2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
2.4一元二次方程根与系数的关系
浙教版 八年级下
新知导入
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程根的判别式是什么？
3.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
b2－4ac
新知导入
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
探究新知
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
(1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-12x+11=0
x2-9=0
4x2+20x+25=0
1
11
12
11
3
-3
0
-9
-5
知识讲解
【思考】前面解方程时利用了什么方法呢
因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
探究新知
如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么
x1+x2= ，x1·x2=
能用这个结论的前提为b2－4ac≥0
上面的结论对于任意的一元二次方程都适合的吗？
知识讲解
下面我们来证明这一结论。
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
，
知识讲解
下面我们来证明这一结论。
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
，
例题讲解
例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求 x12+x22和的 值.
解：有一元二次方程的根与系数的关系，得
知识讲解
【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入．
几种常见的求值:
例题讲解
例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别
是 ，1写出这个方程.
解：设这个方程为3x2+bx+c=0，
由一元二次方程根与系数的关系，得
所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
，解得b=-4
，解得c=1
拓展延伸
（1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的
（2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。
推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p
x1·x2=q
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）
是x2－（x1+x2）x+x1·x2=0
课堂小结
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系.
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？
这节课你学到了什么？
如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么
x1+x2= ，x1·x2=
课堂练习
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是 (　　)
A．4 B．－4 C．3 D．－3
D
2.设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是(　　)
A．19 B．25 C．31 D．30
C
3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　　)
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
B
4.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．
解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.
∴原方程为x2－2x－3＝0，
即(x－3)(x＋1)＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)
＝2m2＋4m－1.
∵x12＋x22=15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.
又∵方程有两个实数根，
∴b2－4ac≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥ .
∴m＝2.
1．作业本
2．自主练习
作业布置
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