2021-2022学年浙教版八年级数学下册2.4一元二次方程根与系数的关系+同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《2-4一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤
D．若方程有实数根，则k≤
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
4．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤1 B．m≥ C．＜m≤1 D．≤m≤1
5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个．
①方程x2+5x+6＝0是倍根方程；
②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；
③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2021x2，S2＝x12+2021x22，…，Sn＝x1n+2021x2n，则aS2022+bS2021+cS2020的值为（　　）
A．0 B．2020 C．2021 D．2022
二．填空题
7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的两个实数根，则代数式（x1+1）（x2+1）的值等于 　 　．
8．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
9．将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝　 　，ax1+x1x2+ax2的最大值是 　 　．
三．解答题
10．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝18+4x1x2，求实数m的值．
11．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2017的值．
12．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．
（1）若x12+x22＝2，求m的值；
（2）令T＝+，求T的取值范围．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
14．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根．
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
16．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；
（3）若k＝﹣2，λ＝，试求λ的值．
17．阅读材料：已知方程a2﹣2a﹣1＝0，1﹣2b﹣b2＝0且ab≠1，求的值．
解：由a2﹣2a﹣1＝0及1﹣2b﹣b2＝0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1，∴．
1﹣2b﹣b2＝0可变形为
（）2﹣2（）﹣1＝0，
根据a2﹣2a﹣1＝0和（）2﹣2（）﹣1＝0的特征．
∴a、是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则a＝2，即＝2．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0且mn≠1，求的值．
18．若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2＝，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值．
（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
19．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x﹣＝0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．
20．对于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
例：若x1、x2是方程x2+2x﹣2027＝0的两个根，不解方程，求x12+x22的值．
解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2027
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2027）＝4+4054＝4058．
根据上面材料，解答下列问题：
（1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，则x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　．
（2）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，求下列各式的值：
①x12x2+x1x22
②x1﹣x2
（3）关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求k的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，
∴αβ＝1，α2+2022α+1＝0，β2+2022β+1＝0，
∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）
＝a 4β
＝4αβ
＝4×1
＝4．
故选：A．
2．解：若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
3．解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得a＜3，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得a2﹣5a﹣6＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝6，
而a＜3，
∴a的值为﹣1．
故选：B．
4．解：方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的有三根，
∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；
当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．
即：4﹣4m＜1．解得，m＞．
∴＜m≤1．故选：C．
5．解：①解方程x2+5x+6＝0得：x1＝﹣2，x2＝﹣3，
∴方程x2+5x+6＝0不是倍根方程，故①错误；
②∵pq＝2，
解方程px2+4x+q＝0得：x1＝，x2＝，
∴x1≠2x2，故②错误；
③∵（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝3，x2＝﹣，
∴＝﹣，或＝﹣6，
∴3m+2n＝0，6m+n＝0，
∴18m2+15mn+2n2＝（3m+2n）（6m+n）＝0，故③正确；
④∵方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，
∴设x1＝2x2，
∴x1+x2＝3，
∴x2+2x2＝3，
∴x2＝1，故④正确．
故选：B．
6．解：∵x1，x2是二次方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴有：ax12+bx1+c＝0
ax22+bx2+c＝0
∴aS2022+bS2021+cS2020
＝a（x12022+2021x22022）+b（x12021+2021x22021）+c（x12020+2021x22020）
＝x12020（ax12+bx1+c）+2021x22020（ax22+bx2+c）
＝0．
故选：A．
二．填空题
7．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2020，x1x2＝1，
∴（x1+1）（x2+1）
＝x1x2+x1+x2+1
＝1+2020+1
＝2022．
故答案为：2022．
8．解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，
∴k＝3，
代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
9．解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可变形为a（x+1）2﹣2＝0，
∴a（x+1）2﹣2＝ax2+bx+c，
∴ax2+2ax+a﹣2＝ax2+bx+c，
∴b＝2a，c＝a﹣2，
∴b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，
∵x1+x2＝﹣2，x1x2＝
∴ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a+＝﹣2（a+）+1，
∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a（a﹣2）＝8a≥0，且a≠0，
∴a＞0，
设a+＝t（t＞0），得a2﹣t a+1＝0，
∵方程a2﹣t a+1＝0有正数解，
∴Δ＝t2﹣4≥0，解得t≥2，即a+≥2，
∴ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a+）+1≤﹣3，
∴ax1+x1x2+ax2的最大值是﹣3．
故答案为：4，﹣3．
三．解答题
10．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≤，
∴实数m的取值范围为m≤．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1 x2＝m2．
∵（x1+x2）2＝18+4x1x2，
∴[﹣2（m﹣1）]2＝18+4m2，
∴4m2﹣8m+4＝18+4m2，
∴﹣8m＝14，
解得：m＝﹣，
∴实数m的值为﹣．
11．解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴α2＝α+1，β2＝β+1，
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
∴α3+β2+β+2017
＝2α+1+β+1+β+2017
＝2（α+β）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
12．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，
解得m≤1，
∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m≤1，
∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1 x2＝m2﹣3m+3．
（1）∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2，
整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），
∴m的值为1；
（2）T＝+
＝
＝
＝
＝
＝2﹣2m．
∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3．
此时T没有意义．
当m≠0时，﹣1≤m≤1，
所以0≤2﹣2m≤4．
即0≤T≤4且T≠2．
13．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．
14．解：（1）Δ＝（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，
∴原方程化为：x2﹣7x+12＝0，
解得：x＝3或x＝4，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当BC是等腰三角形的腰时，
∴x＝5是方程的x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0解，
∴25﹣5（2k+3）+k2+3k+2＝0，
解得：k2﹣7k+12＝0，
∴k＝3或k＝4，
若k＝3时，
则方程为：x2﹣9x+20＝0，
∴x＝4或x＝5，满足三角形三边关系，
此时周长为14；
若k＝4时，
则方程：x2﹣11x+30＝0，
∴x＝5或x＝6，满足三角形三边关系，
此时周长为16；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述，△ABC的周长为14或16；
15．解：（1）Δ＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．
16．解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22＝2（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×12﹣9×＝2﹣，
若2﹣＝﹣成立，
解上述方程得，k＝，
经检验，k＝是分式方程的解，
∵Δ＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k＞0，
∴k＜0，∵k＝，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值；
（2）原式＝﹣2＝＝＝﹣4＝﹣，
∴k+1＝1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4
解得k＝0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．
∵k＜0．
∴k＝﹣2，﹣3或﹣5；
（3）∵k＝﹣2，λ＝，x1+x2＝1，
∴λx2+x2＝1，x2＝，x1＝，
∵x1x2＝＝，
∴＝，
∴λ＝3±2．
17．解：由3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0且mn≠1，可知m≠0，m≠0，
又∵mn≠1，
∴m≠．
2n2+7n﹣3＝0可变形为
3（）2﹣7（）﹣2＝0，
根据3m2﹣7m﹣2＝0和3（）2﹣7（）﹣2＝0的特征．
∴m、是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得m+＝，＝﹣，
∴＝．
∴＝，
∴＝．
18．解：（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，解得：m＝﹣4或m＝6，
当m＝﹣4时原方程无解，
∴m＝6；
（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，
将x＝7代入原方程得：49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
解得：m＝10或m＝4，
当m＝10时，方程为x2﹣22x+105＝0，解得：x＝7或x＝15，
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m＝4时，方程为x2﹣10x+21＝0，解得：x＝3或x＝7；
此时三角形的周长为：7+7+3＝17．
19．解：（1）不是，
解方程x2+x﹣12＝0得，x1＝3，x2＝﹣4．
|x1|+|x2|＝3+4＝7＝2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x2+x﹣12＝0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2﹣6x﹣27＝0和x2+6x﹣27＝0是偶系二次方程，
∴假设c＝mb2+n，
当b＝﹣6，c＝﹣27时，
﹣27＝36m+n．
∵x2＝0是偶系二次方程，
∴n＝0时，m＝﹣，
∴c＝﹣b2．
∵是偶系二次方程，
当b＝3时，c＝﹣×32．
∴可设c＝﹣b2．
对于任意一个整数b，c＝﹣b2时，
Δ＝b2﹣4ac，
＝4b2．
x＝，
∴x1＝﹣b，x2＝b．
∴|x1|+|x2|＝2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c＝﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”．
20．解：（1）x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，
则x1+x2＝，x1 x2＝2，
故答案为：；2；
（2）x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，
则x1+x2＝3，x1 x2＝，
①x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝；
②x1﹣x2＝±＝±＝±；
（3）∵方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0的两实数根x1，x2，
∴x1+x2＝k+1，x1 x2＝k2+1，
Δ＝（k+1）2﹣4×（k2+1）＝2k﹣3，
2k﹣3≥0，
解得，k≥，
当x1＞0时，x1＝x2，即（k+1）2﹣4×（k2+1）＝0，
解得，k＝；
当x1＜0时，x1+x2＝0，即k+1＝0，
解得，k＝﹣1，
∵﹣1＜，
∴方程无实根
∴k的值为．