浙教版 八年级数学下册 第2章 一元二次方程 单元综合练习（Word版 含解析）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》单元综合练习（附答案）
一．选择题
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x3+x2+2＝0 B．y＝5﹣x C．x+＝5 D．x2+2x＝3
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．关于x的方程x（x﹣5）＝3（x﹣5）的根是（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5；x2＝3 D．x1＝5；x2＝3
4．若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
5．若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
6．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm2．设切去的正方形的边长为xcm，可列方程为（　　）
A．4x2＝800 B．50×30﹣4x2＝800
C．（50﹣x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣2x）（30﹣2x）＝800
7．等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．10或14
8．若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程是（　　）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
10．对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（　　）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
二．填空题
11．若（m+2）x|m|+（m﹣1）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 　 　．
12．代数式﹣x2+2x﹣4有最　 　值，最值是　 　．
13．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝　 　．
14．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝　 　．
三．解答题
15．解方程：
（1）4x2+2x﹣1＝0；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2．
16．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（x+1）2＝（2x﹣1）2．
17．已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2．
18．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程．
（1）求m的值；
（2）解该一元二次方程．
19．已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：
（1）+的值；
（2）m2﹣mn+n2的值．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+4（m﹣2）＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
22．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
23．白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
参考答案
一．选择题
1．解：A．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B．方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．是分式方程，故该选项不符合题意；
D．该方程是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．解：∵x（x﹣5）＝3（x﹣5），
∴x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（x﹣3）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝5，x2＝3，
故选：D．
4．解：∵x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a﹣2b＝2（a﹣b）+2020＝2×1+2020＝2022．
故选：C．
5．解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
6．解：设正方形的边长为xcm，则盒子底的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800，
故选：D．
7．解：x2﹣8x+12＝0，
（x﹣6）（x﹣2）＝0，
x﹣6＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝6，x2＝2，
因为2+2＝4＜6，
所以等腰三角形的腰长为6，底边长为2，
所以这个等腰三角形的周长＝6+6+2＝14．
故选：C．
8．解：∵x＝是某个一元二次方程的根，
∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
9．解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，
∴+＝＝＝1，
解得：m＝3或m＝﹣1，
把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m＝﹣1代入方程得：x2+x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．
故选：D．
10．解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，
解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；
当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，
解得：x＝8（不合题意，舍去）；
∴x＝3．
故选：A．
二．填空题
11．解：由题意得，|m|＝2，m+2≠0，
解得m＝2．
故答案为：2．
12．解：﹣﹣x2+2x﹣4＝﹣（x2﹣2x）﹣4＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3＝﹣3﹣（x﹣1）2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣3﹣（x﹣1）2≤﹣3，
∴x＝1时，代数式有最大值﹣3．
故答案为：﹣3．
13．解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，
整理，得
（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
则a2+b2＝4．
故答案是：4．
14．解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0，
∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，
∴α+β＝3，αβ＝1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2 β2＝47，
∴＝＝47，
故答案为：47．
三．解答题
15．解：（1）4x2+2x﹣1＝0，
这里：a＝4，b＝2，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2整理为y2﹣4y+2＝0，
这里：a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0，
∴y＝＝＝2±，
解得：y1＝2﹣，y2＝2+．
16．解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣；
（3）（x+1）2＝（2x﹣1）2，
（x+1）2﹣（2x﹣1）2＝0，
＝0，
3x（2﹣x）＝0，
∴3x＝0或2﹣x＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
17．解：依题意得：x1+x2＝3，
即1+x2＝3，
解得：x2＝2．
∴方程的另一个根x2＝2．
18．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣1；
（2）方程为﹣2x2+2x﹣3＝0，
即2x2﹣2x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×3＝4﹣24＝﹣20＜0，
故原方程无解．
19．解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴+＝＝＝﹣；
（2）m2﹣mn+n2
＝（m+n）2﹣3mn
＝（）2﹣3×（﹣）
＝+
＝10．
20．解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
21．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣16（m﹣2）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣6）2＝0，
解得m＝6，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，
∴（x﹣4）2＝0，
∴x1＝x2＝4．
22．解：（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，
依题意，得（42﹣3x）x＝144．
解得x1＝6，x2＝8．
由于x2＝8＞7，所以不合题意，舍去．
所以x＝6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米；
（2）依题意，得（42﹣3x）x＝150．
整理，得x2﹣14x+50＝0．
因为Δ＝（﹣14）2﹣4×1×50＝﹣4＜0．
所以该方程无解．
所以生态园的面积不能达到150平方米．
23．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）（600﹣×5）＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．