2021-2022学年浙教版数学八下4.2 平行四边形同步练习
一、单选题
1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对边相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AB、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故A错，符合题意，B正确，不符合题意；
CD、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，即对边平行且相等，对角线互相平分，分别判断，即可作答.
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，延长边CD到点E，使CE-AD，连结BE交AD于点F，图中等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
又CE=AD，
∴CE=BC，
∴△BCE是等腰三角形；
∵FD∥BC，
∴∠EFD=∠CBE，
又∠CBE=∠E，
∴∠EFD=∠E，
∴△EDF是等腰三角形；
∵AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵∠AFD=∠EFD，
∴∠ABE=∠AFB，
∴△BAF是等腰三角形；
综上，等腰三角形有3个.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC，结合CE=AD，得出△BCE为等腰三角形；根据平行线的性质得出∠EFD=∠CBE，结合∠CBE=∠E，推出△EDF是等腰三角形；根据平行线的性质得出∠ABF=∠E，根据对顶角的性质得出∠AFD=∠EFD，推出△BAF是等腰三角形.
3．已知 ABCD的周长为36，且AB：AD=1：2，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB=CD，AD=BC
∴2（AB+AD）=36，
∴AB+AD=18；
∵AB：AD=1：2，
∴AD=2AB，
∴3AB=18，
解之：AB=6.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，结合已知可求出AB+AD的长；再根据题意可得到AD=2AB，然后解方程组求出AB的长.
4．如图所示，□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=DC，
在△ADC和△CBA中
∴△ADC≌△CBA（SSS）
∴S△ADC=S△CBA=S平行四边形ABCD=12×=6；
∵AE=EF=FC
∴S△BEF=S△CBA=×6=2.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的对边相等，可证得AD=BC，AB=DC；利用SSS证明△ADC≌△CBA，利用全等三角形的面积相等可求出△ABC的面积；再根据AE=EF=FC，可证得S△BEF=S△CBA，代入计算可求解.
5．如图，O为 ABCD的两条对角线的交点，图中全等的三角形有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），同理△ABD≌△CBD，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），同理△AOB≌△COD，
综上，共有4对全等三角形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，然后利用SSS证明△ADC≌△ABC，同理得出△ABD≌△CBD，再利用SAS证明△AOD≌△BOC，同理△AOB≌△COD，即可作答.
6．如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若BC=5cm，AC=8cm，BD=4cm，则△AOD的周长是（ ）
A．17cm B．13cm C．11cm D．9cm
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=5cm，
∴OA+OD=（AC+BD）=6，
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=6+5=11cm.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，AD=BC，则可求出OA和OD的长度之和，最后求△AOD的周长即可.
7．有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线。下列取法中，能搭成一个平行四边形的是（ ）
A．取10cm长的铁丝为边 B．取8cm长的铁丝为边
C．取6cm长的铁丝为边 D．任意取一根铁丝为边均可
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、取10cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 8=4， 3+4<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
B、 取8cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 10=5， 3+5<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
C、 取6cm长的铁丝为边 ， ∵×8=4，× 10=5， 4+5>6，能构成三角形，则能构成平行四边形，正确；
D、 任意取一根铁丝为边，不一定能构成三角形，则不一定能构成平行四边形，错误；
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质求出两个对角线长的一半，再根据三角形三边之间的关系判断两条对角线长的一半和一边能否组成三角形，从而判断能否构成平行四边形.
8．如图所示，平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是（ ）
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长=28cm，
∴AB+BC=14cm，
∴AC=22-14=8cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形ABCD的周长求出AB和BC的长度之和，再结合△ABC的周长，即可求出AC的长.
9．在 □ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．2：1：1：2 B．1：2：2：1 C．2：1：2：1 D．1：1：2：2
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D=180°，
ABD、∠A≠∠C，∠B≠∠D，错误；
C、∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，正确；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D=180°，结合每项的条件分别判断，即可解答.
10．已知 ABCD的周长为34cm，两邻边之差3cm，则两邻边长分别为 （ ）
A．10cm，7cm B．11cm，6cm
C．12cm，5cm D．18.5cm，15.5cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设平行四边形的两个邻边长为xcm和ycm，
∴2（x+y）=34，即x+y=17，
又x-y=3，
解得x=10，y=7.
故答案为：A.
【分析】设平行四边形的两个邻边长为xcm和ycm，根据平行四边形的性质得出x+y=17，结合x-y=3，即可解答.
二、填空题
11．（2022八下·宁波开学考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小 ．
【答案】120°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=180°-∠BED=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=180°-∠ABC=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，则由平行线的性质求出∠EBC，然后根据角平分线定义得出∠ABC的度数，最后根据平行线的性质求∠A大小即可。
12．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若 □ ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 .
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
又OE⊥BD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴BE+AE=ED+AE=AD，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故答案为：14.
【分析】根据平行四边形的性质得出OB=OD，结合OE⊥BD，得出OE是BD的垂直平分线，则可得到BE=ED，从而把△ABE的周长转化为AB+AD，结合平行四边形的周长，即可解答.
13．如图所示， ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为 。
【答案】4 cm
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为13cm，
∴2（AB+BC）=26，AD=BC，OB=OD
∴AB+BC=13①；
∵平行四边形ABCD的周长为13cm，
∴2（AB+BC）=26，AD=BC，OB=OD
∴AB+BC=13①；
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴AD+OA+OD=AB+BO+AO=3，
∴AD+OA+OD=AB+BO+AO=3，
∴AD-AB=3即BC-AB=3②
由①②得
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，点E是BC的中点，
∴.
故答案为：4cm.
【分析】 利用平行四边形的性质和结合已知条件，可证得AD=BC，OB=OD，同时可求出AB+CB的长；再利用△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可求出BC-AB的长，由此可求出BC的长；然后利用三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AE的长.
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 。
【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
15．在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为 。
【答案】59°或31°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠EBD=90°-28°=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=（180°-62°）=59°；
如图2，
同理可得∠BDE=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=×62°=31°；
∴∠A的度数为59°或31°.
故答案为：59°或31°.
【分析】分情况讨论：分别画出图形，利用高的定义可证得∠BED=90°，利用三角形的内角和定理可求出∠BDE的度数；利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠A的度数；同理可证得∠BDE=62°，利用三角形的外角的性质可求出∠A的度数.
16．已知平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= 。
【答案】4或-2
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴C（4，1）或（-2，1），
∴x=4或-2.
故答案为：4或-2.
【分析】根据题意画出平行四边形ABCD，在坐标系中读出C点坐标，即可作答.
三、解答题
17．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
18．如图所示，a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF，△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
【答案】解：△ABC和△DEF的面积相等。理由如下：
如图，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，
则S1=BCAH1，S2=EF·DH2
∵a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，
AHI=DH2
又∵BC=EF，
S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】 过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2， 根据平行线间的距离相等得出AHI=DH2，然后根据两个三角形等底等高，即可得出其面积相等.
19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：AE=CF。
【答案】证明：∵AE∥CF，
∠AEF=∠CFE，
180°-∠AEF=180°-∠CFE，
即∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，DC=AB，
CDF=∠ABE，
在△CDF和△ABE中，
△CDF≌△ABE（AAS），AE=CF
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ∠AEF=∠CFE， 则由邻补角的性质得出 ∠AEB=∠DFC ，然后根据平行四边形的性质求出DC=AB，∠CDF=∠ABE，再利用AAS证明 △CDF≌△ABE ，则可证出AE=CF.
20． 如图，点E是 □ ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若AD的长为2，求CF的长。
【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠D=∠ECF，
又∠AED=∠CEF，
∵E为CD的中点，即CE=DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴CF=AD=2.
故答案为：2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出∠D=∠ECF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，则可得出CF=AD，即可解答.
21．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F。
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠1=70°，求∠B的大小。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∠1=∠BCE.
AF∥CE
∠AFB=∠BCE
∠AFB=∠1
在△ABE和△CDE中，，
△ABE≌△CDE（AAS）.
（2）解：由（1）得∠1=∠BCE.
CE平分∠BCD，
∠DCE=∠BCE
∠1=∠DCE=70°，
∠B=∠D=180°-2×70°=40°.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∠1=∠BCE，∠AFB=∠BCE，由此可推出∠AFB=∠1；再利用AAS可证得结论.
（2）利用角平分线的性质可证得∠DCE=∠BCE，由此可求出∠DCE的度数；再利用三角形的内角和为180°，可求出∠B的度数.
22．如图所示，在 □ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若四边形BCFE的周长为15，AB=6，BC=5，求OE的长.
【答案】（1）证明：在 □ ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，AB∥CD.
∠OAE=∠OCF
在△OAE和△OCF中，
∵
∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
CF=AE，∴BE+CF=AB=6
又∵四边形BCFE的周长=BE+CF+EF+BC=15，
EF=2OE=4，
∴OE=2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出OA=OC，∠OAE=∠OCF，然后利用ASA证明△OAE≌△OCF，即可得出OE=OF；
(2)先根据全等三角形的性质求出CF=AE， 然后根据线段的和差关系求出BE+CF的长，结合四边形BCFE的周长求出EF长，即可求出OE长.
23．如图
如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。
（1）写出图1中面积相等的各对三角形： 。
（2）如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
（3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？
【答案】（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO
（2）△PAB
（3）解：能。连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）∵m∥n，
∴点C，P到直线n的距离与点A，B到直线m的距离相等.
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图1中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB，△BCP与
△APC，△ACO与△BPO.
故答案为△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO.
（2）∵m∥n，点C，P到直线n的距离是相等的，
∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，
∴总有△PAB与△ABC的面积相等。
故答案为△PAB。
【分析】(1) 根据直线m∥n， 利用同底等高的三角形的面积相等和面积的和差关系分别找出面积相等的三角形即可；
(2)根据平行线间的距离相等，利用同底等高的三角形的面积相等即可作答；
(3) 连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，利用(1)的△ACO与△BPO 面积相等的原理，即可说明.
24．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下4.2 平行四边形同步练习
一、单选题
1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对边相等
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，延长边CD到点E，使CE-AD，连结BE交AD于点F，图中等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知 ABCD的周长为36，且AB：AD=1：2，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
4．如图所示，□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，O为 ABCD的两条对角线的交点，图中全等的三角形有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若BC=5cm，AC=8cm，BD=4cm，则△AOD的周长是（ ）
A．17cm B．13cm C．11cm D．9cm
7．有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线。下列取法中，能搭成一个平行四边形的是（ ）
A．取10cm长的铁丝为边 B．取8cm长的铁丝为边
C．取6cm长的铁丝为边 D．任意取一根铁丝为边均可
8．如图所示，平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是（ ）
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
9．在 □ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．2：1：1：2 B．1：2：2：1 C．2：1：2：1 D．1：1：2：2
10．已知 ABCD的周长为34cm，两邻边之差3cm，则两邻边长分别为 （ ）
A．10cm，7cm B．11cm，6cm
C．12cm，5cm D．18.5cm，15.5cm
二、填空题
11．（2022八下·宁波开学考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小 ．
12．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若 □ ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 .
13．如图所示， ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为 。
14．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 。
15．在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=28°，则∠A的度数为 。
16．已知平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= 。
三、解答题
17．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
18．如图所示，a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC=EF，△ABC与△DEF的面积相等吗？为什么？
19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：AE=CF。
20． 如图，点E是 □ ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若AD的长为2，求CF的长。
21．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F。
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠1=70°，求∠B的大小。
22．如图所示，在 □ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若四边形BCFE的周长为15，AB=6，BC=5，求OE的长.
23．如图
如图1，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上。
（1）写出图1中面积相等的各对三角形： 。
（2）如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
（3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或BC的延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？
24．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AB、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故A错，符合题意，B正确，不符合题意；
CD、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，即对边平行且相等，对角线互相平分，分别判断，即可作答.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
又CE=AD，
∴CE=BC，
∴△BCE是等腰三角形；
∵FD∥BC，
∴∠EFD=∠CBE，
又∠CBE=∠E，
∴∠EFD=∠E，
∴△EDF是等腰三角形；
∵AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵∠AFD=∠EFD，
∴∠ABE=∠AFB，
∴△BAF是等腰三角形；
综上，等腰三角形有3个.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC，结合CE=AD，得出△BCE为等腰三角形；根据平行线的性质得出∠EFD=∠CBE，结合∠CBE=∠E，推出△EDF是等腰三角形；根据平行线的性质得出∠ABF=∠E，根据对顶角的性质得出∠AFD=∠EFD，推出△BAF是等腰三角形.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB=CD，AD=BC
∴2（AB+AD）=36，
∴AB+AD=18；
∵AB：AD=1：2，
∴AD=2AB，
∴3AB=18，
解之：AB=6.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，结合已知可求出AB+AD的长；再根据题意可得到AD=2AB，然后解方程组求出AB的长.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=DC，
在△ADC和△CBA中
∴△ADC≌△CBA（SSS）
∴S△ADC=S△CBA=S平行四边形ABCD=12×=6；
∵AE=EF=FC
∴S△BEF=S△CBA=×6=2.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的对边相等，可证得AD=BC，AB=DC；利用SSS证明△ADC≌△CBA，利用全等三角形的面积相等可求出△ABC的面积；再根据AE=EF=FC，可证得S△BEF=S△CBA，代入计算可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），同理△ABD≌△CBD，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），同理△AOB≌△COD，
综上，共有4对全等三角形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，然后利用SSS证明△ADC≌△ABC，同理得出△ABD≌△CBD，再利用SAS证明△AOD≌△BOC，同理△AOB≌△COD，即可作答.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=5cm，
∴OA+OD=（AC+BD）=6，
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=6+5=11cm.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，AD=BC，则可求出OA和OD的长度之和，最后求△AOD的周长即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、取10cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 8=4， 3+4<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
B、 取8cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 10=5， 3+5<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
C、 取6cm长的铁丝为边 ， ∵×8=4，× 10=5， 4+5>6，能构成三角形，则能构成平行四边形，正确；
D、 任意取一根铁丝为边，不一定能构成三角形，则不一定能构成平行四边形，错误；
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质求出两个对角线长的一半，再根据三角形三边之间的关系判断两条对角线长的一半和一边能否组成三角形，从而判断能否构成平行四边形.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长=28cm，
∴AB+BC=14cm，
∴AC=22-14=8cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形ABCD的周长求出AB和BC的长度之和，再结合△ABC的周长，即可求出AC的长.
9．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D=180°，
ABD、∠A≠∠C，∠B≠∠D，错误；
C、∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，正确；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D=180°，结合每项的条件分别判断，即可解答.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设平行四边形的两个邻边长为xcm和ycm，
∴2（x+y）=34，即x+y=17，
又x-y=3，
解得x=10，y=7.
故答案为：A.
【分析】设平行四边形的两个邻边长为xcm和ycm，根据平行四边形的性质得出x+y=17，结合x-y=3，即可解答.
11．【答案】120°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=180°-∠BED=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=180°-∠ABC=120°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，则由平行线的性质求出∠EBC，然后根据角平分线定义得出∠ABC的度数，最后根据平行线的性质求∠A大小即可。
12．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
又OE⊥BD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴BE+AE=ED+AE=AD，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故答案为：14.
【分析】根据平行四边形的性质得出OB=OD，结合OE⊥BD，得出OE是BD的垂直平分线，则可得到BE=ED，从而把△ABE的周长转化为AB+AD，结合平行四边形的周长，即可解答.
13．【答案】4 cm
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为13cm，
∴2（AB+BC）=26，AD=BC，OB=OD
∴AB+BC=13①；
∵平行四边形ABCD的周长为13cm，
∴2（AB+BC）=26，AD=BC，OB=OD
∴AB+BC=13①；
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴AD+OA+OD=AB+BO+AO=3，
∴AD+OA+OD=AB+BO+AO=3，
∴AD-AB=3即BC-AB=3②
由①②得
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，点E是BC的中点，
∴.
故答案为：4cm.
【分析】 利用平行四边形的性质和结合已知条件，可证得AD=BC，OB=OD，同时可求出AB+CB的长；再利用△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可求出BC-AB的长，由此可求出BC的长；然后利用三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AE的长.
14．【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
15．【答案】59°或31°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠EBD=90°-28°=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=（180°-62°）=59°；
如图2，
同理可得∠BDE=62°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=×62°=31°；
∴∠A的度数为59°或31°.
故答案为：59°或31°.
【分析】分情况讨论：分别画出图形，利用高的定义可证得∠BED=90°，利用三角形的内角和定理可求出∠BDE的度数；利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠A的度数；同理可证得∠BDE=62°，利用三角形的外角的性质可求出∠A的度数.
16．【答案】4或-2
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴C（4，1）或（-2，1），
∴x=4或-2.
故答案为：4或-2.
【分析】根据题意画出平行四边形ABCD，在坐标系中读出C点坐标，即可作答.
17．【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
18．【答案】解：△ABC和△DEF的面积相等。理由如下：
如图，过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2，
则S1=BCAH1，S2=EF·DH2
∵a∥b，AH1⊥直线b，DH2⊥直线a，
AHI=DH2
又∵BC=EF，
S1=S2，即△ABC与△DEF的面积相等。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】 过点A作AH1⊥直线b，垂足为点H1，过点D作DH2⊥直线a，垂足为点H2，设△ABC和△DEF的面积分别为S1和S2， 根据平行线间的距离相等得出AHI=DH2，然后根据两个三角形等底等高，即可得出其面积相等.
19．【答案】证明：∵AE∥CF，
∠AEF=∠CFE，
180°-∠AEF=180°-∠CFE，
即∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，DC=AB，
CDF=∠ABE，
在△CDF和△ABE中，
△CDF≌△ABE（AAS），AE=CF
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ∠AEF=∠CFE， 则由邻补角的性质得出 ∠AEB=∠DFC ，然后根据平行四边形的性质求出DC=AB，∠CDF=∠ABE，再利用AAS证明 △CDF≌△ABE ，则可证出AE=CF.
20．【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠D=∠ECF，
又∠AED=∠CEF，
∵E为CD的中点，即CE=DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴CF=AD=2.
故答案为：2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出∠D=∠ECF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，则可得出CF=AD，即可解答.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∠1=∠BCE.
AF∥CE
∠AFB=∠BCE
∠AFB=∠1
在△ABE和△CDE中，，
△ABE≌△CDE（AAS）.
（2）解：由（1）得∠1=∠BCE.
CE平分∠BCD，
∠DCE=∠BCE
∠1=∠DCE=70°，
∠B=∠D=180°-2×70°=40°.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∠1=∠BCE，∠AFB=∠BCE，由此可推出∠AFB=∠1；再利用AAS可证得结论.
（2）利用角平分线的性质可证得∠DCE=∠BCE，由此可求出∠DCE的度数；再利用三角形的内角和为180°，可求出∠B的度数.
22．【答案】（1）证明：在 □ ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，AB∥CD.
∠OAE=∠OCF
在△OAE和△OCF中，
∵
∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
CF=AE，∴BE+CF=AB=6
又∵四边形BCFE的周长=BE+CF+EF+BC=15，
EF=2OE=4，
∴OE=2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出OA=OC，∠OAE=∠OCF，然后利用ASA证明△OAE≌△OCF，即可得出OE=OF；
(2)先根据全等三角形的性质求出CF=AE， 然后根据线段的和差关系求出BE+CF的长，结合四边形BCFE的周长求出EF长，即可求出OE长.
23．【答案】（1）△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO
（2）△PAB
（3）解：能。连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线。
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）∵m∥n，
∴点C，P到直线n的距离与点A，B到直线m的距离相等.
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图1中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB，△BCP与
△APC，△ACO与△BPO.
故答案为△CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BPO.
（2）∵m∥n，点C，P到直线n的距离是相等的，
∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，
∴总有△PAB与△ABC的面积相等。
故答案为△PAB。
【分析】(1) 根据直线m∥n， 利用同底等高的三角形的面积相等和面积的和差关系分别找出面积相等的三角形即可；
(2)根据平行线间的距离相等，利用同底等高的三角形的面积相等即可作答；
(3) 连结EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，利用(1)的△ACO与△BPO 面积相等的原理，即可说明.
24．【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
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