初中数学浙教版八年级下册4.5 三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020八下·南岸期末）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC=42m，BC=64m，DE=26m，则AB等于（ ）
A．42m B．52m C．56m D．64m
3．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
4．（2020八下·长沙期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则应添加的条件是（ ）
A．AB//CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=BC
5．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．（2020八下·岑溪期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知 分别是线段OD,OA的中点，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
7．（2020八下·八步期末）如图， 对角线 相交于O点，E是 的中点，连接 ，若 则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020八下·大东期末）若三角形的各边长分别是8，10和16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34 B．30 C．29 D．17
9．（2020八下·济南期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
10．（2020八下·北京期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH=6，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·抚顺期末）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 .
12．（2020八上·南京月考）已知在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长为 .
13．（2020八下·富县期末）如图，D是 内一点， ， 分别是 的中点，若 ，则四边形 的周长是 .
14．（2020八下·姜堰期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是 .
三、解答题
15．（2020八上·浦东期末）如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结
DF,求证:AC=DF。
16．（2020八下·莲湖期末）如图，在 中， ，点D在 的延长线上，连接 ，E为 的中点.请用尺规作图法在 边上求作一点F，使得 为 的中位线.（保留作图痕迹，不写作法）
17．（2020八下·兰州期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点.
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC+BD=36，AB=10，求△OEF的周长.
18．（2020八下·南岸期末）如图所示，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段DE上一点（不与点D重合），AB∥DE，AE∥DC.
（1）如图1，当点F与E重合时，求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如图2，当点F不与E重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，当∠BCD=90°，且CD=CE，F恰好运动到DE的中点时，直接写出AB与DC的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵CD=DA，CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，
∵DE=26m，
∴AB=52m，
故答案为：B.
【分析】由三角形的中位线定理可知，中位线平行第三边且等于第三边的一半，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F、G、H是四边形各边中点，
∴易得四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
故答案选B．
【分析】根据矩形的性质和中位线的性质即可得到结果；
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，
∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，
故AD＝ ＝ ＝8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF∥AD，EF＝ AD，
则EF的长为：4.
故答案为：B.
【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO、DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理得出EF的长.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为在平行四边形ABCD中， ， ，
所以 ， ， ，
因为 是 的中点，
所以OE是 的中位线，
所以 ，
所以平行四边形ABCD的周长 ，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ， ，由三角形中位线定理可求AB的长，进而可得平行四边形ABCD的周长.
8．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，
则以各边中点为顶点的三角形的周长等于原三角形的周长的一半，即
故答案为：D.
【分析】利用三角形的中位线定义及三角形的中位线等于第三边的一半，即可求出中点三角形的周长。
9．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是 的中位线，
∴PE= AD，
同理，PF= BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠EFP= ×（180°-∠EPF）= ×（180°-140°）=20°，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF= BC，结合已知可得PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F是AB、CD的中点，G、H是AC、BD的中点，
∴EH∥AD，EH＝ AD，GF∥AD，GF＝ AD，
∴EH∥GF，EH＝GF＝6，
∴AD＝2EH＝12，
故答案为：D．
【分析】由三角形中位线定理可得EH∥AD，EH＝ AD，GF∥AD，GF＝ AD，可得EH∥GF，EH＝GF＝6，AD＝2EH＝12，利用排除法可求解．
11．【答案】1.85m
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，
∴BC＝ AB＝3.7，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DE＝ BC＝1.85m，
故答案为：1.85m.
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可.
12．【答案】14
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BE⊥AC，
∴BE是△ABC的中线，
∵AF⊥BC，D是AB的中点，
∴DF= AB= ×10=5,EF= AC= ×8=4，
∵BE是△ABC的中线，D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC= ×10=5，
∴△DEF的周长=5+4+5=14.
故答案为14.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BE是△ABC的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF= AB，EF= AC，然后判断出DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE= BC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
同理， ， ， ，
四边形 的周长 ，
故答案为：10.
【分析】根据勾股定理求出 ，根据三角形中位线定理解答即可.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB 5，
S△ABC AC×BC AB×CH，即 3×4 5×CH，
解得：CH ，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE CM，
当CM⊥AB时，CM最小，最小值为 ，
当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，
∴ .
故答案为： .
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出 ，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当 时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解，当点M与点B重合时，CM最大，从而可得到DE的取值范围.
15．【答案】证明：如图，连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,∠EDB=90°，
∴∠EAB=∠EBA=15°，
∴∠AEC=30°，
Rt△EDB中,∵F是BE的中点，
∴DF= BE，
Rt△ACE中,∵∠AEC=30°，
∴AC= AE，
∴AC=DF.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再根据直角三角形中30°角的性质得AC和AE的关系，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质得：DF与BE的关系，从而得出结论。
16．【答案】解：∵AB=BC
∴△ABC是等腰三角形，
作△ABC中∠ABC的平分线交AC于点F，如图，点F即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质作图即可，
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∵E、F、 G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点
∴EO= AO，GO= CO，FO= BO，HO= DO
∴EO=GO，FO=HO
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）解：∵E、F分别是AO、BO的中点
∴EF= AB，且AB=10
∴EF=5
∵AC+BD=36
∴AO+BO=18
∴EO+FO=9
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=9+5=14.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，由中点的性质可得 EO=GO，FO=HO , 由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得EO+FO=9，由三角形中位线定理可得EF=5，即可求解.
18．【答案】（1）解：∵ AB DE，AE DC，
∴ ∠B=∠DFC，∠AFB=∠C.
∵ F是BC的中点，
∴ BF=CF.
在△ABF和△DFC中，
∵
∴ （ASA）.
∴ AF=DC.
∴ 四边形AFCD是平行四边形.
（2）解：结论成立，理由如下：
过点E作EG FA交AB于点G.
∵ AB DE，
∴ 四边形AGEF是平行四边形.
∴ GE=AF.
∵DC∥AF，
∴ DC∥GE.
∴ ∠GEB=∠DCE，
由（1）得：
在△GBE和△DEC中，
∵
∴ （ASA）.
∴ GE=DC.
∴ AF=DC.
∴ 四边形AFCD是平行四边形.
（3）解：连接AC交DE于H，如图3所示：
由（2）得：四边形AFCD是平行四边形，
∴DH=FH= DF，
∵∠BCD=90°，CD=CE，
∴ 是等腰直角三角形，
∴DE= ，
∵点F是DE的中点，
∴EF=DF，CF⊥DE，CF=DF=EF= ，
∴FH= ，
∴EH=EF+FH= ，
∵AB∥DE，点E是BC的中点，
∴EH是 的中位线，
∴ .
【知识点】平行四边形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由ASA证得 ，得出AF=DC，即可得出结论；（2）过点E作EG∥FA交AB于点G，证明四边形AGEF是平行四边形，得GE=AF，由ASA证得 ，得出GE=DC，推出AF=DC，又由AF∥DC，即可得出四边形AFCD是平行四边形；（3）连接AC交DE于H，由（2）得四边形AFCD是平行四边形，得出DH=FH= DF，证明 是等腰直角三角形，得DE= DC，由等腰直角三角形的性质得出EF=DF，CF⊥DE，CF=DF=EF= DC，求出FH= DC，EH= DC，证明EH是 的中位线，即可得出结果.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册4.5 三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
2．（2020八下·南岸期末）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC=42m，BC=64m，DE=26m，则AB等于（ ）
A．42m B．52m C．56m D．64m
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵CD=DA，CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，
∵DE=26m，
∴AB=52m，
故答案为：B.
【分析】由三角形的中位线定理可知，中位线平行第三边且等于第三边的一半，据此解答即可.
3．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
4．（2020八下·长沙期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则应添加的条件是（ ）
A．AB//CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=BC
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F、G、H是四边形各边中点，
∴易得四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
故答案选B．
【分析】根据矩形的性质和中位线的性质即可得到结果；
5．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
6．（2020八下·岑溪期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知 分别是线段OD,OA的中点，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，
∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，
故AD＝ ＝ ＝8，
∵E、F分别是线段OD、OA的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF∥AD，EF＝ AD，
则EF的长为：4.
故答案为：B.
【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出AO、DO的长，再利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形中位线定理得出EF的长.
7．（2020八下·八步期末）如图， 对角线 相交于O点，E是 的中点，连接 ，若 则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为在平行四边形ABCD中， ， ，
所以 ， ， ，
因为 是 的中点，
所以OE是 的中位线，
所以 ，
所以平行四边形ABCD的周长 ，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ， ，由三角形中位线定理可求AB的长，进而可得平行四边形ABCD的周长.
8．（2020八下·大东期末）若三角形的各边长分别是8，10和16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34 B．30 C．29 D．17
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，
则以各边中点为顶点的三角形的周长等于原三角形的周长的一半，即
故答案为：D.
【分析】利用三角形的中位线定义及三角形的中位线等于第三边的一半，即可求出中点三角形的周长。
9．（2020八下·济南期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是 的中位线，
∴PE= AD，
同理，PF= BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠EFP= ×（180°-∠EPF）= ×（180°-140°）=20°，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF= BC，结合已知可得PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
10．（2020八下·北京期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH=6，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F是AB、CD的中点，G、H是AC、BD的中点，
∴EH∥AD，EH＝ AD，GF∥AD，GF＝ AD，
∴EH∥GF，EH＝GF＝6，
∴AD＝2EH＝12，
故答案为：D．
【分析】由三角形中位线定理可得EH∥AD，EH＝ AD，GF∥AD，GF＝ AD，可得EH∥GF，EH＝GF＝6，AD＝2EH＝12，利用排除法可求解．
二、填空题
11．（2021八上·抚顺期末）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 .
【答案】1.85m
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，
∴BC＝ AB＝3.7，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DE＝ BC＝1.85m，
故答案为：1.85m.
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可.
12．（2020八上·南京月考）已知在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长为 .
【答案】14
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BE⊥AC，
∴BE是△ABC的中线，
∵AF⊥BC，D是AB的中点，
∴DF= AB= ×10=5,EF= AC= ×8=4，
∵BE是△ABC的中线，D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC= ×10=5，
∴△DEF的周长=5+4+5=14.
故答案为14.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BE是△ABC的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF= AB，EF= AC，然后判断出DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE= BC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.
13．（2020八下·富县期末）如图，D是 内一点， ， 分别是 的中点，若 ，则四边形 的周长是 .
【答案】10
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
同理， ， ， ，
四边形 的周长 ，
故答案为：10.
【分析】根据勾股定理求出 ，根据三角形中位线定理解答即可.
14．（2020八下·姜堰期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB 5，
S△ABC AC×BC AB×CH，即 3×4 5×CH，
解得：CH ，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE CM，
当CM⊥AB时，CM最小，最小值为 ，
当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，
∴ .
故答案为： .
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出 ，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当 时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解，当点M与点B重合时，CM最大，从而可得到DE的取值范围.
三、解答题
15．（2020八上·浦东期末）如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结
DF,求证:AC=DF。
【答案】证明：如图，连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,∠EDB=90°，
∴∠EAB=∠EBA=15°，
∴∠AEC=30°，
Rt△EDB中,∵F是BE的中点，
∴DF= BE，
Rt△ACE中,∵∠AEC=30°，
∴AC= AE，
∴AC=DF.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再根据直角三角形中30°角的性质得AC和AE的关系，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质得：DF与BE的关系，从而得出结论。
16．（2020八下·莲湖期末）如图，在 中， ，点D在 的延长线上，连接 ，E为 的中点.请用尺规作图法在 边上求作一点F，使得 为 的中位线.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：∵AB=BC
∴△ABC是等腰三角形，
作△ABC中∠ABC的平分线交AC于点F，如图，点F即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质作图即可，
17．（2020八下·兰州期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点.
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC+BD=36，AB=10，求△OEF的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∵E、F、 G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点
∴EO= AO，GO= CO，FO= BO，HO= DO
∴EO=GO，FO=HO
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）解：∵E、F分别是AO、BO的中点
∴EF= AB，且AB=10
∴EF=5
∵AC+BD=36
∴AO+BO=18
∴EO+FO=9
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=9+5=14.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，由中点的性质可得 EO=GO，FO=HO , 由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得EO+FO=9，由三角形中位线定理可得EF=5，即可求解.
18．（2020八下·南岸期末）如图所示，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段DE上一点（不与点D重合），AB∥DE，AE∥DC.
（1）如图1，当点F与E重合时，求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如图2，当点F不与E重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，当∠BCD=90°，且CD=CE，F恰好运动到DE的中点时，直接写出AB与DC的数量关系.
【答案】（1）解：∵ AB DE，AE DC，
∴ ∠B=∠DFC，∠AFB=∠C.
∵ F是BC的中点，
∴ BF=CF.
在△ABF和△DFC中，
∵
∴ （ASA）.
∴ AF=DC.
∴ 四边形AFCD是平行四边形.
（2）解：结论成立，理由如下：
过点E作EG FA交AB于点G.
∵ AB DE，
∴ 四边形AGEF是平行四边形.
∴ GE=AF.
∵DC∥AF，
∴ DC∥GE.
∴ ∠GEB=∠DCE，
由（1）得：
在△GBE和△DEC中，
∵
∴ （ASA）.
∴ GE=DC.
∴ AF=DC.
∴ 四边形AFCD是平行四边形.
（3）解：连接AC交DE于H，如图3所示：
由（2）得：四边形AFCD是平行四边形，
∴DH=FH= DF，
∵∠BCD=90°，CD=CE，
∴ 是等腰直角三角形，
∴DE= ，
∵点F是DE的中点，
∴EF=DF，CF⊥DE，CF=DF=EF= ，
∴FH= ，
∴EH=EF+FH= ，
∵AB∥DE，点E是BC的中点，
∴EH是 的中位线，
∴ .
【知识点】平行四边形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由ASA证得 ，得出AF=DC，即可得出结论；（2）过点E作EG∥FA交AB于点G，证明四边形AGEF是平行四边形，得GE=AF，由ASA证得 ，得出GE=DC，推出AF=DC，又由AF∥DC，即可得出四边形AFCD是平行四边形；（3）连接AC交DE于H，由（2）得四边形AFCD是平行四边形，得出DH=FH= DF，证明 是等腰直角三角形，得DE= DC，由等腰直角三角形的性质得出EF=DF，CF⊥DE，CF=DF=EF= DC，求出FH= DC，EH= DC，证明EH是 的中位线，即可得出结果.
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