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2021-2022学年浙江省各区县八下数学期末试题
一元二次方程题型精选
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2021·浙江萧山·八年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】
解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式．
【详解】
解：由原方程，得
x2+6x+9=3x2-x，
即2x2-7x-9=0，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．(本题3分)（2021·浙江苍南·八年级期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0，由此建立关于m的方程解答即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴（-2）2-4×1×m=0，
解得：m=1．
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
4．(本题3分)（2020·浙江镇海·八年级期末）在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区2月份新冠肺炎确诊病例144例，4月份新冠肺炎确诊病例36例，设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是，则下列关于的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据该地区2月份确诊例，月份确诊例，4月份的新冠肺炎确诊 例，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）如果关于的一元二次方程的两根分别为，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，
∴3+1=-p，3×1=q，
∴p=-4，q=3，
∴一元二次方程是x2-4x+3=0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
6．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知可用“降次法”求的值是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得x2=x+1，再代入x4-3x+2019即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴x4-3x+2019=（x+1）2-3x+2019
=x2+2x+1-3x+2019
=x2-x+2020
=1+2020
=2021，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
7．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程与一元一次方程有一个公共的解，那么若一元二次方程有两个相等的实根，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解方程3x-6=0得x1=2，则一元二次方程（x-x1）（x-x2）-（3x-6）=0变形为（x-2）（x-x2）-3x+6=0，整理得x2-（x2+5）x+2x2+6=0，利用判别式的意义得到Δ=0，然后解关于x2的方程即可．
【详解】
解：∵解方程3x-6=0得x=2，
∴x1=2，
∵一元二次方程（x-x1）（x-x2）-（3x-6）=0变形为（x-2）（x-x2）-3x+6=0，
整理得x2-（x2+5）x+2x2+6=0，
∴Δ=（x2+5）2-4（2x2+6）=0，
解得x2=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解析】
【分析】
设出动点P，Q运动ts，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动ts后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
9．(本题3分)（2020·浙江丽水·八年级期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【详解】
解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
10．(本题3分)（2020·浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于，的方程组，利用②①可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，进而可得出的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论．
【详解】
解：设矩形的长为，宽为，
依题意，得：，
②①，得：，
③．
将③代入②，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去），
．
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）已知一元二次方程的一个根是-1，则m的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可．
【详解】
解： 一元二次方程的一个根是-1
把代入方程得，解得，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的定义，关键是把代入方程构建含参数的方程求解即可．
12．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·八年级期末）一元二次方程的解是____．
【答案】x1=-1，x2=2
【解析】
【分析】
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（x-2）=0，
可得x+1=0或x-2=0，
解得：x1=-1，x2=2．
故答案为：x1=-1，x2=2．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．(本题3分)（2018·浙江江山·八年级期末）如图，某居民小区要一块一边靠墙的空地上建一个长方形花园，花园的中间用平行于的栅栏隔开，一边靠墙，其余部分用总长为米的栅栏围成且面积刚好等于平方米，求围成花园的宽为多少米？设米，由题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设AB=x米，则BC=（30-3x）m，利用矩形面积得出答案．
【详解】
解：设AB=x米，由题意可列方程为：x（30-3x）=72．
故答案为x（30-3x）=72．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出BC的长是解题关键．
14．(本题3分)（2021·浙江新昌·八年级期末）已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
设两直角边的长度分别为，n，则，n是方程的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案．
【详解】
解：设两直角边的长度分别为，n，
由题意可得：，n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，则，，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
15．(本题3分)（2019·浙江诸暨·八年级期末）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的一个解，则这个三角形的周长是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【详解】
解：由，解得：x＝2或x＝4
当第三边长为2时，
由三角形三边关系可知：2＋2＝4，
故不能组成三角形，
当第三边为4时，
由三角形三边关系可知：4＋2＞4，能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：2＋4＋4＝10，
故答案为：10
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长，本题属于基础题型．
16．(本题3分)（2021·浙江越城·八年级期末）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
可设图2阴影直角三角形另一条直角边为x，根据S1=S2，可得2x2=m2，则x=m，再根据勾股定理得到关于m，n的方程，可求的值．
【详解】
解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为x，依题意有
4×x2=m2，
解得x=m，
由勾股定理得(m)2+(n+m)2=m2，
整理得：m2-2mn-2n2=0，
解得m1=(1-)n（舍去），m2=(1+)n，
则的值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
17．(本题3分)（2020·浙江·八年级期末）关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，则a的取值范围是_____．
【答案】a＜．
【解析】
【分析】
将原方程转化为关于a的一元二次方程，用含x的表达式表示a，求得x＝a+1或x2+x+1﹣a＝0．由原方程只有一个实数根，再转化为方程x2+x+1﹣a＝0没有实数根求解即可．
【详解】
把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2﹣（x2+2x）a+x3﹣1＝0，
则△＝（x2+2x）2﹣4（x3﹣1）＝（x2+2）2，
∴a＝ ，即a＝x﹣1或a＝x2+x+1．
所以有：x＝a+1或x2+x+1﹣a＝0．
∵关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，
∴方程x2+x+1﹣a＝0没有实数根，即△＜0，
∴1﹣4（1﹣a）＜0，解得a＜ ．
所以a的取值范围是a＜．
故答案为a＜．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，题目较复杂，难度较大，学会转换思路是关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2021·浙江·八年级期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求解即可得；
（2）利用因式分解法求解即可得．
【详解】
（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，主要解法包括：配方法、直接开方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
19．(本题8分)（2020·浙江奉化·八年级期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）先计算出Δ＝（k＋2）2 4×2k＝（k 2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）依题意有Δ＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
【详解】
（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：依题意有Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周长＝2+2+1＝5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2 4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．
20．(本题8分)（2021·浙江鄞州·八年级期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【答案】（1）全天包车数的月平均增长率为60％；（2）当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．
【解析】
【分析】
（1）设全天包车数的月平均增长率为x，根据题意可得，进而求解即可；
（2）由题意易得，进而求解即可．
【详解】
解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为60％．
（2）由题意得：
，
解得：；
答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
21．(本题8分)（2019·浙江嘉兴·八年级期末）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝ s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
【答案】（1）5cm2；（2）；（3）或或或．
【解析】
【分析】
（1）当t=1时，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【详解】
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CQ＝1cm，AP＝2cm，
∴AB＝6﹣2＝4（cm）．
∴S＝（cm2）．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t（cm），
∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝9，
解得：t＝．
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．
∵CQ＝t，
∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣6）2+4＝9，
解得：t＝．
综上所述：t＝或；
（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝．
如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APED是矩形，
∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，
∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝ ．
∴2t＝，
解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
22．(本题9分)（2021·浙江杭州·八年级期末）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式：x2-（2k+1）x+4k-2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．
【详解】
解：（1）证明：方程化为一般形式为：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，
∵△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）＝（2k﹣3）2，
而（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0，
所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，
整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]＝0，
∴x1＝2，x2＝2k﹣1，
当a＝4为等腰△ABC的底边，则有b＝c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2＝2k﹣1，
解得k＝，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2＝4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a＝4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1＝4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4＝10．
所以△ABC的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．
23．(本题10分)（2021·浙江·八年级期末）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表：
普通口罩 N95口罩
进价（元/包） 8 20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元）
【答案】（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32
【解析】
【分析】
（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案；
（2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案；
（3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解．
【详解】
（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元
由题意得，
解得，
∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元.
（2）设普通口罩每包售价降低 a 元
由题意得
解得：a=2，a=-4（舍去）
∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元;
（3）设N95口罩每包售价是x元
由题意得
∴
∵
∴
∴
∴
即
x=32或33．
当x=33时，a不是整数，
∴N95口罩每包售价是32元．
【点睛】
本题考察了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解．
试卷第1页，共3页
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2021-2022学年浙江省各区县八下数学期末试题
一元二次方程题型精选
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2021·浙江萧山·八年级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(本题3分)（2021·浙江苍南·八年级期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)（2020·浙江镇海·八年级期末）在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区2月份新冠肺炎确诊病例144例，4月份新冠肺炎确诊病例36例，设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是，则下列关于的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）如果关于的一元二次方程的两根分别为，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
6．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知可用“降次法”求的值是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程与一元一次方程有一个公共的解，那么若一元二次方程有两个相等的实根，则（ ）
A． B．2 C． D．
8．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
9．(本题3分)（2020·浙江丽水·八年级期末）若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)（2020·浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）已知一元二次方程的一个根是-1，则m的值为_____．
12．(本题3分)（2021·浙江嘉兴·八年级期末）一元二次方程的解是____．
13．(本题3分)（2018·浙江江山·八年级期末）如图，某居民小区要一块一边靠墙的空地上建一个长方形花园，花园的中间用平行于的栅栏隔开，一边靠墙，其余部分用总长为米的栅栏围成且面积刚好等于平方米，求围成花园的宽为多少米？设米，由题意可列方程为______．
14．(本题3分)（2021·浙江新昌·八年级期末）已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是______．
15．(本题3分)（2019·浙江诸暨·八年级期末）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的一个解，则这个三角形的周长是_________．
16．(本题3分)（2021·浙江越城·八年级期末）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为_____．
17．(本题3分)（2020·浙江·八年级期末）关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，则a的取值范围是_____．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2021·浙江·八年级期末）解方程：
（1） （2）
19．(本题8分)（2020·浙江奉化·八年级期末）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长．
20．(本题8分)（2021·浙江鄞州·八年级期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
21．(本题8分)（2019·浙江嘉兴·八年级期末）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝ s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
22．(本题9分)（2021·浙江杭州·八年级期末）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
23．(本题10分)（2021·浙江·八年级期末）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表：
普通口罩 N95口罩
进价（元/包） 8 20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元）
试卷第1页，共3页
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