE=7.5+3=10.5（m）．
答：旗杆的高度为10.5m．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；中心投影
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，再列出算式求解即可。
18．（2021九上·巧家期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长.
【答案】解：由题意得： ，
∴ =6（cm），
∴由勾股定理得：
（cm），
即该圆锥的高为 cm.
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【分析】利用圆锥展开的扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，可求出母线长；再利用勾股定理求出圆锥的高.
19．（2021九上·深圳期末）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为 米．
【答案】（1）解：图①中GH即为所求；
（2）解：∵CD∥PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴，即，
解得：PB=9，
∵FG∥PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴，即，
解得：FG=，
答：榕树FG的高度为米；
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】（3）∵CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，
∴，即，
解得：BD=75，
∵CD∥EF，
∴△ACD∽△AMF，
∴，即，
解得：MF=，
∴EM=EF-MF=70-=（米），
故答案为：．
【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）证明 △ECD∽△EPB， 根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；
（3）根据△BCD∽△BEF，求出BD，再根据△ACD∽△AMF，求出MF，进而求出EM的值。
20．（2021七上·皇姑期末）如图是由10个大小相同的小立方体搭建的几何体，其中每个小立方体的棱长为1厘米．
（1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 个小正方体（直接填空）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）4
【知识点】简单几何体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】（2）若保持俯视图和左视图不变，则做多可有多少个小正方形如图：
与原图比较，则每列小正方形添加数目分别：0+3+1＝4（个）
故答案为：4
【分析】（1）根据三视图的定义作出对应的图象即可；
（2）根据三视图的定义求解即可。
21．（2021九上·越城月考）如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE.
（1）求证：BE = CE.
（2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G.若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积
（3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
【答案】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形，
点是BC的中点，
是等边的中线，且，
，
，
.
（2）解：如图所示：
与BC相切，且，
点是切点，并且是该扇形的半径，
，且，
，
，
在中，，
，
是BC的中点，
在中，由勾股定理可知：，解得，
扇形FEG的面积为.
（3）解：设圆锥底面圆半径为，
扇形FEG的弧长为： ，
扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长，
，解得 ，
故圆锥的底面圆的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△CDE， 可得BE=CE；
（2）根据切线的性质可得D点是切点，并且DE是该扇形的半径 ，求出ED的长，利用扇形的面积公式计算即得结论；
（3） 根据扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长即可求解.
22．（2021七上·长春期末）如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空： ， ， ；
（2）先化简，再求值：．
【答案】（1）1；-3；2
（2）解：原式
，
∴原式．
【知识点】几何体的展开图；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）由长方体纸盒的平面展开图知，a与-1、b与3、c与-2是相对的两个面上的数字或字母，因为相对的两个面上的数互为相反数，
所以，，．
故答案为：1；-3；2；
【分析】（1）先求出a与-1、b与3、c与-2是相对的两个面上的数字或字母，再求解即可；
（2）先化简代数式，再将a，b和c代入计算求解即可。
23．（2021九上·鄞州月考）几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在 中， ， ， ．
（1）求 及 的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求 的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积．
【答案】（1）解：设Rt△PMN的斜边上的高为h，
∵ 已知直三棱柱的三视图如图，
∴BC=MN，FG=h，AB=EF
解之：MN=BC=5，
∴PM=3
∴
∴
解之：h=FG=.
（2）解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，AB=EF，
∴即
解之：.
（3）解：直三棱柱的表面积=.
【知识点】几何体的表面积；相似多边形；锐角三角函数的定义；简单几何体的三视图
【解析】【分析】（1）（2）设Rt△PMN的斜边上的高为h，观察直三棱柱的三视图，可知BC=MN，FG=h，利用锐角三角函数的定义可求出MN的长；再利用直角三角形的面积公式可求出GF的长，再利用相似矩形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的长.
（3）根据已知直三棱柱的表面积等于两个三角形的面积+三个矩形的面积，列式计算可求解.
24．（2020七上·射阳月考）在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是 ；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度.
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是 ▲ cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.
【答案】（1）12a
（2）解：小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）解：①如下图
②72；如下图，
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：（1）12×a=12acm；
故答案为：12a；
（3）②如下图，
此时展开图的周长
故答案为：72.
【分析】（1）正方体有12条棱，据此可得各棱长度之和；
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱， 据此算出小刘的模型的棱长之和，进而根据“ 小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ”列出方程，据此解答；
（3）①根据正方体展开图的特点进行解答；
②画出图形，进而求出展开图的周长.
1 / 12021-2022学年浙教版数学九下第三章 投影与三视图 单元检测卷
一、单选题
1．（2021九上·枣庄月考）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·深圳期末）深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七上·怀柔期末）在如图所示的几何体中，从不同方向看得到的平面图形中有长方形的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
4．（2021七上·科尔沁左翼中旗期末）下面四个立体图形中，从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·于洪模拟）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体
6．（2021七上·怀柔期末）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
7．（2021九上·通川期末）如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH.若量得米，米，则立柱CD的高为（ ）.
A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m
8．（2021七上·南关期末）如图是由4个相同的小长方体组成的立体图形和它的主视图，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021七上·密云期末）如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021七上·红桥期末）如图，图形不是下边哪个图形的展开图（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021七上·临江期末） 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是正方体的平面展开图，若图中的“锦”表示正方体的右面，则“ ”表示正方体的左面
12．（2021九上·惠来月考）观察右边立体图得到它的主视图、左视图和俯视图，请写在对应图的下边．
① ，② ，③ ．
13．（2021九上·江夏月考）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 m.
14．（2021七上·沈北期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的平面图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为 ．
15．（2021·双流模拟）平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示.若 ， ，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 .
16．（2021七上·渠县期中）用小立方块搭成的几何体；从正面看到的图形和从上面看到的图形如下图，问搭成这样的几何体最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块.
三、解答题
17．（2021九上·铁西期末）小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．
18．（2021九上·巧家期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长.
19．（2021九上·深圳期末）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为 米．
20．（2021七上·皇姑期末）如图是由10个大小相同的小立方体搭建的几何体，其中每个小立方体的棱长为1厘米．
（1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 个小正方体（直接填空）．
21．（2021九上·越城月考）如图所示，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连结AB，AC，AD，E为AD上一点，连结BE，CE.
（1）求证：BE = CE.
（2）以点E为圆心作与BC相切，分别交BE，CE于点F，G.若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面积
（3）若用扇形FEG围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径.
22．（2021七上·长春期末）如图是一个长方体纸盒的平面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空： ， ， ；
（2）先化简，再求值：．
23．（2021九上·鄞州月考）几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在 中， ， ， ．
（1）求 及 的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求 的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积．
24．（2020七上·射阳月考）在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是 ；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度.
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是 ▲ cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质可得：同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】①正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，符合要求；
②圆柱从左面和正面看都是长方形，从上边看是圆，符合要求；
③圆锥，从左边看是三角形，从正面看是三角形，从上面看是圆，不符合要求；
故答案为：C．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为正方形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为三角形，符合题意；
D、主视图为长方形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
5．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、三棱柱的主视图为 ，左视图为，俯视图为 ，故A不符合题意；
B、球体的主视图为，左视图为，俯视图为，故B不符合题意；
C、圆锥体的主视图为，左视图为，俯视图为，故C符合题意；
D、圆柱体的主视图为，左视图为 ，俯视图为，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三视图的概念分别画出三棱柱、球体、圆锥体、圆柱体的三视图，进而进行判断.
6．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，
所以该几何体是三棱柱
故答案为：B．
【分析】根据三棱柱的特征求解即可。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作BG平行线交FE于点H，过E点作BG平行线交CD于点M
∵BG//ME//DH
∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°
∴，MD=HE
∴
∴
∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5
故答案为：A.
【分析】过D作BG平行线交FE于H，过E作BG平行线交CD于M，由平行线的性质得∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°，证△BAC∽△MCE，由相似三角形性质求CM，再由CD=CM+DM进行计算.
8．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得：观察这个立体图形的正面如下：
则它的俯视图为
故答案为：C．
【分析】根据所给的几何体，结合主视图求解即可。
9．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意；
B、含有“田”字形，故本选项不符合题意；
C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；
D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
10．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：如图，由正方体的平面展开图可得：
为相对面，为相对面，为相对面，为相邻的两面，
而且面空白图形的顶点在面的空白图形的边上，
所以选项D的正方体中面空白图形的顶点没有在或面空白图形的边上，
故D不符合题意，
故答案为：D
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
11．【答案】程
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：“锦”表示正方体的右面，则“程”表示正方体的左面.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得出答案.
12．【答案】俯视图；左视图；主视图
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】①是俯视图；②是左视图；③是主视图.
故答案为①是俯视图；②是左视图；③是主视图.
【分析】根据所给的立体图形求解即可。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC＝2m，
∵AB＝AC，
∴AB＝，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即该圆锥的底面圆的半径为m.
故答案为：.
【分析】根据∠BAC=90°可知BC为⊙O的直径，即BC＝2m，利用等腰直角三角形的性质可得AB的长，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长结合弧长公式以及圆的周长公式建立方程，求解即可.
14．【答案】4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据左视图和俯视图，这个几何体的底层有3个小正方体，
第二层有1个小正方体，
所以有个小正方体，
故答案为：4．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图，∵OA=10cm，AA′=15cm，
∴OA′=25cm，
∴ ，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= .
故答案为： .
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.
16．【答案】8；7
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据正面看与上面看的图形，得到俯视图中最左的一列都为3层，第2列都为2层，第3列为1层，得到最多共3＋2＋2＋1＝8个小正方体，最少需要3＋2＋1＋1＝7个小正方体；
故答案是：8，7.
【分析】根据正面看与上面看的图形，得到俯视图中最左的一列都为3层，第2列都为2层，第3列为1层，然后分别求出最多、最少即可.
17．【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，
∴CD=BE=3m，BC=DE=6m，
∵，
∴，
∴AB=AE+BE=7.5+3=10.5（m）．
答：旗杆的高度为10.5m．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；中心投影
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，再列出算式求解即可。
18．【答案】解：由题意得： ，
∴ =6（cm），
∴由勾股定理得：
（cm），
即该圆锥的高为 cm.
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【分析】利用圆锥展开的扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，可求出母线长；再利用勾股定理求出圆锥的高.
19．【答案】（1）解：图①中GH即为所求；
（2）解：∵CD∥PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴，即，
解得：PB=9，
∵FG∥PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴，即，
解得：FG=，
答：榕树FG的高度为米；
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】（3）∵CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，
∴，即，
解得：BD=75，
∵CD∥EF，
∴△ACD∽△AMF，
∴，即，
解得：MF=，
∴EM=EF-MF=70-=（米），
故答案为：．
【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）证明 △ECD∽△EPB， 根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；
（3）根据△BCD∽△BEF，求出BD，再根据△ACD∽△AMF，求出MF，进而求出EM的值。
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）4
【知识点】简单几何体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】（2）若保持俯视图和左视图不变，则做多可有多少个小正方形如图：
与原图比较，则每列小正方形添加数目分别：0+3+1＝4（个）
故答案为：4
【分析】（1）根据三视图的定义作出对应的图象即可；
（2）根据三视图的定义求解即可。
21．【答案】（1）证明：由题意可知：，为等边三角形，
点是BC的中点，
是等边的中线，且，
，
，
.
（2）解：如图所示：
与BC相切，且，
点是切点，并且是该扇形的半径，
，且，
，
，
在中，，
，
是BC的中点，
在中，由勾股定理可知：，解得，
扇形FEG的面积为.
（3）解：设圆锥底面圆半径为，
扇形FEG的弧长为： ，
扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长，
，解得 ，
故圆锥的底面圆的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆锥的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△CDE， 可得BE=CE；
（2）根据切线的性质可得D点是切点，并且DE是该扇形的半径 ，求出ED的长，利用扇形的面积公式计算即得结论；
（3） 根据扇形FEG的弧长等于其围成的圆锥的底面圆的周长即可求解.
22．【答案】（1）1；-3；2
（2）解：原式
，
∴原式．
【知识点】几何体的展开图；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）由长方体纸盒的平面展开图知，a与-1、b与3、c与-2是相对的两个面上的数字或字母，因为相对的两个面上的数互为相反数，
所以，，．
故答案为：1；-3；2；
【分析】（1）先求出a与-1、b与3、c与-2是相对的两个面上的数字或字母，再求解即可；
（2）先化简代数式，再将a，b和c代入计算求解即可。
23．【答案】（1）解：设Rt△PMN的斜边上的高为h，
∵ 已知直三棱柱的三视图如图，
∴BC=MN，FG=h，AB=EF
解之：MN=BC=5，
∴PM=3
∴
∴
解之：h=FG=.
（2）解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，AB=EF，
∴即
解之：.
（3）解：直三棱柱的表面积=.
【知识点】几何体的表面积；相似多边形；锐角三角函数的定义；简单几何体的三视图
【解析】【分析】（1）（2）设Rt△PMN的斜边上的高为h，观察直三棱柱的三视图，可知BC=MN，FG=h，利用锐角三角函数的定义可求出MN的长；再利用直角三角形的面积公式可求出GF的长，再利用相似矩形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的长.
（3）根据已知直三棱柱的表面积等于两个三角形的面积+三个矩形的面积，列式计算可求解.
24．【答案】（1）12a
（2）解：小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）解：①如下图
②72；如下图，
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：（1）12×a=12acm；
故答案为：12a；
（3）②如下图，
此时展开图的周长
故答案为：72.
【分析】（1）正方体有12条棱，据此可得各棱长度之和；
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱， 据此算出小刘的模型的棱长之和，进而根据“ 小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ”列出方程，据此解答；
（3）①根据正方体展开图的特点进行解答；
②画出图形，进而求出展开图的周长.
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