4.4.2 利用对角线判定平行四边形 同步练习（含答案）

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4.4　第2课时　利用对角线判定平行四边形
知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四
边形
1.若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,且OB=OD,AC=14 cm,则当OA=　　　cm时,四边形ABCD是平行四边形.
2.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
3.如图4-4-10,将△ABC绕AC边的中点O旋转180°后与原三角形拼成的四边形一定是
　　　　　　形.
图4-4-10
4.(教材作业题T4变式)在平面直角坐标系中,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(-4,0),B(0,3),C(4,0),D(0,-3),四边形ABCD是平行四边形吗 请说明理由.
5.(2020杭州江干区期末)如图4-4-11,E,F是 ABCD对角线AC上的两点,AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.
图4-4-11
知识点2　平行四边形判定的综合应用
6.(2020衡阳)如图4-4-12,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　)
图4-4-12
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.OA=OC,OB=OD
7.在 ABCD中,E,F是对角线BD上的两点(不与点B,D重合).下列条件中,无法判定四边形AECF一定为平行四边形的是 (　　)
A.AE∥CF B.AE=CF
C.BE=DF D.∠BAE=∠DCF
8.如图4-4-13,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
图4-4-13
9.(教材作业题T1变式)画一个 ABCD,使得边BC=5 cm,对角线AC=6 cm,BD=8 cm.
10.(2021宁波鄞州区期中)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AD∥BC,AB=DC
C.AB∥DC,∠DAB=∠DCB
D.AO=CO,BO=DO
11.两块含30°角的全等的三角尺能拼出的平行四边形的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.无数
12.某人设计装饰地面的图案,拟以长分别为22 cm,16 cm,18 cm的三条线段中的两条为对角线,另一条为边,画出不同形状的平行四边形.他可以画出形状不同的平行四边形的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2020杭州西湖区期末)如图4-4-14,在 ABCD中,AC⊥AB,AC与BD相交于点O.在同一平面内将△ABC沿AC翻折,得到△AB'C.若四边形ABCD的面积为24 cm2,则翻折后重叠部分(即S△ACE)的面积为　　　　cm2.
图4-4-14
14.如图4-4-15,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=3,BC=5,E是边CD的中点,连结BE并延长与AD的延长线相交于点F,连结BD,CF.
(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;
(2)若BD=BC,求四边形BDFC的面积.
图4-4-15
15.如图4-4-16,已知 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,两动点E,F分别从点A,C同时出发,以相同的速度在线段AC上相对运动.
求证:当点E,F在运动过程中不与点O重合时,以点B,E,D,F为顶点的四边形一定为平行四边形.
图4-4-16
详解详析
1.7　[解析] 当OA=7 cm时,OC=14-7=7(cm)=OA.
又∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.平行四边
4.解:四边形ABCD是平行四边形.理由如下:
设O为坐标原点.
由题意,得AC,BD相交于点O,且OA=OC=4,OB=OD=3,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.证明:连结BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
又∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
6.C　7.B
8.解:四边形ABFC是平行四边形.
证明:∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
∵
∴△ABE≌△FCE,
∴AE=FE.
又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形.
9.解:图略,作法:①画线段BC=5 cm;②以点B为圆心,4 cm为半径画弧,以点C为圆心,3 cm为半径画弧,两弧交于点O;③延长BO至点D,使得OD=OB,延长CO至点A,使得OA=OC;④连结AB,CD,DA,四边形ABCD即为所求平行四边形.
10.B　[解析] ∵AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A不符合题意;
由AD∥BC,AB=DC,无法判定四边形ABCD是平行四边形,故选项B符合题意;
∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵∠DAB=∠DCB,
∴∠ABC+∠DAB=180°,
∴AD∥BC.
又∵AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项C不符合题意;
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D不符合题意.故选B.
11.C　[解析] 如图所示,可得到三个不同的平行四边形.
故选C.
12.B　[解析] 根据平行四边形的对角线互相平分及三角形三边之间的关系,可知分三种情况讨论:
(1)用22 cm,16 cm长的两条线段为对角线,18 cm长的线段为边作一个平行四边形,两对角线长的一半分别是11 cm和8 cm,11-8<18<11+8,因而能构成平行四边形;
(2)用22 cm,18 cm长的两条线段为对角线,16 cm长的线段为边作一个平行四边形,两对角线长的一半分别是11 cm和9 cm,11-9<16<11+9,因而能构成平行四边形;
(3)用16 cm,18 cm长的两条线段为对角线,22 cm长的线段为边作一个平行四边形,两对角线长的一半分别是8 cm和9 cm,根据8+9<22,可知不能构成平行四边形.
故可以画出形状不同的平行四边形的个数为2.
13.6　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,S△ABC=S ABCD=12 cm2.
∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折,得到△AB'C,
∴∠B'AC=∠BAC=90°,AB'=AB,S△AB'C=S△ABC=12 cm2,
∴∠BAB'=180°,∴点B,A,B'共线.
连结B'D,
∵AB'∥CD,AB'=AB=CD,
∴四边形ACDB'是平行四边形,
∴B'E=CE,
∴S△ACE=S△AB'C=6 cm2.
故答案为6.
14.解:(1)证明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴AF∥BC,∴∠CBE=∠DFE.
∵E是CD的中点,
∴CE=DE.
在△BEC与△FED中,
∵
∴△BEC≌△FED,
∴BE=FE.
又CE=DE,∴四边形BDFC是平行四边形.
(2)∵BD=BC=5,AD=3,∠A=90°,
∴AB===4,
∴S四边形BDFC=BC·AB=5×4=20.
15.证明:连结DE,EB,BF,FD.
∵两动点E,F分别从点A,C同时出发,以相同的速度在线段AC上相对运动,
∴AE=CF.
∵ ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OD=OB,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴|OA-AE|=|OC-CF|,即OE=OF,
∴当点E,F在运动过程中不与点O重合时,以点B,E,D,F为顶点的四边形一定为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
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