4.2　第3课时　平行四边形的对角线的性质 同步练习（含解析）

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第3课时　平行四边形的对角线的性质
知识点1　平行四边形的对角线互相平分
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是 (　　)
A.相等 B.互相垂直 C.互相平分 D.互相垂直且相等
2.(教材课内练习T1变式)如图4-2-28所示,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,BD=8,AB=4,则△AOB的周长为 (　　)
图4-2-28
A.18 B.9 C.11 D.无法确定
3.如图4-2-29,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.如果BD=12,AC=10,BC=m,那么m的取值范围是(　　)
图4-2-29
A.104.如图4-2-30,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=8,BC=12,则△OBC的周长比△OAB大　　　　.
图4-2-30
5.(教材作业题T3变式)如图4-2-31, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OA,OC的中点.求证:BE=DF.
图4-2-31
6.(2020宁波鄞州区期末)如图4-2-32,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,若AD⊥BD,AB=10,BC=6,求对角线AC的长.
图4-2-32
知识点2　与平行四边形的对角线相关的面积
问题
7.在 ABCD中,AC,BD交于点O,若△AOB的面积为3,则 ABCD的面积为　　　　.
8.如图4-2-33, ABCD的面积为24,EF,GH,IJ过AC,BD的交点O,则图中阴影部分的面积为　　　　.
图4-2-33
9.能够平分平行四边形面积的直线有　　条,它们的共同特点是　.
10.若平行四边形的一边长是10 cm,则它的两条对角线的长可能是 (　　)
A.8 cm和12 cm B.8 cm和14 cm
C.6 cm和10 cm D.6 cm和28 cm
11.(2020绍兴越城区期末)如图4-2-34, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么 ABCD的周长是　　　　.
图4-2-34
12.(2020杭州江干区期末)如图4-2-35, ABCD的面积为32,E,F分别为AB,AD的中点,则△CEF的面积为　　　　.
图4-2-35
13.如图4-2-36①,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB上,且四边形AEBF是平行四边形,请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线,小明的作法如图②,判断小明的作法是否正确,并说明理由.
图4-2-36
14.如图4-2-37所示,在 ABCD中,过BD的中点O任意作一条直线l,分别交AD,BC于点E,F.
(1)OE与OF相等吗 试说明理由;
(2)若直线l分别交BA和DC的延长线于点M,N,则OM与ON相等吗 试说明理由;
(3)由(1)(2)你发现了什么 用语言表述出来.
图4-2-37
15.在一次数学探究活动中,小王用两条直线把 ABCD分割成四个部分,使含有一对对顶角的两个图形全等.
(1)根据小王的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有
　　　　组;
(2)请你在图4-2-38的平行四边形中画出三组满足小王分割方法的直线;
(3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律
图4-2-38
详解详析
1.C　2.C
3.C　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=AC=5,OB=BD=6.
在△OBC中,6-5∴14.4　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵△OAB的周长=AB+OA+OB,
△OBC的周长=BC+OC+OB,
∴△OBC的周长-△OAB的周长=BC+OC+OB-(AB+OA+OB)=BC-AB.
∵AB=8,BC=12,∴BC-AB=4.
故答案为4.
5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别为OA,OC的中点,∴OE=OF.
又∵∠EOB=∠FOD,∴△EOB≌△FOD,
∴BE=DF.
6.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6.
∵AD⊥BD,AB=10,
∴BD===8.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=BD=4,OA=AC,
∴OA===2,
∴AC=2OA=4.
7.12　8.12
9.无数　过平行四边形对角线的交点
10.B　[解析] 如图,设BC=10 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=BD,OC=AC.
A项,若AC=8 cm,BD=12 cm,则OB=6 cm,OC=4 cm.∵6+4=10,∴不能组成三角形,故本选项错误;
B项,若AC=8 cm,BD=14 cm,则OB=7 cm,OC=4 cm.7,4,10能组成三角形,故本选项正确;
C项,若AC=6 cm,BD=10 cm,则OC=3 cm,OB=5 cm.∵3+5<10,∴不能组成三角形,故本选项错误;
D项,若AC=6 cm,BD=28 cm,则OB=14 cm,OC=3 cm.∵3+10<14,∴不能组成三角形,故本选项错误.故选B.
11.16　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,OA=OC.
又∵OM⊥AC,
∴AM=CM,
∴△CDM的周长=CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8,
∴ ABCD的周长是2×8=16.
故答案为16.
12.12　[解析] 连结AC,DE,BD,如图.
∵E为AB的中点,
∴S△BCE=S△ABC=S ABCD=8,
同理可得:S△CDF=8.
∵F为AD的中点,
∴S△AEF=S△AED=S△ABD=S ABCD=4,
∴S△CEF=S ABCD-S△CDF-S△BCE-S△AEF=32-8-8-4=12.
故答案为12.
13.解:小明的作法正确.
理由:如图,设AB,EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形,
∴CA=CB.
在△AOC和△BOC中,
∵
∴△AOC≌△BOC,∴∠AOC=∠BOC,
即OC是∠AOB的平分线.
14.解:(1)OE=OF.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,
∴OB=OD,AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF.
在△ODE和△OBF中,∵
∴△ODE≌△OBF(ASA),
∴OE=OF.
(2)OM=ON.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠OBM=∠ODN.
在△OBM和△ODN中,
∵
∴△OBM≌△ODN(ASA),
∴OM=ON.
(3)过平行四边形对角线中点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边(或其延长线)相交,所得每组对边的交点到对角线中点的距离相等.
15.解:(1)无数
(2)答案不唯一,如图.
(3)这两条直线都经过平行四边形的对角线的交点.
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