2021-2022学年浙教版数学八下4.5 三角形的中位线同步练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=AB=4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∴EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答.
2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=84°，则∠FEG等于（ ）
A．32° B．38° C．64° D．30°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF=AD，GF∥AD，GE=BC，GE∥BC.
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∴∠EFG=∠FEG，∠FGC=∠DAC=20°，
∠AGE=∠ACB=84°，
∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°-84°）=116°，
∠FEG=（180°-∠FGE）=32°。
故答案为：A.
【分析】利用已知可证得 GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，利用三角形的中位线定理去证明GF=GE，GF∥AD，GE∥BC；再利用等边对等角可求出∠FGC，∠AGE的度数，同时可证得∠EFG=∠FEG；再求出∠FGE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠FEG的度数.
3．如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DB=BC=3；
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵ BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=DF=3.
故答案为：B.
【分析】利用中点的定义可证得DE是△ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可求出DF的长.
4．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是（ ）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵点D和点E是OA，OB的中点，
∴DE是△ABO的中位线，
∴DE=AB，
∴AB=2DE=28.
故答案为：C.
【分析】连接AB，易证DE是△ABO的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
5．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，
OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∴AB=2OE=2×3=6cm.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用已知条件可证得OE是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-60°-50°=70°.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，由此可证得DE∥BC，利用平行线的性质可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数.
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，DN，
在Rt△ABD中，
；
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MDN的中位线，
∴EF=DN，
当点N和点B重合时，DN的长最大，
此时EF的长最大，
∴EF的最大值为BD=3.
故答案为：A.
【分析】连接BD，DN，利用勾股定理求出BD的长；再证明EF是△MDN的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF=DN，要使EF的值最大，则当点N和点B重合时，DN的长最大，由此可求出EF的最大值.
8．（2021八下·长沙开学考）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴S△BDE=S△FDE（等底等高的三角形面积相等）
同理S△DAF=S△EFC=S△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得DF为△ABC的中位线，则DF∥BC，DF＝BC，根据线段中点的概念可得BE＝BC，则DF＝BE，根据等底等高的三角形面积相等可得S△BDE=S△FDE，同理S△DAF=S△EFC=S△FED，则可推出S△DEF＝S△ABC，据此解答.
9．（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①符合题意；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②符合题意；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③符合题意；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④符合题意；
正确的有：①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。
10．（2021八上·平阳期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长.
二、填空题
11．（2021八上·长沙期末）如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点， ，则AD的长是 .
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∵点E是CD的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴AD=2OE=4.
故答案为：4.
【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，从而得出OE为△ACD的中位线，利用三角形中位线定理可得AD=2OE，从而得解.
12．如图所示，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，BH⊥AC，垂足为H，DE=8cm，则FH的长为 cm.
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∵BH⊥AC， EF为斜边BC上的中线，
∴EF=BC，
∴EF=DE=8cm.
故答案为：8.
【分析】根据三角形中位线的性质得出DE=BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=BC，从而得出EF=DE，即可解答.
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥CF.
∵CF=BC，∴DE=CF，
四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，
CD===，
∴EF=CD=
故答案为：.
【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长.
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点。若AC+BD=24cm，△OAB的周长是20cm，则EF= cm。
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
AO=AC，BO=OB，
∵AC+BD=24，
∴AO+BO=12；
∵△AOB的周长为20，
∴AB+AO+BO=20，
∴AB=8；
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF=AB=×8=4.
故答案为：4.
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，可求出AO+BO的值；再利用△OAB的周长为20，可求出AB的长；然后利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 。
【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.
故答案为：18°.
【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
16．如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：
①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=S△ABC，其中正确结论的序号为 。
【答案】①②③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，DE=BC，故①正确；
∵ED∥BC，点D是AB的中点，
∴O是AF的中点，
∴DO是△ABF的中位线，AO=FO，故③正确；
∴DO=DF=BC，故②正确；
∵AF是△ABC的中线，
∴S△ABF=S△ABC；
∵DO是△ABF的中线，
∴△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2，
∴S△ADO=S△ABF，
∴S△ADO=S△ABC=.S△ABC，故④错误.
∴正确结论的序号为①②③.
故答案为：①②③.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得D∥BC，DE=BC，可对①作出判断；同时可证得O是AF的中点，利用线段中点的定义可证得AO=FO，可对③作出判断；再证明DO是△ABF的中位线，利用中位线定理可证得OD与BC之间的数量关系，可对②作出判断；利用三角形的中线可知S△ABF=S△ABC；再证明△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2；由此可证得S△ADO=S△ABF，由此可推出S△ADO=.S△ABC，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，若AB=10，求EF的长。
【答案】解：如图，连结CD，
∠ACB=90°，D是边AB的中点，AB=10，
∴CD=AB=5.
又∵E是AC的中点，
DE∥BC，DE=BC.
∵CF=BC，DE∥CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长，利用三角形的中位线定理去证明DE∥CF，DE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边相等可求出EF的长.
18．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.
又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE=MC，EF=BN，
DE=EF.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
19．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF。
求证：AB=2OF。
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF
又∵CE=DC，∴AB=EC
在△ABF和△ECF中，
∵
∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF
又∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用平行线的性质可推出AB=CD，AB∥CD，OA=OC，可推出∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，再利用ASA证明△ABF≌△ECF，利用全等三角形的对应边相等可证得BF=CF，由此可得到OF是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
21．如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形.
（2）线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.
【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G.
，
在 和 中，
，
为 的中位线，
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）解：
证明如下：
四边形BDEF是平行四边形， .
分别是BC，GC的中点， .
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 延长CE交AB于点G，利用ASA证明△AGE≌△ACE，得出GE=EC，结合BD=CD，得出DE为△CGE为中位线，则知DE∥AB，从而证得四边形BDEF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质得出BF=DE，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出BF=BG，由△AGE≌△ACE得出AG=AC，最后根据线段间的和差关系，即可求出结果.
22．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB， BC，AC的中点，连结DF，EF，BF。
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长。
【答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形.
（2）解：∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=DB=DA=AB=3
∴DB=DF=BE=EF=3，
∴四边形BEFD的周长为12.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义可证得DF，DE，EF是△ABC中位线，利用三角形的中位线定理可证得F∥BE，EF∥BD，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF，DB的长；然后求出平行四边形BEFD的周长.
23．如图，在□ABCD中，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H。
（1）若AD=8cm，则在此运动过程中，线段GH的长始终等于 cm；
（2）当E，F分别运动到AD，BC的中点时，求证：EF与GH互相平分。
【答案】（1）4
（2）证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点，
∴AE=+AD，CF=BC.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE.
同理可证BE∥DF
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）连接EF
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），
∴AE=BF，
∴DE=CF，
∴四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，
∴AG=FG，FH=DH，
∴GH是△ADF的中位线，
∴GH=AD=×8=4cm.
故答案为：4.
【分析】（1）连接EF，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，AD∥BC，利用点E，F的运动方向和运动速度，可证得AE=BF，可推出DE=CF；由此可证得四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可推出GH是△ADF的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出GH的长.
（2）利用线段中点的定义及平行四边形的性质可证得四边形AFCE是平行四边形，可得到AF∥CE，同理可证得BE∥DF；再证明四边形GFHE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
24．（2021八上·西湖期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒.
（1）
则AC＝ cm；
（2）当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值；
（3）点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由.
【答案】（1）4
（2）解：作PE⊥AB于E，
在△BPE和△BPC中，
，
∴△BPE≌△BPC（AAS）
∴BE＝BC＝3，PE＝PC，
∴AE＝5﹣BE＝2，AP＝4﹣PC，
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（4﹣PC）2＝22+PC2，
解得，PC＝ ，
当BP平分∠ABC时，点P的运动时间t＝ ÷2＝ 秒；
（3）解：如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则2t＝3，
解得t＝ （s）；
如图3，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，
∴AP＝AB﹣BP＝2，
∴t＝（4+2）÷2＝3（s）；
如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝ ，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝ ，
∴PB＝2BD＝
∴CA+AP＝4+5﹣ ＝5.4，
此时t＝5.4÷2＝2.7（s）；
如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH，
∴PH为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝ AB＝ ，
∴t＝（4+ ）÷2＝ （s）；
综上所述，t为 s或 s或3s或 s时，△BCP为等腰三角形；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得，AC＝ ＝4（cm）.
故答案为：4；
【分析】（1）直接根据勾股定理就可求出AC；
（2）作PE⊥AB于E，证明△BPE≌△BPC，得到BE＝BC＝3，PE＝PC，进而求出AE、AP，在Rt△AEP中，由勾股定理可得PC，据此不难求出t；
（3）当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则2t＝3，求解可得t；当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，此时AP＝AB-BP＝2，据此可得t；若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式可得CD，在Rt△BCD中，由勾股定理可求出BD，进而得到PB、CA+AP，据此可得t；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH，PH为△ABC的中位线，求出AP，进而可得t的值.
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下4.5 三角形的中位线同步练习
一、单选题
1．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=84°，则∠FEG等于（ ）
A．32° B．38° C．64° D．30°
3．如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
4．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是（ ）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
5．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
8．（2021八下·长沙开学考）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2.
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021八上·平阳期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·长沙期末）如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点， ，则AD的长是 .
12．如图所示，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，BH⊥AC，垂足为H，DE=8cm，则FH的长为 cm.
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为 。
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点。若AC+BD=24cm，△OAB的周长是20cm，则EF= cm。
15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 。
16．如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：
①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=S△ABC，其中正确结论的序号为 。
三、解答题
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，若AB=10，求EF的长。
18．如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=AB AC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。
19．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF。
求证：AB=2OF。
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
21．如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形.
（2）线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.
22．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB， BC，AC的中点，连结DF，EF，BF。
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长。
23．如图，在□ABCD中，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H。
（1）若AD=8cm，则在此运动过程中，线段GH的长始终等于 cm；
（2）当E，F分别运动到AD，BC的中点时，求证：EF与GH互相平分。
24．（2021八上·西湖期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒.
（1）
则AC＝ cm；
（2）当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值；
（3）点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=AB=4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∴EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF=AD，GF∥AD，GE=BC，GE∥BC.
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∴∠EFG=∠FEG，∠FGC=∠DAC=20°，
∠AGE=∠ACB=84°，
∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°-84°）=116°，
∠FEG=（180°-∠FGE）=32°。
故答案为：A.
【分析】利用已知可证得 GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，利用三角形的中位线定理去证明GF=GE，GF∥AD，GE∥BC；再利用等边对等角可求出∠FGC，∠AGE的度数，同时可证得∠EFG=∠FEG；再求出∠FGE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠FEG的度数.
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DB=BC=3；
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵ BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=DF=3.
故答案为：B.
【分析】利用中点的定义可证得DE是△ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可求出DF的长.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵点D和点E是OA，OB的中点，
∴DE是△ABO的中位线，
∴DE=AB，
∴AB=2DE=28.
故答案为：C.
【分析】连接AB，易证DE是△ABO的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，
OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∴AB=2OE=2×3=6cm.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用已知条件可证得OE是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-60°-50°=70°.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，由此可证得DE∥BC，利用平行线的性质可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，DN，
在Rt△ABD中，
；
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MDN的中位线，
∴EF=DN，
当点N和点B重合时，DN的长最大，
此时EF的长最大，
∴EF的最大值为BD=3.
故答案为：A.
【分析】连接BD，DN，利用勾股定理求出BD的长；再证明EF是△MDN的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF=DN，要使EF的值最大，则当点N和点B重合时，DN的长最大，由此可求出EF的最大值.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴S△BDE=S△FDE（等底等高的三角形面积相等）
同理S△DAF=S△EFC=S△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得DF为△ABC的中位线，则DF∥BC，DF＝BC，根据线段中点的概念可得BE＝BC，则DF＝BE，根据等底等高的三角形面积相等可得S△BDE=S△FDE，同理S△DAF=S△EFC=S△FED，则可推出S△DEF＝S△ABC，据此解答.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①符合题意；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②符合题意；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③符合题意；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④符合题意；
正确的有：①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长.
11．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∵点E是CD的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴AD=2OE=4.
故答案为：4.
【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，从而得出OE为△ACD的中位线，利用三角形中位线定理可得AD=2OE，从而得解.
12．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∵BH⊥AC， EF为斜边BC上的中线，
∴EF=BC，
∴EF=DE=8cm.
故答案为：8.
【分析】根据三角形中位线的性质得出DE=BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF=BC，从而得出EF=DE，即可解答.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥CF.
∵CF=BC，∴DE=CF，
四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，
CD===，
∴EF=CD=
故答案为：.
【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长.
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
AO=AC，BO=OB，
∵AC+BD=24，
∴AO+BO=12；
∵△AOB的周长为20，
∴AB+AO+BO=20，
∴AB=8；
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF=AB=×8=4.
故答案为：4.
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，可求出AO+BO的值；再利用△OAB的周长为20，可求出AB的长；然后利用三角形的中位线定理可求出EF的长.
15．【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.
故答案为：18°.
【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
16．【答案】①②③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，DE=BC，故①正确；
∵ED∥BC，点D是AB的中点，
∴O是AF的中点，
∴DO是△ABF的中位线，AO=FO，故③正确；
∴DO=DF=BC，故②正确；
∵AF是△ABC的中线，
∴S△ABF=S△ABC；
∵DO是△ABF的中线，
∴△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2，
∴S△ADO=S△ABF，
∴S△ADO=S△ABC=.S△ABC，故④错误.
∴正确结论的序号为①②③.
故答案为：①②③.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得D∥BC，DE=BC，可对①作出判断；同时可证得O是AF的中点，利用线段中点的定义可证得AO=FO，可对③作出判断；再证明DO是△ABF的中位线，利用中位线定理可证得OD与BC之间的数量关系，可对②作出判断；利用三角形的中线可知S△ABF=S△ABC；再证明△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2；由此可证得S△ADO=S△ABF，由此可推出S△ADO=.S△ABC，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
17．【答案】解：如图，连结CD，
∠ACB=90°，D是边AB的中点，AB=10，
∴CD=AB=5.
又∵E是AC的中点，
DE∥BC，DE=BC.
∵CF=BC，DE∥CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长，利用三角形的中位线定理去证明DE∥CF，DE=CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边相等可求出EF的长.
18．【答案】证明：如图，连结BN，CM.
AM=AB，AC=AN， ∠MAB=∠CAN，
∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，
即∠MAC=∠BAN.
△MAC≌△BAN（SAS）.
MC=BN.
又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，
DE=MC，EF=BN，
DE=EF.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可证得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF
又∵CE=DC，∴AB=EC
在△ABF和△ECF中，
∵
∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF
又∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用平行线的性质可推出AB=CD，AB∥CD，OA=OC，可推出∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，再利用ASA证明△ABF≌△ECF，利用全等三角形的对应边相等可证得BF=CF，由此可得到OF是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
20．【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
21．【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G.
，
在 和 中，
，
为 的中位线，
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）解：
证明如下：
四边形BDEF是平行四边形， .
分别是BC，GC的中点， .
，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 延长CE交AB于点G，利用ASA证明△AGE≌△ACE，得出GE=EC，结合BD=CD，得出DE为△CGE为中位线，则知DE∥AB，从而证得四边形BDEF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质得出BF=DE，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出BF=BG，由△AGE≌△ACE得出AG=AC，最后根据线段间的和差关系，即可求出结果.
22．【答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形.
（2）解：∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=DB=DA=AB=3
∴DB=DF=BE=EF=3，
∴四边形BEFD的周长为12.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义可证得DF，DE，EF是△ABC中位线，利用三角形的中位线定理可证得F∥BE，EF∥BD，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF，DB的长；然后求出平行四边形BEFD的周长.
23．【答案】（1）4
（2）证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点，
∴AE=+AD，CF=BC.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE.
同理可证BE∥DF
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴EF与GH互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）连接EF
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动（分别运动到点D，C即停止），
∴AE=BF，
∴DE=CF，
∴四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，
∴AG=FG，FH=DH，
∴GH是△ADF的中位线，
∴GH=AD=×8=4cm.
故答案为：4.
【分析】（1）连接EF，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，AD∥BC，利用点E，F的运动方向和运动速度，可证得AE=BF，可推出DE=CF；由此可证得四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可推出GH是△ADF的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出GH的长.
（2）利用线段中点的定义及平行四边形的性质可证得四边形AFCE是平行四边形，可得到AF∥CE，同理可证得BE∥DF；再证明四边形GFHE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
24．【答案】（1）4
（2）解：作PE⊥AB于E，
在△BPE和△BPC中，
，
∴△BPE≌△BPC（AAS）
∴BE＝BC＝3，PE＝PC，
∴AE＝5﹣BE＝2，AP＝4﹣PC，
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（4﹣PC）2＝22+PC2，
解得，PC＝ ，
当BP平分∠ABC时，点P的运动时间t＝ ÷2＝ 秒；
（3）解：如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则2t＝3，
解得t＝ （s）；
如图3，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，
∴AP＝AB﹣BP＝2，
∴t＝（4+2）÷2＝3（s）；
如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝ ，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝ ，
∴PB＝2BD＝
∴CA+AP＝4+5﹣ ＝5.4，
此时t＝5.4÷2＝2.7（s）；
如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH，
∴PH为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝ AB＝ ，
∴t＝（4+ ）÷2＝ （s）；
综上所述，t为 s或 s或3s或 s时，△BCP为等腰三角形；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得，AC＝ ＝4（cm）.
故答案为：4；
【分析】（1）直接根据勾股定理就可求出AC；
（2）作PE⊥AB于E，证明△BPE≌△BPC，得到BE＝BC＝3，PE＝PC，进而求出AE、AP，在Rt△AEP中，由勾股定理可得PC，据此不难求出t；
（3）当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则2t＝3，求解可得t；当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，此时AP＝AB-BP＝2，据此可得t；若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式可得CD，在Rt△BCD中，由勾股定理可求出BD，进而得到PB、CA+AP，据此可得t；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH，PH为△ABC的中位线，求出AP，进而可得t的值.
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