阅读材料：从勾股定理到面积关系的拓展
如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形、、为底、半圆，其中不满足这个关系的是
A. B. C. D.
如图，美国第任总统加菲尔德利用该图验证了勾股定理，则在验证过程中用到的面积相等的关系是
A.
B.
C.
D.
如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且，则的长为
B.
C. D.
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该矩形的面积为
B.
C. D.
如图，若的斜边，两个正方形的面积分别为、，则______．
课本第页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：
（1）如图分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是 现将向上翻折，
（2）如图，已知，，，则的面积是 ．
7.【探索发现】
如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案图中阴影部分的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由．
答案和解析
1. 2. 3. 4. 5. 6.；
7.解：
；
结论：；
证明：，
，
，
．
第2页，共2页
第1页，共1页(共15张PPT)
拓展
从勾股定理到图形面积关系
数学之美
欣赏美丽的“勾股树”
基本图形
探究图形
面积的关系
边的关系
勾股定理
在Rt△ABC中
∵∠C=90°
+
=
a
b
c
结论：以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积
之和等于以斜边为边的正方形面积.
拓展图形
你还能在三边上拓展出特殊的三角形吗 独立思考，并画出图形.
S1
+
S2
=
S3
a
a
猜想验证
如图，以直角三角形的三边 a,b,c为边，向外分别作正三角形，是否存在 ，请说明理由.
S1
+
S2
=
S3
猜想：
S1
+
S2
=
S3
证明：
=
同理：S2=
S3=
可以求得：
巩固练习
20
探寻规律
请观察三边上的三个图形的形状和大小有什么关系？
形状相同，大小不同
相似图形
揭示本质、探寻规律，是研究数学的重要方法.
拓展阅读
早在2000多年前，人们就知道了勾股定理的一些拓展，例如：伟大数学家欧几里得整理得《几何原本》六卷31题介绍：
的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和.”
“在一个直角三
角形中，斜边上
所画的任何图形
运用规律
形状相同，大小不同
相似图形
圆是
相似图形
2000多年前古希
腊希波克拉底
“月牙定理”
S1
+
S2
=
S3
拓展阅读
公元前400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己所画的
图形，得出如下的结论：两个月牙形的面积等于△ABC的
面积，即
SA
+
SB
=
SC
S1
+
S2
=
S3
S1
+
S2
+
Sc
∵SA
+
SB
=
- S3
Sc
∴SA
+
SB
=
小组合作交流、讨论
1.如图，已知△ABC的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积.
学以致用
30
2.如图，直线l上有三个正方形，面积分别为a,b,c,若a=5,b=11， 则c为 .
3.已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c，斜边c＝6，若以a、b、c为直角边分别向外作等腰直角三角形，面积分别为S1、S2、 S3 ,则S1+S2为 ．
拓展提升
分类讨论:
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9
【变式1 】若a、b为斜边，则S1+S2为 ．
【变式2 】若a、b、c为边，则S1，S2 ，S3之间的数量关系为 ．
数学传承
古人精神
古人智慧
和谐之美
自然之美
数学之美
数学思想
分类讨论
由特殊到一般
数形结合
生长相似图形
勾股定理
图形生长
生长特殊△
生长正方形
生长圆
小结提升
作业：设计一棵“勾股树”，优秀作品将在班级展示。
数学创作
祝生活愉快！谢谢！
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