经历概念生长 营造思维必然
----浙教版九（上）“相似三角形”教学设计及分析
一、教学背景分析
1.学情与教材分析
相似三角形是初中数学的核心内容之一.从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓展,所以在研究的内容上、方法上有类似之处.教材以合作学习开始,注重概念的形成过程,让学生经历“活动-问题-讨论与交流-总结归纳”的知识发生和发展过程.在教学活动中的设计中,引导学习获取利用边、角关系进行研究相似三角形的活动经验.利用“定义法”来判定三角形的相似,是判定方法的起点,后续学习中的相似三角形判定方法,只需要在“定义法”上对条件进行弱化,所以教学中应该优化“一以贯之”起点教学,体现数学知识的一脉相承.
2.教学目标分析
（1）通过具体情境经历相似三角形概念的形成过程，会表示两个三角形相似.
（2）会用定义判定三角形相似，熟练运用相似三角形的性质进行相关的计算.
（3）在合作与探究活动过程中感悟类比思想、分类思想、从特殊到般的数学思想.
3．教学重点、难点分析
重点：相似三角形的概念以及形成过程.
难点：在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式.
二、教学过程设计
（一）回顾知识，唤醒经验
1.忆一忆：结合图1回顾全等三角形的相关知识：
（1）全等三角形的特点：形状 ，大小 ；
（2）全等三角形的定义： ；
（3）记作方法： ；
（4）性质：对应边 ,对应角 .
2.想一想：如图（2）,如果改变一个三角形的大小,请注意观察两三角形边、角之间的大小有什么关系？像这样的两个三角形,就是今天我们要学习的相似三角形.（引出课题）
【设计意图】通过观察,回顾全等三角形的概念、特征、记法、性质,为相似三角形的学习提供类比的知识储备.引导学生从边、角进行分析比较，在现有的知识水平上不断积累研究几何图形的基本套路,并引出课题.
（二）动手操作，体悟概念
1.画一画：请在网格中按要求画出三角形（每个网格的边长为1）,顶点落在格点上,并且一边已经画出.
三边分别为4,5, 三边分别为8,10,
自主完成画图后，小组合作、讨论以下问题：
（1）这两个三角形各内角相等吗？你如何得出结论？
（2）这两个三角形各边之间有什么关系？
2.理一理：教师组织学生合作探究,小组之间交流分享,鼓励学生用不同的方法得到结论：“对应的内角相等,对应的边比值相同”，顺势导出相似三角形的概念.
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形.
表示方法：相似三角形用符号“∽”表示，读作“相似于”.
※相对应的顶点的字母写在相对应的位置.网格中所画的两个三角形分别记△ABC和△A′BˊCˊ,则可以记为 .
学会了相似三角形的记法,我可以将定义用图形语言和数学（符号）语言来描述.
几何语言：
∵∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,
∴△ABC∽△A′B′C′
相似比:相似三角形对应边的比称之为相似比.
注意:相似比与三角形的顺序有关.网格中所画的△ABC与△A'B'C'的相似比为,那么△A'B'C'与△ABC的相似比为 .
3.议一议：定义可以作为判定相似的起点方法,以后的判定方法都是在定义上根据图形的特点进行条件弱化得到的.
（1）结合“定义法”进行判断，正确的说明理由，不正确的举出反例.
两个全等三角形一定相似.………………（ ）
两个直角三角形一定相似.………………（ ）
两个等腰三角形一定相似.………………（ ）
两个等边三角形一定相似.………………（ ）
两个等腰直角三角形一定相似.…………（ ）
（2）在△ABC中,BC=54,CA=45,AB=63,另一个和它相似的三角形的最短边是15,则△ABC与另一个三角形的相似比为 .
【设计意图】通过动手画图以及合作探究,让学经历相似三角形概念的形成过程,在概念的感知和形成过程中,体会类比思想是探究新知识的有效方法.将全等三角形纳入相似三角形的知识体系，体会从特殊到一般的数学思想.运用几何语言描述相似三角形的定义,增强学生的符号意识,强化逻辑推理能力,提高学生的数学素养.
（三）类比探究，生长知识
1.探一探：全等三角形的对应角相等，对应边相等.那么相似三角形有什么性质呢？如果我们也从对应角边、对应角进行探究，再根据相似三角形的定义，你能得出什么结论吗？
性质：相似三角形的对应相等,对应边成比例.
几何语言：
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,
2.练一练：
（1）下列各组图形中,请分别说出对应角以及对应边成比例的比例式.
（2）下图的两个三角形相似，a表示已知数，试确定x和y的值.
【设计意图】经历了概念的形成过程,对概念的理解和掌握后,依照“一以贯之”图形研究顺序：“定义→性质→判定→应用”，激励学生在研究策略上通过类比全等三角形的性质来探究相似三角形的性质,再一次领悟类比的思想.“练一练”的三个基本图形是相似三角形中最常见的模型,帮助学生熟悉不同图形中比例式的书写.
（四）应用新知,解决问题
例1.已知:如图,点D,E分别是AB,AC边的中点.求证:△ADE∽△ABC.
例2.已知：如图点E,F分别是△ABC的边AB,AC边上的点,△ABC ∽△AEF,若AE﹕EB=1﹕2,BC=9cm,求EF的长.
【变式1】已知：如图3 ,点F,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,△ABC ∽△AEF,
∠BAC=80°,∠C =60°,则∠AEF的度数为 .
【变式2】已知：如图4,点D是△ABC的边AC上一点,△ABC∽△ADB,若AD＝2 cm,
AB=3 cm,求AC的长.
【变式3】 已知：如图5，点E，F分别是△ABC的边AB,AC反向延长线上的点,△ABC ∽△AEF.已知AF=2cm,AB=5cm,AC=4cm,则AE的长 .
【变式4】已知：如图6 ,点F,E分别是△ABC的边AB,AC反向延长线上的点,△ABC∽△AEF.已知AE=3cm,AB=5cm,AC=4cm,则AF的长为 .
交流讨论：经历了上述练习与思考，你和同学分享一下找相似三角形对应边和对应角的方法和思路吗？
总结提炼:
最大边是对应边，最小边是对应边；
最大角是对应角，最小角是对应角；公共角、对顶角是对应角；
对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
【拓展提升】 已知：点 E，F分别是△ABC的边AB,AC边上的点,△ABC与△AEF相似， AF=2cm,EB=4cm ,AC=5cm,求AE的长.
【设计意图】例1的设置，进一步强化“定义法”是判定三角形相似的起点方法，优化“一以贯之”的起点教学.例题2以及变式，让学生经历不同图形背景下寻找相似三角形的对应边和对应角的过程，在过程中感受找对应边和对应角的方法，教师再及时引导学生总结提炼，提高学生分析问题和解决问题的能力，优化学生的思维品质.例题的变式为拓展提升营造了思维必然，分类讨论的思想顺势而来，让学生经历了高品质的思维训练.
（五）盘点收获，提升素养
（六）布置作业，分层训练
1.作业本（2）第1至6题必做题,第7题选做题.
2.预习教材4.4（1）并尝试完成132页第1、2题.
三、教学反思
本节课是关于相似三角形概念的教学，基于概念课教学特点以及学生核心素养的培养理念，我在实施教学的过程中力求做到下面几点：
1.复习回顾已有的知识，为实现类比教学提供知识储备、唤醒原有经验.在教学开展的过程中，引导学生从边、角进行类比的研究方法，获取研究相似三角形的活动经验.
2.创设问题情境，让学生探究的过程中，经历动手操作、观察、猜想、验证、归纳，不断地发现和获取新的思考，激发了学生的积极性和好奇心.
3.根据《义务教育数学课程标准（2011版）》所提出的“要用教材教，而不能教教材”的教学理念，结合初中生的认知特点，本节课的活动组织为“复习回顾-创设情境-建构模型-合作探究-实践应用-总结提升”的模式.在关注“四基”的同时，更关注学生核心素养的提升.
4.不足之处：本节课内容比较少、知识容量和思维容量不大，部分学生在学习过程中游刃有余，课堂节奏过快，后进生活动关注太少，教师对学生活动的情况了解不全面，因此在以后的教学中要尊重学生的个体差异和发展层次.(共12张PPT)
A
B
C
A'
B'
C'
全等三角形：
1.特点：
2.定义：
3.记法：
4.性质：
一、回顾知识，唤醒经验
形状相同，大小相等.
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
记作△ABC≌△A'B'C'
对应角相等，对应边相等.
浙教版九（上）
4.3 相似三角形
观察,小组讨论完成下列问题:
（2）这两个三角形各条边之间有什么关系？
（1）这两个三角形各内角之间有什么关系？
1.课本的合作学习
二、动手操作，体悟概念
定义： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似
三角形.
注意：相似三角形对应的顶点
字母写在对应的位置上
二、动手操作，体悟概念
表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”，
所画的两个三角形相似可记作：△ABC∽△A' B‘C'
几何语言:
2.悟一悟
相似比：相似三角形对应边的比.
二、动手操作，体悟概念
所画的△ABC与△ A′B′C′的相似比为 , 那么△ A′B′C′与△ABC的相似比为 .
注意：相似比与三角
形的顺序有关
（1）结合“定义法”进行判断, 不正确的 举出反例.
两个全等三角形一定相似（ ）
两个直角三角形一定相似 （ ）
两个等腰三角形一定相似 （ ）
两个等边三角形一定相似 （ ）
两个等腰直角三角形一定相似 （ ）
3.议一议
（2）在△ABC中，BC=54,CA=45,AB=63,另一个和它相似的三角形的最短边是15,则△ABC与另一个三角形的相似比为 .
2
几何语言：
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,
三、类比探究，生长知识
1.探一探
性质：相似三角形的对应相等，对应边成比例.
全等三角形的对应角相等,对应边相等.那么相似三角形有什么性质呢？
2.练一练
（1）下列各组图形中，请分别说出对应角以及对应边成比例的比例式.
△ADE∽△ABC
△ABC∽△ADE
△ADE∽△ACB
（2）下图的两个三角形相似， a表示已知数，试确定x和y的值.
四、应用新知，解决问题
例1.已知:如图,点D,E分别是AB,AC边的中点.
求证:△ADE∽△ABC
“定义法”可以作为三角形相似判定的起点方法.
例2.已知：如图 E,F分别是△ABC的边
AB,AC边上的点, △ABC ∽△AEF,
若AE﹕EB=1﹕2，BC=9cm,求EF的长.
变式1 如图,△ABC ∽△AEF,
∠BAC=80°,∠C =60°,求∠AEF.
变式2 如图,△ABC∽△ADB，若AD＝2 cm, AB=3 cm, 求AC的长.
变式4 如图，△ABC ∽△AEF.已知AE=3cm，AB=5cm，AC=4cm，求AF的长.
.
经历了上述练习与思考，你能和同学们分享一下找相似三角形对应边、对应角的方法和思路吗？
交流讨论
【拓展提升】 已知：点 E，F分别是△ABC的边AB,AC边上的点,△ABC 与△AEF相似， AF=2cm，AB=4cm ，AC=5cm,求AE的长.
对应边所对的角是对应角，对应 角所对的边是
对应边.
总结提炼
最大边是对应边，最小边是对应边；
边
角
最大角是对应角，最小角是对应角；
边角
互对
公共角、对顶角是对应角；
相似三角形
知识生长
“定义法”判定
性质
相似比
记法
定义
思想方法
分类思想
一般到特殊
类比思想
找对应边
列比例式
找对应角
基本技能
数学素养
符号意识
逻辑推理
数学态度
几何直观
思维品质
特殊到一般
五、盘点收获，提升素养
