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第二章：一元二次方程培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：∵方程的一个根为，
∴，
解得：，
∴方程为：，
方程的根为：，，
故另一根为：，
故选择：A
2.答案：A
解析：∵
∴，
∴，
故选择：A
3.答案：B
解析：∵无实数解，
∵的两根为
∵的两根为
∵的两根为
故选择：B
4.答案：A
解析：由题意得：
故选择：A
5.答案：D
解析：∵方程的两根和为10，
∴当这个等腰三角形的腰长为4时，另两边长为4，6，
∴，∴，∴；
当这个等腰三角形的底边长为4时，另两边长为5，5，
∴，∴，∴，
故的值为或
故选择发：D
6.答案：C
解析：∵方程 是一元二次方程，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴，故选择》C
7.答案：B
解析：∵一元二次方程 的一个根是0，
∴，解得：（不合题意，舍去）
∴，故选择：B
8.答案：D
解析：以AB为对角线将图形补成长方形，
由已知可得缺失的两部分面积相同，
即3×6=x×(9-x)，
解得x=3或x=6，
故选择：D.
9.答案：C
解析：当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1．
综上可知：满足条件的整数k为0、1和-1．
故选C．
10.答案：A
解析：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0
得：a a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a a+b=0，
相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵
∴．
故选择A．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵方程有两个相等的实数根，
∴，解得：
12.答案：
解析：∵方程的根的判别式的值为5，
∴，
解得：
13.答案：
解析：由题意可得：．
故答案为：．
14.答案：14
解析：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
15.答案：①③
解析：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，
△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，所以x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
16.答案：①④
解析：①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=（a-c）2≥0，故①正确；
②∵方程两根为-1和3，
∴-1+3=，（-1）×3=，
∴b=-2a，c=-3a，
∴3a+2c=3a-6a=-3a≠0，故②错误；
③∵b=0，
∴△=b2-4ac=-4ac，
因为题目中a、c的值不确定，故-4ac的值不确定，不能判定该方程根的情况，故③错误；
④∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=-4ac＞0，
∵方程ax2+bx+c=0，
∴△=b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①④．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1），
∴，
∴，
∴x1=-1，x2=5；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴3x+2=0或x-4=0，
∴x1=，x2=4．
（3）方程：
∵，
∴，
∴
18.解析：（1）把x＝2代入方程，
得到22+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）∵Δ＝a2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数解．
19.解析：设截去的小正方形边长是xcm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣5x）＝32，
解得：x1＝1，x5＝7（舍去）．
答：截去的小正方形边长是1cm．
20.解析：（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）依题意有Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周长＝2+2+1＝5．
21.解析：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，
解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．
22.解析：（1）（辆），
（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），
394800元＝39.48万元．
答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆．
（2）40.4万元＝404000元
设上涨x个100元，由题意得：
（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000
整理得：x2﹣64x+540＝3
解得：x1＝54，x2＝10
∵规定每辆车月租金不能超过7200元，
∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）
答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.3万元
23.解析：（1）在中，
a=3，b=4，c=5，满足，
∴a，b，c是直角三角形的三边长，
∴是勾系一元二次方程；
（2）证明；，
△
，
，
△，
关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）是“勾系一元二次方程” 的一个根，
，即，
四边形的周长是，
，
，
，
，，
，
，
，
．
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第二章：一元二次方程培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．关于的方程的一个根为，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6
2.用配方法解方程，配方后的方程是( )
A. B. C. D.
3.下列一元二次方程中,有一个根为1的方程是（ ）
A． B． C． D．
4.在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病倒逐渐减少，据统计，某地区2月份新冠肺炎确诊病例144例，4月份新冠肺炎确诊病例36例，设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是x，则下列关于x的方程正确的是（ ）
A．144（1﹣x）2＝36 B．144（1﹣2x）＝36 C．36（1+x）2＝144 D．144（1﹣x2）＝36
5.等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程的两个实数根,则m的值是( )
A．24 B．25 C．26 D．24或25
6.已知方程 是一元二次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.若关于x的一元二次方程 的一个根是0，则的值是( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
8.如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
9.若关于的方程的根是整数，则满足条件的整数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.方程有两个相等的实数根，则k的值是
12.如果关于的方程的根的判别式的值为5，那么
13.用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为米，可列出方程为________________________
14．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是
15.关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，正确的是_________（填序号）
16.已知关于x的一元二次方程，下列命题中正确的有____________（填序号）
①若，则；②若方程两个根为和3，则；
③若，则方程一定有两个实数根，并且这两个根互为相反数；
④若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）解下列方程：
（1） （2）
（3）．
18（本题8分）设一元二次方程．
（1）若该方程的一个解是，求的值；
（2）求证：一元二次方程有两个不相等的实数解．
19（本题8分）如图，在一个长10cm，宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形盒子．若长方形盒子的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求截去的小正方形的边长．
20（本题10分）已知：关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
21．(本题10分)甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
22（本题12分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
23（本题12分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a b c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决以下问题：
（1）判断是否为“勾系一元二次方程”，并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
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