2021-2022学年浙教版数学八下4.4 平行四边形的判定同步练习
一、单选题
1．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，AD=BC ，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），不符合题意；
C、 AB∥DC，AD=BC ，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
D、∵OA=OC，OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；依此分别判断即可.
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形， 错误，符合题意；
B、∵ AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
C、∵ AB∥CD， AD∥BC ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又 ∠A=∠C ，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合条件，分别判断，即可作答.
3．点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①AB∥DC；②AB=DC；③BC∥AD；④BC=AD。从四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 （ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：(1) ①AB∥DC，②AB=DC （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
(2) ①AB∥DC ， ③BC∥AD （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
(3) ②AB=DC ， ④BC=AD （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
(4) ③BC∥AD， ④BC=AD （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
综上，共4种.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；选择条件作答即可.
4．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．一组对边平行且相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行是平行四边形，正确，不符合题意；
B、两组对边分别相等是平行四边形，正确，不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等 ，不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
D、 一组对边平行且相等是平行四边形，正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断，即可作答.
5．平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，只要求出OE=OF，即可得出四边形AECF一定为平行四边形 。
A、OB= OD，又BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边，不符合题意；
B、AE = CF，无法判断四边形AECF为平行四边形，符合题意；
C、∵AE∥CF， 则∠CAE=∠OCF，又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△ AOE≌△COF(ASA)，∴OE= OF，∴四边形AECF为平行四边，四边形AECF为平行四边；
D、∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又 ∠BAE=∠DCF，∴∠EAC=∠ACF，∵OA= OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE= OF，∴四边形AECF为平行四边，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC，从而得到要使四边形AECF为平行四边形，只要求出OE=OF即可。然后根据各项条件通过线段的和差关系或证明三角形全等得出对应边相等，分别判断即可.
6．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB。
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC
∴∠DCE=∠BAE，
图甲：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，
∵DE∥BF
∴四边形BFDE是平行四边形；
图乙
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠CDE=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，∠DEC=∠AFB，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丙
∵ E是AB的中点，F是CD的中点
∴DF=DC，BE=BA，
∴DC=BE，DC∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丁
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=∠FEB=90°，不能证明△DFE≌△BEF，
∴不能证明DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形；
∴是平行四边形的有3个.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠DCE=∠BAE，利用图甲的条件，可证得DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°；再利用AAS证明△CDE≌△ABF，可推出DE=BF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BFDE是平行四边形；图乙：利用角平分线的定义去证明∠CDE=∠ABF，利用AAS证明△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可得到DE=BF，∠DEC=∠AFB，从而可证得DE∥BF，由此可推出四边形BFDE是平行四边形；图丁：利用垂直的定义可证得∠DFE=∠FEB，一边一角对应相等，不能证明△DFE≌△BEF，由此可知四边形BFDE不一定是平行四边形；即可得到答案.
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOB平移至△DPC的位置，连结OP，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵将△AOB平移至△DPC的位置，
∴OA∥PD，OA=PD，
∴OC∥PD，OC=PD，
∴四边形CODP和四边形AOPD是平行四边形；
∵四边形CODP是平行四边形；
∴OD=CP，OD∥CP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OB∥CP，OB=CP，
∴四边形OBCP是平行四边形；
综上，图中是平行四边形的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合平移的性质得出OA∥PD，OA=PD，根据平行四边形的判定定理分别分析，即可判断.
8．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意得：OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）.
故答案为： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合OA=OC，OB=OD，即可作答.
9．如图所示，直线a∥b，另有一条直线l与直线a，b分别交于点A，B，若将直线l作平移运动，则线段AB的长度（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大或变小要看直线l平移的方向
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，设平移后直线与a、b分别交于A'和B'，
∴AB∥A'B'，
又a∥b，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∴A'B'=AB，即线段AB的长度不变.
故答案为：C.
【分析】设平移后直线与a、b分别交于A'和B'，先证出四边形ABB'A'是平行四边形，得出A'B'=AB，即线段AB的长度不变.
10．（2021八上·龙凤期末）下列说法中，错误是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵一组对边且相等的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法判断即可。
二、填空题
11．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠ABC=70°，则∠BCD= 。
【答案】110°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，再利用平行线的性质，可求出∠BCD的度数.
12．如图，AD为△ABC的中线，AB=9，AC=12，延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，CE，则四边ABEC的周长是 。
【答案】42
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE=AD，BD=CD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴四边ABEC的周长=2（AC+AB）=42.
故答案为：42.
【分析】由对角线互相平分得出四边形ACEB是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求出其周长即可.
13．如图所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴OB=OD=8cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：8.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可解答.
14．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
15．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O已知OA=OC，添加①AB=DC，②AB∥DC③OB=OD中的一个不能判定这个四边形是平行四边形的是 。（填序号）
【答案】①
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
在四边形ABCD中，
①∵OA=OC，AB=CD， 不能判定这个四边形是平行四边形 ，①符合题意；
②∵OA=OC，AB∥DC，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠CDO，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD的平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），②不符合题意；
③∵OA=OC，OB=OD ，∴四边形ABCD的平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），③不符合题意；
综上，符合题意得是 ① .
故答案为：①.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合各项条件，分别解答判断，即可作答.
16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是： 。
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：解：根据作法可得：AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
故答案为： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
【分析】分别以点B，D为圆心，以AD， AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD， BC，得出AB=DC， AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判断四边形ABCD是平行四边形.
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB=∠CFD=90°。
求证：四边形AECF是平行四边形。
【答案】证明：∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∠ABE=∠CDF，
△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用内错角相等，两直线平行，可证得∠ABE=∠CDF；再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得AE=CF，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
18．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点。
求证：四边形AFBE是平行四边形。
【答案】证明：∵AC∥BD
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO
又∵OA=OB，
△AOC≌△BOD，
∴OC=OD.
又∵E，F分别是OC，OD的中点，
OE=OC，OF=OD，∴OE=OF.
又AO=BO，
∴四边形AFBE是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO ，结合OA=OB，利用AAS证明 △AOC≌△BOD， 得出OC=OD，结合中点的定义推出OE=OF，则可证明四边形AFBE是平行四边形.
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED。
求证：∠EAF=∠FCE.
【答案】证明；如图，连结AC，交BD干点O，
四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，即OB+OF=OD+OE，
OF=OE，
OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∠EAF=∠FCE。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结AC，交BD干点O， 根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再根据线段的和差关系求出OF=OE，则可证明四边形AECF是平行四边形，从而得出∠EAF=∠FCE.
20．如图所示，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM，BD互相平分并交于点O。
求证：四边形AMCD是平行四边形。
【答案】证明：连结DM，如图所示
AM，BD互相平分并交于点O.
即AO=MO，BO=DO，
四边形ABMD为平行四边形，
AD=BM，AD∥BM.
又∵M为BC的中点，
BM=CM.
AD=MC，AD∥MC，
四边形AMCD为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接DM，由AM，BD互相平分得出四边形ABMD为平行四边形，得出AD=BM，AD∥BM，结合M为BC的中点，得出AD和MC平行且相等，则可证得四边形AMCD为平行四边形.
21．（2022八下·宁波开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ 点E，F分别是边AD，BC的中点．
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=EC；
（2）解：∵平行四边形的周长为10，
∵AE=FC，AF=EC，
∴AE+AF=5，
∴AE=2，
∴AD=2AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(2+4)=12.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，结合中点的定义得出AE=FC，从而判定四边形AFCE是平行四边形，则可根据平行四边形的性质得出AF=EC；
(2)根据平行四边形的性质得出AE=FC，AF=EC，从而求出AE+AF=5，结合AF的长，则可求出AE的长，进而求出AD长，最后求平行四边形ABCD的周长即可。
22．已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE=CF，BG= DH。
（1）若AC=6，BD=8，试求AD的取值范围；
（2）若AC=AD，∠CAD=50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形。
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
OA=AC=3，OD=BD=4，
1＜AD＜7
（2）解：CA=AD， ∠CAD=50°，
∠ADC=∠ACD=（180°-50°）=65°，
四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC=∠ADC=65°.
（3）证明：四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD.
AE=CF，BG=DH，
OE=OF，OG=OH，
四边形EHFG是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，可求出OA，OD的长；再利用三角形的三边关系定理可得到AD的取值范围.
（2）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和为180°，可求出∠ADC的度数，利用平行四边形的对角相等，可求出∠ABC的度数.
（3）利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得OE=OF，OG=OH；再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
23．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F，连结CF。
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积。
【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，∠CBE=∠DFE
又∵E是边CD的中点，∴CE=DE
在△BEC与△FED中，
∴△BEC≌△FED（AAS），∴BE=FE，
四边形BDFC是平行四边形。
（2）解：∵BD=BC=5，
∴AB===4，
∴四边形BDFC的面积=BC·AB=5×4=20
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得BC∥AD，利用平行线的性质可证得∠CBE=∠DFE；再利用AAS证明△BEC≌△FED，由此可推出BE=EF；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后利用平行四边形的面积公式可求出四边形BDFC的面积.
24．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC。
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长。
【答案】（1）证明：∵BD垂直平分AC ，
AB=BC，AD= DC
∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∠BAD=∠BCD.
又∵∠BCD=∠ADF，
∠BAD=∠ADF，
∴AB∥DF.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
四边形ABDF是平行四边形。
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，AF=BD.
∵AF=DF=5，∴AB=BD=5
设BE=x，则DE=5-x，
而AB2-BE2=AE2=AD2-DE2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=
∴AE==，
∴AC=2AE=.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得AB=BC，AD=DC，利用等边对等角可推出∠BAD=∠BCD；再证明AF∥DF，AF∥BD，由此可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得AB=DF，AF=BD，设BE=x，可表示出DE的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求出AE的长，根据AC=2AE，代入计算求出AC的长.
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下4.4 平行四边形的判定同步练习
一、单选题
1．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC
C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
3．点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①AB∥DC；②AB=DC；③BC∥AD；④BC=AD。从四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 （ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
4．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．一组对边平行且相等
5．平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
6．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB。
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOB平移至△DPC的位置，连结OP，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
9．如图所示，直线a∥b，另有一条直线l与直线a，b分别交于点A，B，若将直线l作平移运动，则线段AB的长度（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大或变小要看直线l平移的方向
10．（2021八上·龙凤期末）下列说法中，错误是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
二、填空题
11．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠ABC=70°，则∠BCD= 。
12．如图，AD为△ABC的中线，AB=9，AC=12，延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，CE，则四边ABEC的周长是 。
13．如图所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
14．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
15．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O已知OA=OC，添加①AB=DC，②AB∥DC③OB=OD中的一个不能判定这个四边形是平行四边形的是 。（填序号）
16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是： 。
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB=∠CFD=90°。
求证：四边形AECF是平行四边形。
18．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点。
求证：四边形AFBE是平行四边形。
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED。
求证：∠EAF=∠FCE.
20．如图所示，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM，BD互相平分并交于点O。
求证：四边形AMCD是平行四边形。
21．（2022八下·宁波开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
22．已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE=CF，BG= DH。
（1）若AC=6，BD=8，试求AD的取值范围；
（2）若AC=AD，∠CAD=50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形。
23．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F，连结CF。
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积。
24．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC。
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，AD=BC ，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），不符合题意；
B、∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），不符合题意；
C、 AB∥DC，AD=BC ，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
D、∵OA=OC，OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；依此分别判断即可.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形， 错误，符合题意；
B、∵ AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
C、∵ AB∥CD， AD∥BC ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又 ∠A=∠C ，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合条件，分别判断，即可作答.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：(1) ①AB∥DC，②AB=DC （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
(2) ①AB∥DC ， ③BC∥AD （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
(3) ②AB=DC ， ④BC=AD （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
(4) ③BC∥AD， ④BC=AD （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
综上，共4种.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；选择条件作答即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行是平行四边形，正确，不符合题意；
B、两组对边分别相等是平行四边形，正确，不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等 ，不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
D、 一组对边平行且相等是平行四边形，正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断，即可作答.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，只要求出OE=OF，即可得出四边形AECF一定为平行四边形 。
A、OB= OD，又BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边，不符合题意；
B、AE = CF，无法判断四边形AECF为平行四边形，符合题意；
C、∵AE∥CF， 则∠CAE=∠OCF，又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△ AOE≌△COF(ASA)，∴OE= OF，∴四边形AECF为平行四边，四边形AECF为平行四边；
D、∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又 ∠BAE=∠DCF，∴∠EAC=∠ACF，∵OA= OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE= OF，∴四边形AECF为平行四边，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC，从而得到要使四边形AECF为平行四边形，只要求出OE=OF即可。然后根据各项条件通过线段的和差关系或证明三角形全等得出对应边相等，分别判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC
∴∠DCE=∠BAE，
图甲：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，
∵DE∥BF
∴四边形BFDE是平行四边形；
图乙
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠CDE=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，∠DEC=∠AFB，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丙
∵ E是AB的中点，F是CD的中点
∴DF=DC，BE=BA，
∴DC=BE，DC∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丁
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=∠FEB=90°，不能证明△DFE≌△BEF，
∴不能证明DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形；
∴是平行四边形的有3个.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠DCE=∠BAE，利用图甲的条件，可证得DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°；再利用AAS证明△CDE≌△ABF，可推出DE=BF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BFDE是平行四边形；图乙：利用角平分线的定义去证明∠CDE=∠ABF，利用AAS证明△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可得到DE=BF，∠DEC=∠AFB，从而可证得DE∥BF，由此可推出四边形BFDE是平行四边形；图丁：利用垂直的定义可证得∠DFE=∠FEB，一边一角对应相等，不能证明△DFE≌△BEF，由此可知四边形BFDE不一定是平行四边形；即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵将△AOB平移至△DPC的位置，
∴OA∥PD，OA=PD，
∴OC∥PD，OC=PD，
∴四边形CODP和四边形AOPD是平行四边形；
∵四边形CODP是平行四边形；
∴OD=CP，OD∥CP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OB∥CP，OB=CP，
∴四边形OBCP是平行四边形；
综上，图中是平行四边形的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合平移的性质得出OA∥PD，OA=PD，根据平行四边形的判定定理分别分析，即可判断.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意得：OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）.
故答案为： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合OA=OC，OB=OD，即可作答.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，设平移后直线与a、b分别交于A'和B'，
∴AB∥A'B'，
又a∥b，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∴A'B'=AB，即线段AB的长度不变.
故答案为：C.
【分析】设平移后直线与a、b分别交于A'和B'，先证出四边形ABB'A'是平行四边形，得出A'B'=AB，即线段AB的长度不变.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A不符合题意；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B不符合题意；
∵一组对边且相等的四边形是平行四边形，
∴C不符合题意；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法判断即可。
11．【答案】110°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，再利用平行线的性质，可求出∠BCD的度数.
12．【答案】42
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE=AD，BD=CD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴四边ABEC的周长=2（AC+AB）=42.
故答案为：42.
【分析】由对角线互相平分得出四边形ACEB是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求出其周长即可.
13．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴OB=OD=8cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：8.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可解答.
14．【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
15．【答案】①
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
在四边形ABCD中，
①∵OA=OC，AB=CD， 不能判定这个四边形是平行四边形 ，①符合题意；
②∵OA=OC，AB∥DC，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠CDO，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD的平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），②不符合题意；
③∵OA=OC，OB=OD ，∴四边形ABCD的平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），③不符合题意；
综上，符合题意得是 ① .
故答案为：①.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合各项条件，分别解答判断，即可作答.
16．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：解：根据作法可得：AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
故答案为： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
【分析】分别以点B，D为圆心，以AD， AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD， BC，得出AB=DC， AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判断四边形ABCD是平行四边形.
17．【答案】证明：∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∠ABE=∠CDF，
△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用内错角相等，两直线平行，可证得∠ABE=∠CDF；再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得AE=CF，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
18．【答案】证明：∵AC∥BD
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO
又∵OA=OB，
△AOC≌△BOD，
∴OC=OD.
又∵E，F分别是OC，OD的中点，
OE=OC，OF=OD，∴OE=OF.
又AO=BO，
∴四边形AFBE是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO ，结合OA=OB，利用AAS证明 △AOC≌△BOD， 得出OC=OD，结合中点的定义推出OE=OF，则可证明四边形AFBE是平行四边形.
19．【答案】证明；如图，连结AC，交BD干点O，
四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，即OB+OF=OD+OE，
OF=OE，
OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∠EAF=∠FCE。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结AC，交BD干点O， 根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再根据线段的和差关系求出OF=OE，则可证明四边形AECF是平行四边形，从而得出∠EAF=∠FCE.
20．【答案】证明：连结DM，如图所示
AM，BD互相平分并交于点O.
即AO=MO，BO=DO，
四边形ABMD为平行四边形，
AD=BM，AD∥BM.
又∵M为BC的中点，
BM=CM.
AD=MC，AD∥MC，
四边形AMCD为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接DM，由AM，BD互相平分得出四边形ABMD为平行四边形，得出AD=BM，AD∥BM，结合M为BC的中点，得出AD和MC平行且相等，则可证得四边形AMCD为平行四边形.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ 点E，F分别是边AD，BC的中点．
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=EC；
（2）解：∵平行四边形的周长为10，
∵AE=FC，AF=EC，
∴AE+AF=5，
∴AE=2，
∴AD=2AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(2+4)=12.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，结合中点的定义得出AE=FC，从而判定四边形AFCE是平行四边形，则可根据平行四边形的性质得出AF=EC；
(2)根据平行四边形的性质得出AE=FC，AF=EC，从而求出AE+AF=5，结合AF的长，则可求出AE的长，进而求出AD长，最后求平行四边形ABCD的周长即可。
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
OA=AC=3，OD=BD=4，
1＜AD＜7
（2）解：CA=AD， ∠CAD=50°，
∠ADC=∠ACD=（180°-50°）=65°，
四边形ABCD是平行四边形，
∠ABC=∠ADC=65°.
（3）证明：四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD.
AE=CF，BG=DH，
OE=OF，OG=OH，
四边形EHFG是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，可求出OA，OD的长；再利用三角形的三边关系定理可得到AD的取值范围.
（2）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和为180°，可求出∠ADC的度数，利用平行四边形的对角相等，可求出∠ABC的度数.
（3）利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得OE=OF，OG=OH；再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
23．【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，∠CBE=∠DFE
又∵E是边CD的中点，∴CE=DE
在△BEC与△FED中，
∴△BEC≌△FED（AAS），∴BE=FE，
四边形BDFC是平行四边形。
（2）解：∵BD=BC=5，
∴AB===4，
∴四边形BDFC的面积=BC·AB=5×4=20
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得BC∥AD，利用平行线的性质可证得∠CBE=∠DFE；再利用AAS证明△BEC≌△FED，由此可推出BE=EF；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后利用平行四边形的面积公式可求出四边形BDFC的面积.
24．【答案】（1）证明：∵BD垂直平分AC ，
AB=BC，AD= DC
∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∠BAD=∠BCD.
又∵∠BCD=∠ADF，
∠BAD=∠ADF，
∴AB∥DF.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
四边形ABDF是平行四边形。
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，AF=BD.
∵AF=DF=5，∴AB=BD=5
设BE=x，则DE=5-x，
而AB2-BE2=AE2=AD2-DE2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=
∴AE==，
∴AC=2AE=.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得AB=BC，AD=DC，利用等边对等角可推出∠BAD=∠BCD；再证明AF∥DF，AF∥BD，由此可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得AB=DF，AF=BD，设BE=x，可表示出DE的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求出AE的长，根据AC=2AE，代入计算求出AC的长.
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