专题训练(四)　“三数”与“两差”中的数学思想 （含解析）

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专题训练(四)　“三数”与“两差”中的数学思想
　类型之一　方程思想
1.一组数据4,5,x,7,9的平均数为6,则这组数据的众数为 (　　)
A.4 B.5 C.7 D.9
2.两组数据3,a,b,5与a,4,2b的平均数都是3.若将这两组数据合并为一组新数据,则这组新数据的众数为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2020凉山州)已知一组数据1,0,3,-1,x,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是(　　)
A.-1 B.3 C.-1和3 D.1和3
4.在从小到大排列的五个数 x,3,6,8,12 中再加入一个数,若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等,则 x 的值为　　　　.
　类型之二　整体思想
5.已知数据1,2,3,4,x,y,z的平均数是7,那么x,y,z的平均数是　　　.
6.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据108输入为18,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 (　　)
A.3.5 B.3 C.-3 D.0.5
　类型之三　分类讨论思想
7.已知一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等,求x的值及这组数据的中位数.
　类型之四　统计思想
8.某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围为176 mm~185 mm的产品为合格),各随机抽取了20个样品进行检测,过程如下:
收集数据(单位:mm):
甲车间:168,175,180,185,172,189,185,182,185,174,192,180,185,178,173,185,169,187,176,180.
乙车间:186,180,189,183,176,173,178,167,180,175,178,182,180,179,185,180,184,182,180,183.
整理数据:
165.5~170.5 170.5~175.5 175.5~180.5 180.5~185.5 185.5~190.5 190.5~195.5
甲车间 2 4 5 6 2 1
乙车间 1 2 a b 2 0
分析数据:
车间 平均数 众数 中位数 方差
甲车间 180 185 180 43.1
乙车间 180 180 180 22.6
应用数据:
(1)计算甲车间样品的合格率;
(2)估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有多少个;
(3)结合上述数据信息,请判断哪个车间生产的新产品更好,并说明理由.
详解详析
1.B　[解析] 本题考查平均数及众数,熟练掌握平均数、众数的意义是解题的关键.先根据平均数的公式计算出x的值,再求这组数据的众数即可.
因为4,5,x,7,9的平均数为6,
所以=6,解得x=5,
所以这组数据为4,5,5,7,9,
所以这组数据的众数为5.
故选B.
2.B　[解析] 因为=3,=3,解得a=3,b=1,所以新的一组数据为 3,3,1,5,3,4,2.众数为3.故选B.
3.C　[解析] 由题意得1+0+3-1+x+2+3=7×1,解得x=-1,从而这组数据中有两个数字(-1和3)都出现的次数最多,为该组数据的众数.故选C.
4.1
5.13　[解析] 由题意,得(1+2+3+4+x+y+z)=7,所以x+y+z=39,
所以x,y,z的平均数是(x+y+z)=×39=13.
6.C　[解析] 设其他29个数据为a1,…,a29.
实际平均数=(a1+…+a29+108),
输错后的平均数'=(a1+…+a29+18),
所以'-=(a1+…+a29+18)-(a1+…+a29+108)=-=-=-3.
7.解:当x≥7时,原数据按从小到大的顺序排列为5,7,7,x,
其中位数为=7,
所以=7,解得x=9;
当x≤5时,原数据按从小到大的顺序排列为x,5,7,7,
其中位数为=6,
所以=6,解得x=5;
当5其中位数为,
所以=,解得x=5(舍去).
综上所述,x的值为5或9.当x=5时,中位数为6;当x=9时,中位数为7.
8.解:(1)甲车间样品的合格率为×100%=55%.
(2)因为乙车间样品的合格产品数为20-(1+2+2)=15(个),
所以乙车间样品的合格率为×100%=75%,
所以估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有1000×75%=750(个).
(3)乙车间生产的新产品更好.理由:①乙车间样品的合格率比甲车间高,所以乙车间生产的新产品更好.
②甲、乙两车间样品的平均数相等,且均在合格范围内,而乙车间的方差小于甲车间的方差,说明乙车间比甲车间稳定,所以乙车间生产的新产品更好.(合理即可)
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